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1、江苏省南通市2019 届高三第一次调研测试数学试卷 1. 已知集合 U=1, 2, 3, 4 ,M=1, 2 ,N=2, 3 ,则 Ue (MN) = 2复数 2 1i (1i) (i 是虚数单位)的虚部为 3设向量 a,b 满足: 3 | 1, 2 aa b,2 2ab,则|b 4在平面直角坐标系xOy 中,直线 (1)2xmym与直线28mxy 互相垂直的充要条件是m= 6在数列 an中,若对于nN*,总有 1 n k k a 2n1,则 2 1 n k k a= 7抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1,2,3,4 的正四面体,其底面落于桌面,记所得的数字分别为 x,y,则 x y 为
2、整数的概率是 8为了解高中生用电脑输入汉字的水平,随机抽取了部分学生进行每分钟输入汉字个数测试,下图是根据抽样 测试后的数据绘制的频率分布直方图,其中每分钟输入汉字个数的范围是50,150,样本数据分组为 50,70) , 70,90) , 90,110) ,110,130) ,130,150,已知样本中每分钟输入汉字个数小于90 的人数是 36,则样 本中每分钟输入汉字个数大于或等于70 个并且小于130 个的人数是 9运行如图所示程序框图后,输出的结果是 10关于直线,m n和平面,,有以下四个命题: 若/,/,/mn,则 /mn;若/ ,mnmn ,则; 若,/mmn,则/n且/n;若,
3、mnm,则n或n. 其中假命题的序号是 11已知函数 2 2 20 ( ) 20 xxx f x xxx , , 若 2 (2)( )faf a,则实数a 的取值范围是 12已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的 (第8 题 字 数 / 分 频率 组距 0.005 0.007 0.010 0.012 0.015 50 70 90 110 130 150 k- 3 开始 k1 S0 SS 2k kk - 1 结束 输出 S Y N (第 9题图) 四边形是一个面积为4 的正方形,设P 为该椭圆上的动点,C、D 的坐标分别是 2, 0 ,2, 0,则 PCP
4、D 的最大值为 13设面积为S的平面四边形的第i 条边的边长记为ai(i=1,2,3,4) ,P 是该四边形内任意一点, P 点到第 i 条边的距离记为hi,若 3 124 1234 aaaa k, 则 4 1 2 () i i S ih k . 类比上述结论,体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为Si(i=1,2,3,4) ,Q 是该三棱锥内的任意一点,Q 点到第 i 个面的距离记为Hi,则相应的 正确命题是:若 3124 1234 SSSS k, 则 14在平面直角坐标系xOy 中,设直线32 m yx和圆 222 xyn相切,其中m, * 0 | 1nmnN , 若函数 1 ( ) x
5、 f xmn的零点 0 ( ,1),xkkkZ,则 k= 【填空题答案 】 14;2 1 2 ; 32;4 2 3 ;5; 6 1 41 3 n ;7 1 2 ;890;910;10; 11( 2 1) , ;124;13 4 1 3 () i i V iH k ;140 二、解答题:本大题共6 小题,共 90 分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15 (本小题满分14 分)在ABC 中,a,b,c 分别是角 A、B、C 所对的边, 且 b2=ac,向量cos() 1AC ,m 和(1 cos)B,n满足 3 2 m n.(1)求sinsinAC的值;(2)求证:三角形ABC 为等
6、边三角形 【解】(1)由 3 2 m n得, 3 cos()cos 2 ACB,2 分 又 B=(A+C),得 cos(AC)cos(A+C)= 3 2 ,4 分 即 cosAcosC+sinAsinC(cosAcosCsinAsinC)= 3 2 ,所以 sinAsinC= 3 4 6 分 【证明】(2)由 b2=ac 及正弦定理得 2 sinsinsinBAC,故 23 sin 4 B . 8 分 于是 231 cos1 44 B,所以 1 cos 2 B或 1 2 . 因为 cosB = 3 2 cos(AC)0, 所以 1 cos 2 B,故 3 B11 分 由余弦定理得 222 2c
7、osbacacB,即 222 bacac,又 b 2=ac, 所以 22 acacac,得 a=c. 因为 3 B,所以三角形ABC 为等边三角形 . 14 分 A B C D E F ( 第16 16 (本小题满分14 分)如图,已知AB平面 ACD,DE平面 ACD,AC=AD, DE2AB,F 为 CD 的中点 (1) 求证: AF平面 BCE; (2) 求证:平面BCE平面 CDE 【证明】(1)因为 AB平面 ACD,DE平面 ACD,所以 ABDE. 取 CE 的中点 G,连结 BG、GF,因为 F 为CD的中点,所以GFEDBA, GF 1 2 EDBA, 从而 ABGF 是平行
8、四边形,于是AFBG. 4 分 因为 AF平面 BCE,BG平面 BCE,所以 AF平面 BCE7 分 (2)因为 AB平面 ACD,AF平面 ACD, 所以 ABAF,即 ABGF 是矩形,所以AFGF. 9 分 又 AC=AD,所以 AFCD. 11 分 而 CD GFF,所以 AF平面 GCD,即 AF平面 CDE. 因为 AFBG,所以 BG平面 CDE. 因为 BG平面 BCE,所以平面BCE平面 CDE14 分 17 (本小题满分15 分)设等差数列 n a的前n项和为 n S,且 5133 349aaS, (1)求数列 n a的通项公式及前n项和公式; (2)设数列 n b的通项
9、公式为 n n n a b at ,问 : 是否存在正整数t,使得 12m bbb, (3)mmN,成等差数列?若存在,求出t 和 m 的值;若不存在,请说明理由. 【解】(1)设等差数列 n a的公差为 d. 由已知得 513 2 34 39 aa a , , 2 分 即 1 1 817 3 ad ad , , 解得 1 1 2. a d , 4 分.故 2 21 nn anSn,. 6 分 ( 2 ) 由 ( 1 ) 知 21 21 n n b nt . 要 使 12m bbb,成 等 差 数 列 , 必 须 21 2 m bbb, 即 3121 2 3121 m ttmt , 8 分.整
10、理得 4 3 1 m t ,11分 因为 m,t 为正整数,所以t 只能取 2,3,5.当 2t 时, 7m ;当 3t 时, 5m ;当 5t 时, 4m . 故存在正整数t,使得 12m bbb,成等差数列 . 15 分 18 (本小题满分15 分)某地有三个村庄,分别位于等腰直角三角形ABC 的三个顶点处, 已知 AB=AC=6km ,现计划在BC 边的高 AO 上一点 P 处建造一个 变电站 . 记 P 到三个村庄的距离之和为y. (1)设 PBO ,把 y 表示成的函数关系式; (2)变电站建于何处时,它到三个小区的距离之和最小? 【解】(1)在Rt AOB中,6AB,所以OB=OA
11、=3 2. 所以 4 ABC由题意知 0 4 . 2 分 所以点 P 到 A、B、C 的距离之和为 3 22sin 22(3 23 2tan)3 23 2 coscos yPBPA. 6 分 故所求函数关系式为 2sin 3 23 20 cos4 y. 7 分 ( 2 ) 由 ( 1 ) 得 2 2 s i n1 32 cos y , 令0y即 1 sin 2 , 又 0 4 , 从 而 6 . 9 分.当 0 6 时,0y;当 64 时, 0y. 所以当 6 时, 2sin 43 2 cos y取得最小值,13 分 此时 3 2 tan6 6 OP(km) ,即点 P 在 OA 上距 O 点
12、6km 处. 【答】变电站建于距O 点6km 处时,它到三个小区的距离之和最小. 15 分 19 (本小题满分16 分)已知椭圆 22 22 0 yx Cab ab :+1 的离心率为 6 3 ,过右顶点A 的直线 l 与椭圆 C 相 交于 A、B 两点,且( 13)B,. (1)求椭圆 C 和直线 l 的方程; (2)记曲线 C 在直线 l 下方的部分与线段AB 所围成的平面区域(含边界)为D若 曲线 222 2440xmxyym与 D 有公共点,试求实数m 的最小值 【解】 (1)由离心率 6 3 e ,得 22 6 3 ab a ,即 22 3ab. 2 分 又点( 13)B,在椭圆 2
13、2 22 :1 yx C ab +上,即 22 22 ( 3)( 1) 1 ab +. 4 分 解 得 22 124ab, 故所求椭圆方程为 22 1 124 yx . 6 分 由(20)( 13)AB,得直线 l 的方程为2yx. 8 分 O B C A P (第 18 题图) (2)曲线 222 2440xmxyym, 即圆 22 ()(2)8xmy,其圆心坐标为(2)G m,半径22r,表示圆心在直线 2y上,半径为2 2的动圆 . 10 分 由于要求实数m 的最小值,由图可知,只须考虑 0m 的情形 . 设 G与直线 l 相切于点 T,则由 |22 | 2 2 2 a ,得4m,12
14、分 当 4m 时,过点 ( 42)G, 与直线 l 垂直的直线 l 的方程为 60xy , 解方程组 60 20 xy xy , 得( 24)T,. 14 分 因为区域 D 内的点的横坐标的最小值与最大值分别为1 2, 所以切点 TD,由图可知当G过点 B 时, m 取得最小值,即 22 ( 1)( 32)8m, 解得 min 71m. 16 分 (说明: 若不说理由,直接由圆过点B 时,求得 m 的最小值,扣4 分) 20 (本小题满分16 分) 已知二次函数g(x)对任意实数x 都满足 2 1121g xgxxx,且11g令 19 ( )ln(,0) 28 f xg xmxmxR (1)求
15、 g(x)的表达式; (2)若 0x 使 ( )0f x 成立,求实数m 的取值范围; (3)设1 em ,( )( )(1)H xf xmx, 证明 :对 12 1xxm, ,恒有 12 |()() | 1.H xH x 【解】(1)设 2 g xaxbxc,于是 22 11212212g xgxa xcx,所以 1 2 1. a c , 又11g,则 1 2 b所以 2 11 1 22 g xxx. 4 分 (2) 2 191 ( )lnln(0). 282 f xg xmxxmx mxR, 当 m0 时,由对数函数性质,f(x)的值域为 R; 当 m=0 时, 2 ( )0 2 x f
16、x 对 0x , ( )0f x恒成立;6 分 当 m0 时,由 ( )0 m fxxxm x ,列表: min ( )()ln. 2 m f xfmmm这时, min ln0 ( )0e0.2 0 m mm f xm m , 8 分 所以若 0x ,( )0f x 恒成立,则实数m 的取值范围是( e0,. 故 0x 使 ( )0f x 成立,实数 m 的取值范围(, e0, 10 分 (3)因为对1xm, (1)() ( )0 xxm Hx x , 所以( )H x在1,m内单调递减 . 于是 2 12 11 |()() |(1)()ln. 22 H xH xHH mmmm 2 12 11
17、13 |()() | 1ln1ln0. 2222 H xH xmmmmm m 12 分 记 13 ()ln(1e) 22 h mmmm m , 则 2 2 1133 111 ()0 2233 2 h m mm m , 所以函数 13 ()ln 22 h mmm m 在1e,是单调增函数,14 分 所以 e3e1 e3 ()(e)10 22e2e h mh ,故命题成立 . 16 分 附加题部分 21 【选做题】在A,B,C,D 四小题中只能选做2 题,每小题10 分,共计20 分解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤 A选修 41几何证明选讲 如图, AB 是 O 的直径, C、F 为 O
18、上的点,且CA 平分 BAF,过点 C 作 CDAF 交 AF 的延长线于点D. 求证: DC 是 O 的切线 . x (0)m,m()m, ( )fx0 ( )f x减极小增 A B C D F O 【证明】连结OC,所以 OAC=OCA. 又因为 CA 平分 BAF,所以 OAC=FAC, 于是 FAC=OCA,所以 OC/AD. 又因为 CDAF,所以 CDOC, 故 DC 是 O 的切线10 分 B选修 42矩阵与变换 变换 T 是绕坐标原点逆时针旋转 2 的旋转变换,求曲线 22 221xxyy在变换 T 作用 下所得的曲线方程 【解】变换 T 所对应变换矩阵为 01 10 M,设
19、x y 是变换后图像上任一点,与之对应的变换前的点是 0 0 x y ,则 0 0 xx yy M,即 0 0 , , yx xy ,代入 22 0000 221xx yy, 即 22 221xxyy, 所以变换后的曲线方程为 22 221xxyy10 分 C选修 44参数方程与极坐标(本题满分10 分) 已知圆 1 O和圆 2 O的极坐标方程分别为2, 2 2 2cos()2 4 (1)把圆 1 O和圆 2 O的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程 【解】(1) 2 24,所以 22 4xy;因为 2 2 2cos2 4 , 所以 2 2 2cos cossi
20、nsin2 44 ,所以 22 2220xyxy 5 分 (2)将两圆的直角坐标方程相减,得经过两圆交点的直线方程为1xy 化为极坐标方程为cossin1,即 2 sin 42 10 分 D选修 45不等式证明选讲(本题满分10 分) 已知0mabR, ,求证: 2 22 11 ambamb mm . 【解】因为 0m ,所以1 0m ,所以要证 2 22 11 ambamb mm , 即证 222 ()(1)()ambm amb, 即证 22 (2)0m aabb, 即证 2 ()0ab,而 2 ()0ab显然成立,故 2 22 11 ambamb mm 10 分 【必做题】第22 题、第
21、23 题,每题 10 分,共计20 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 22动点 P 在 x轴与直线 l:y3 之间的区域(含边界)上运动,且到点F(0,1)和直线 l 的距离之和为4 (1)求点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点(0,1)Q作曲线 C 的切线,求所作的切线与曲线C 所围成区域的面积 【解】(1)设 P(x,y) ,根据题意,得 22 (1)xy 3y4,化简,得 y 1 4 x2(y3 ) 4 分 (2)设过 Q 的直线方程为ykx1,代入抛物线方程,整理得x24kx40 由16k2160解得 k 1 于是所求切线方程为y x1(亦可用导数求得切线方程). 切点的坐
22、标为(2,1) , ( 2,1) 由对称性知所求的区域的面积为S 2 2 0 13 2(1) d. 44 xxx10 分 23如图,直三棱柱ABCA1B1C1中,底面是等腰直角三角形, ABBC=2,BB13,D 为 A1C1的中点, F 在线段 AA1上 (1)AF 为何值时, CF平面 B1DF ? (2)设 AF=1,求平面 B1CF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值 . 【解】(1)因为直三棱柱ABCA1B1C1中, BB1面 ABC, ABC 2 以 B 点为原点, BA、BC、BB1分别为 x、y、z 轴建立如图所示空间直角坐标系. 因为 AC2, ABC90o ,所以 AB
23、BC2, 从而 B(0, 0, 0), A 2 0 0, , C02 0, B1(0, 0, 3), A12 03, , C102 3, D 22 3 22 , A BC C1 B1 A1 F D (第 23 题图) A B C C1 B1 A1 F D x y z E 23 0 22 , 所以 1 22 3CA, 设 AFx,则 F(2,0,x), 11 22 222030 22 CFxB FxBD , ,. 1 22 2(2)00 22 CFB Dx,所以 1 .CFB D 要使 CF 平面 B1DF,只需 CFB1F. 由 1 CFB F2x(x3) 0,得 x1 或 x2, 故当 AF1 或 2 时, CF平面 B1DF 5 分 (2)由( 1)知平面 ABC 的法向量为n1=(0,0,1). 设平面 B1CF 的法向量为 ( , , )x y zn,则由 1 0 0 CF B F , , n n 得 220 220 xyz xz , , 令 z=1 得 3 22 1 2 ,n, 所以平面 B1CF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值 1 301 cos. 15 9 121 2 ,nn 10 分
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