初等模型.ppt
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1、初 等 模 型,一、公平的席位分配 二、动物的身长和体重 三、划艇比赛 四、人员疏散 五、红绿灯模型,一、公平的席位分配,1、问题: 某学校有3个系共200名学生,其个甲系100名,乙系60 名、丙系40名若学生代表会议设20个席位,公平而又简 单的席位分配办法是按学生人数的比例分配,显然甲乙丙 三系分别应占有10、6、4个席位。 现在丙系有6名学生转入甲乙两系,若仍按比例分配席 位,出现小数按取整原则,重新计算后,甲乙丙三系的席 位为10、6、4席。 现在的问题是:因为有20个席位的代表会议在表决提案 时可能出现10:10的局面,会议决定下届增加1席他们 按照上述方法重新分配席位,计算结果是
2、:甲乙丙三系的 席位为11、7、3席。显然这个结果对丙系太不公平了、因 为总席位增加1席而丙系却由4席减为3席,按比例分配方案的计算结果,要解决这个问题必须舍弃所谓惯例,找到衡量公 平分配席位的指标,并由此建立新的分配方法。,2、指标体系的建立,(1)按比例分配不公平的原因 设A、B两方人数分别P1和P2,占有席位分别是 n1和n2,则两方每个席位代表的人数分别为P1/n1和 P2/n2。显然仅当P1/n1=P2/n2,此时席位的分配才是公 平的。但是因为人数和席位都是整数,所以通常 P1/n1P2/n2,这时席位分配不公平,并且Pi/ni(i=1,2) 数值较大的一方吃亏,或者说对这方不公平
3、。,2、指标体系的建立,(2)不公平程度的衡量: 不妨设P1/n1P2/n2,不公平程度用以下数值衡量: 绝对程度: P1/n1 P 2/n2 评价:无法区分两种程度明显不同的不公平情况 但常识告诉我们,这种情况的公平席位度 比起前面已大为改善。 改进: 相对标准,2、指标体系的建立,(3)相对标准的建立:符号假设同上 若: 定义 为 A相对不公平值 若: 定义 为 B相对不公平值,方案原则:使这些指标值尽可能小,3、分配方案的确定,假设: A、B两方已分别占有n1、n2席,利用相对不公平值 rA和rB讨论,当总席位增加1席时,应该分配给A还是B? 不失一般性可设 ,即对A不公平当再分 配1个
4、席位时,关于P i/n i(i1,2)的不等式可能有以下3 种情况: (1) ,说明即使A方增加1席,仍然对A 不公平,所以这一席显然应分给A方。,3、分配方案的确定,WHY?,3、分配方案的确定,归纳: 因为公平分配席位的原则是使得相对不公平值尽 可能地小,所以如果 则这1席应分给A方;反之则分给B方。,模型: 当上式成立时增加的l席应分给A方。反之则分给B。,4、模型的推广Q值法,推广有m方分配席位的情况: 设第i方人数为P i ,已占有n i个席位,i=1,2,., m。当总席位增加1席时,计算:,应将这席分给Q值最大的一方。这种席位分配 方法称Q值法。,5、本问题求解:,下面用Q值法重
5、新讨论本节开始提出的甲乙丙三系 分配21个席位的问题。 (1) 先按照比例计算结果将整数部分的19席分配完毕, 有n1=10,n26,n33 (2)然后再用Q值方法分配第20席和第21席: 第20席:,第21席:,于是这一席应分给丙系。,评论这种方法公平吗?,Q值所反映的对第i方的不公平程度: 记p为总人数即pP i,n为总席位数,且设第i方 席位n i为按人数比例计算的整数部分即:,于是:,上式两端分别是增加的1席分给第i方和不分给第i方 时,该方每席位所代表的人数,这两个值越大,对第i方 越不公平。而Qi恰是它们的几何平均值的平方,故Qi能 反映对第i方酌不公平程度,增加酌1席应分给Q值最
6、大的 一方。,关于公平分席的另一方案,新问题:学校共1000名学生,235人住在A宿台,333人住B 宿舍,432人住在C宿舍学生们要组织一个10人的委员 会,试用下列办法分配各宿舍的委员数。 dHondt方法: 将A、B、C各宿舍的人数用1,2,3,.正整数相除 其商数如下表:,将所得商数从大到小取前10个(10为席位数),在数字 下标以横线,表中A、B、C行有横线的数分别为2、3、5, 这就是3个宿台分配的席位。这种方法有道理吗?,初 等 模 型,一、公平的席位分配 二、动物的身长和体重 三、划艇比赛 四、人员疏散 五、红绿灯模型,二、动物的身长和体重,问题的提出: 四足动物的躯干的长度(
7、不含头尾)与它的体重有什 么关系? 这个问题有一定的实际意义。比如,在生猪收购站 或屠宰场工作的人们,往往希望能从生猪的身长估计出 它的体重。 动物的生理构造因种类不同而异,如果陷入对生物 学复杂生理结构的研究,将很难得到满足上述目的有使 用价值的模型这里我们仅在十分粗赂的假设基础上, 利用类比方法,借助力学的某些结果,建立动物身长和 体重间的比例关系。,1、问题的分析与假设,把四足动物的躯干看作圆柱体,长度l、直径d、断面 面积s如下图所示。 将这种圆柱体的躯干类比作根支撑在四肢上的弹性 梁,以便利用弹性力学的一些研究结果。,2、模型的建立:,原理: 动物在自身体重f作用下躯干的最大下垂度b
8、,即梁的 最大弯曲,根据对弹性粱的研究,有:,进一步分析b/l的意义,3、生物学角度分析b/l,b/l生理学意义: b/l是动物躯干的相对下垂度。b/l太大,四肢将 无法支撑;b/l太小,四肢的材料和尺寸超过了支撑 躯干的需要,无疑是一种浪费。 生物学进化角度: 经过长期进化,对每一种动物而言b/l已经达到其 最合适的数值,即b/l应视为与这种动物的尺寸无关的 常数。,4、结论,(1)关系式: (前面分析) (2)另一些比例关系: (3)最终结论:,即体重与躯干长度的4次方戊正比。这样,对于某一 种四足动物比如生猪,在根据统计数据确定出上述比例系 数以后,就能从躯干长度估计出动物的体重了。,初
9、 等 模 型,一、公平的席位分配 二、动物的身长和体重 三、划艇比赛 四、人员疏散 五、红绿灯模型,三、划艇比赛,问题提出: 赛艇是一种靠桨手划桨前进的小船,分单人艇、双 人艇、四人艇、八人艇四种。八人艇还分重量级(桨手平 均体重86公斤)和轻量级(平均体重73公斤)。各种艇虽大 小不同,但形状相似TAMcMahon比较了各种赛艇 1964一970年四次2000米比赛的最好成绩(包括1964年和 1968年的两次奥运会和两次世界锦标赛),发现它们之间 有相当致的差别,他认为比赛成绩与桨手数量之间存 在着某种联系,于是建立了一个模型来解释这种关系。,1、数据资料,各种艇的比赛成绩和规格,现象:
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