高三第一轮复习讲义【9】-函数的周期性与对称性.pdf
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1、2018 届高三第一轮复习讲义【8】 -函数的周期性与对称性 一、知识梳理 1. 函数的周期性 如果对于函数( )yf x , 如果 _, 使得当x 取定义域D 内的任意 值时 , 都有 _ _成立 , 那么函数( )yf x 叫做周期函数 , 常数 T 叫做 函数( )yf x 的_. 对于一个周期函数( )yf x 来说 , 如果在所有的周期中存在一个 最小的正数 , 那么这个最小的正数就叫做函数( )yf x 的最小正周期. 2. 函数图像的对称性 (1) 轴对称 函 数( )yf x的 图 像 关 于 直 线xa成 轴 对 称 图 形 的 充 要 条 件 是 _(或者 _). 证明 :
2、 任取( )yf x 的图像上的一点 00 (,)xy, 则 00 (,)xy关于直线xa对称的点为 00 (2,)axy, 函数( )yf x 的图像关于直线xa成轴对称 00 (2,)axy也在图像上 , 即 0000 (2)(2)()faxyfaxf x, 由 0 x 的任意性 , ( ) (2)f xfa x . 以 a x 代替上式中的x, 即有 ()()f axf a x . (2) 中心对称 函数( )yf x 的图像关于点( ,0)A a成中心对称图形的充要条件是_ _(或者 _). 一般地 , 函数( )yf x 的图像关于点( , )P a b 成中心对称图形的充要条件是
3、_ (或者 _). 3. 拓展: (1)函数( )yf x满足()()f axf bx时,函数( )yf x的图像关于直线 2 ab x 对称; (2)函数( )yf x满足()()f axf bxc时,函数( )yf x的图像关于点 , 22 ab c 对称; (3)函数()yf ax的图像与()yf bx的图像关于直线 2 ba x对称 (4) 1 fxa fx ,则xf是以2Ta为周期的周期函数; 存在一个常数T(0T) ()( )f xTf x 周期 ()()f axf ax ( )(2)f xfax ()()0f axf ax( )(2)f xfax ( )2(2)f xbfax()
4、()2f axf axb (5)xfaxf,则xf是以2Ta为周期的周期函数; (6) )(1 1 )( xf axf,则xf是以aT3为周期的周期函数; (7) )( 1 1)( xf axf,则 xf 是以 aT3 为周期的周期函数; 二、基础检测: 1. 若函数 2 (2)3, , yxaxxa b 的图像关于直线1x对称 , 则b_. 2. 若函数2( )log |2|f xxa 的图像关于直线3x对称 , 则实数a_. 3. 函数 1 lg 1 x y x 的图像关于答 A. y 轴对称B. x 轴对称 C. 原点对称D. 直线 yx对称 4. 若函数( )yf x 定义在 R 上的
5、偶函数 , 又是以 2为周期的周期函数, 若( )f x 在 1,0 上是 减函数 , 那么( )f x 在 2,3 上的单调性是答 A. 单调递增B. 单调递减 C. 先增后减D. 先减后增 5. 定义在 R 上的函数( )yf x 的图像关于直线1x对称 , (1) 若( )f x 是偶函数 , 且(0.5)2f, 则(7.5)f_; (2) 若( )f x 是奇函数 , 则(4)f_. 6. 已知定义在R 上的函数( )yf x 满足(3)(3)fxfx , 若函数( )yf x 恰有四个零点, 则这四个零点的和为_. 三、例题精讲: 例 1: 函数 1 sin) 1( )( 2 2 x
6、 xx xf的最大值和最小值分别为mM ,, 则mM_ 答案: 2; 例 2:设( )f x是定义在R上的奇函数,且(2)(2)f xf x,(1)f2,则 (2)(7)ff_ 答案: 0; 例 3:函数fx对于任意实数x满足条件 1 2fx fx ,若15,f则 5ff_ 答案: 5 1 ; 例 4:已知定义在R 上的奇函数f(x),满足 f(x4) f(x),且在区间 0,2上是增函数,若 方程 f(x) m(m0)在区间 8,8上有四个不同的根x1, x2, x3, x4, 则 x1x2x3x4_. 答案:8; 例5:已知函数)(xf为定义在R上的奇函数,且)(xfy的图像关于 2 1
7、x对称,则 )5()4()3()2()1(fffff_。 答案: 0; 例 6、 定义在 R 上的偶函数xf满足x3f3xf,在区间0,3上递减,设5.1fa, 2fb,4fc,则()(A)acb(B)cab(C)cba( D)abc 答案: B; 例 7、已知定义在R上的函数)(xf满足)()4(xfxf;对20 21 xx时, )()( 21 xfxf;)2(xfy的图像关于y轴对称,则下列结论中正确的是() A.)7()5.6()5 .4(fffB. )5.6()7()5.4(fff C. )5.6()5 .4()7(fffD. )5.4()5.6()7(fff 答案: B; 例 8.
8、定义在 R 上的函数)(xf图像关于点 0, 4 3 对称且满足 )0(, 1)1(), 2 3 ()(ffxfxf)2005()2()1 (2fff,则的值为() A.2B. 1C.0 D.1 答案: B; 例 9:已知函数)2002()(2002)()()( 11 xfxfxfxfxfy,求满足的值。 答案: 0; 例 10:设函数( )yf x 的图像关于1x对称 , 且当1x时, 2 ( )1fxx, 求函数( )f x 的解 析式 . 【解析】: 解法一 : 由函数图像是抛物线, 且顶点为 (0,1) , 则对称后的顶点为(2,1) , 又因为对称所得的抛物线的开口大小不变, 因此可
9、知其解析式为 22 ( )(2)145f xxxx, 综上所述 , 所求函数的解析式为 2 2 1 1 ( ) 45 1 xx f x xxx . 解法二 : 设点 ( , )(1)x yx在函数的图像上, 则 ( , )x y 关于直线1x的对称点为(2, )x y , 由 (2, )x y 也在函数的图像上, 则(2)fxy , 且21x, 又21x, 22 (2)(2)145(1)yfxxxxx, 综上所述 , 所求函数的解析式为 2 2 1 1 ( ) 45 1 xx f x xxx . 例 11:设定义域为的偶函数( )yf x 满足(2)( )f xf x . 当2,3x时, (
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- 第一轮 复习 讲义 函数 周期性 对称性
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