殊途同归看繁简,优化思维再探究.pdf
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1、893-殊途同归看繁简,优化思维再探究 殊途同归看繁简, 优化思维再探究(221700)江苏省丰县中学初中部王锋矩形地块上修 建道路、 花园为背景创设一元二次方程问题,在中考中频频亮相,本文以一道考题作为引例 从不同的途径加以探究,试图找到解决此类问题的最佳方案,然后借鉴再用于探究较复杂 的相关问题 【引例】(2009 年甘肃庆阳市)如图1, 在宽为20 米、长为30 米的矩形地面上修建两条同样宽的道路,余下部分作为耕地若 耕地面积需要551 米 2,则修建的路宽应为()A1 米 B1.5 米 C2 米 D2.5 米 分析:以耕地面积作为相等关系观察图1,显然耕地面积等于整个矩形的面积减去中间
2、道 路的面积 .而中间两条道路的面积可 (若设道路宽为xm) 以 2 2 分别表示为20xm 、 30xm ,由于两条道路垂直交叉,可以发现有重叠的部分(为正方形边长为x ) ,因此两条 道路实际上所占的面积应为20 x 30 x x 2 m 2 ,依题意可得方程20 图 1-1 30 20 x 30 x x 2 551 上述思考问题的过程中我们发现表示中间道路的面积时,稍不小心就可能认为其 面积为20 x 30 xm 2 ,而忽视了重叠部分多计算了一个正方形的面积x 2 ,事实上多年的 学生作业已证实了上述错误存在的必然性. 如果我们重新再仔细审视问题的题意,可以发现 问题中没有明确道路在耕
3、地中的位置,因此我们设想把道路平移到两边,如图1-2 所示, 小道所占面积仍然保持不变,在这样的设想下,列方x x 程是否符合题目要求?是否方便 些?观察图1-2,可以看出余下耕地的面积就是一个20m 矩形,其长为(30 x ) m, 宽为( 20 x )m,依题意可得(30 x ) (20 x )551 30m 图 1-2 显然利用平移将 道路移到矩形的边缘,能够将分散的耕地面积聚零为整,同时为我们布列方程提供了方便, 有效地避免了因忽视道路重叠面积而造成的错解问题,可谓是避繁就简,思维奇妙.利用上 述思维方法我们再来解决几个较为复杂问题. 【例1】学校课外生物小组的试验园地是长x35 米、
4、宽20 米的矩x 形,为便于管理, 现要在中间开辟一横20m 两纵三条等宽的小道(如图2-1) ,要35m 使种植面积为600 图 2-1 图 2-2 平方米,求小道的宽(精确到01 米) (华师大版九上23.2一元二次 方程解法练习第7 题) 分析:我们可以将中间开辟一横两纵三条等宽的小道分别平移到矩形的边缘得到图2-2.若 设每条小道路宽为xm, 根据种植的面积作为相等关系可得如下的方程:( 352 x )(20 x) 600(解答过程留给读者完成) 【例2】如图4, 在一个长为32 米,宽为20 米的矩形空地上,建造一个花园,要求花园的面积为540 平 方米,两条路是等宽的,求路x 的宽
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