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1、江苏省盐城市 2019学年高三第一次调研考试 ( 总分 160 分, 考试时间120 分钟 ) 定位置上 . 1 设集合 12Axx , 04Bxx , 则 AB . http:/ 2若复数 ()(1)aii (i是虚数单位, aR)是纯虚数 , 则a= . 是 . 4命题“ xR,sin1x ”的否定是 . 5函数 xxycos2 在 (0,) 上的单调递减区间为 . 6已知平面向量 (1,2)a , ( 1,3)b ,则 a与b 夹角的余弦值 为 . http:/ 7. 把分别写有“灰” 、 “太” 、 “狼”的三张卡片随意排成一排,则能使 卡片排成的顺序从左向右或从右向左都可以念为“灰太
2、狼”的概率 是 .(用分数表示) 8已知某算法的流程图如图所示,若将输出的数组 ),(yx 依次记为 ),( 11 yx , ),( 22 yx , (,) nn xy ,,则程序运行结束时输出的 最后一个数组为 . 9现有一个关于平面图形的命题:如图,同一个平面内有两个边长都是 a 的正方形,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方形重叠 部分的面积恒为 4 2 a . 类比到空间,有两个棱长均为 a 的正方体,其中 一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方体重叠部分的体积恒 为 . http:/ 10已知 nm, 是两条不同的直线,为两个不同的平面,有下列四个命题: 若 /,/mn ,
3、则 /mn; 若 ,mn ,则 /mn; 若 /,mn ,则 nm ;若 ,mmn ,则 /n 其中真命题的序号有 .(请将真命题的序号都填上) 11若函数 2 xb y x 在 ( ,4)(2)a bb 上的值域为 (2,) ,则 b a . 12将正偶数排列如右表,其中第 i行第 j 个数表示为 * ( ,)ijai jN , 2 46 810 12 1416 18 20 第 12 题 第 9 题 例如 43 18a ,若 2010 ij a ,则 ij . http:/ 13若椭圆 )0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 上存在一点M ,它到左焦点的距离是它到右准线距离的2 倍
4、, 则 椭圆离心率的最小值为 . 14 锐角 ABC的三边 cba, 和面积 S满足条件 22 () 4 cab S k , 又角 C既不是 ABC的最大角也 不是 ABC的最小角 , 则实数k 的取值范围是 . http:/ 二、解答题:本大题共6 小题,计90 分 . 解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤, 请把答 案写在答题纸的指定区域内. 15 (本小题满分14 分) . 已知角 ,A B C 是 ABC的内角,向量 (1, 3),(sin(),sin() 2 mnAA ,mn. ()求角A的大小; http:/ ()求函数 )2 3 cos(sin2 2 BBy 的值域 .
5、16 (本小题满分14 分) 如图,在直三棱柱 111 CBAABC 中, 1 BBAB , BAAC 11 , D为AC的中点 . ()求证: 1 B C 平面 BDA1 ; ()求证:平面 11 AB C 平面 11 ABB A . A C B 1 A D 1 B 1 C 第 16 题 17 (本小题满分14 分) 经市场调查,某旅游城市在过去的一个月内(以30 天计) ,旅游人数 ( )f t (万人)与时间 t(天) 的函数关系近似满足 1 ( )4f t t,人均消费 ( )g t (元)与时间t(天)的函数关系近似满足 ( )115|15|g tt . ()求该城市的旅游日收益 (
6、 )w t (万元)与时间 (130,)tttN 的函数关系式; ()求该城市旅游日收益的最小值(万元). 18 (本小题满分16 分) 已知 22 :1O xy 和点 (4,2)M . ()求以点M为圆心,且被 x轴截得的弦长为 2 5 的圆M的 方程; ()过点M向 O 引切线l,求直线l的方程; ()设P为M上任一点,过点P向 O 引切线,切点为Q. 试 探究:平面内是否存在一定点R,使得 PQ PR为定值?若存在,请举 出一例,并指出相应的定值;若不存在,请说明理由. M x y o 第 18 题 19 (本小题满分16 分) 已知数列 n a 是以 d 为公差的等差数列,数列 n b
7、 是以 q为公比的等比数列 ()若数列 n b 的前 n 项和为 n S , 且 11 2abd , 310032 52010Sab , 求整数 q 的值; ()在()的条件下,试问数列 n b 中是否存在一项 k b ,使得 k b 恰好可以表示为该数列中连续 (,2)p pN p 项的和?请说明理由; ()若 123 , rsrt babaa ba (其中t sr ,且( sr )是( tr)的约数), 求证:数列 n b 中每一项都是数列 n a 中的项 . 20 (本小题满分16 分) 已知函数 2 ( )ln(0,1) x f xaxxa aa . ()当 1a 时,求证:函数 (
8、)f x 在 (0,) 上单调递增; ()若函数 |( )| 1yf xt 有三个零点,求t的值; ()若存在 12 , 1,1x x ,使得 12 |()() |1f xf xe ,试求 a 的取值范围 . 盐城市 2019 学年度高三年级第一次调研考试 数学附加题部分 (本部分满分40 分,考试时间30 分钟) 21 选做题 在 A、B、C、D四小题中只能选做2 题, 每小题 10 分, 计 20 分. 请把答案写在答题纸的 指定区域内 . A.(选修 41:几何证明选讲) 如图,已知 OAOB、 是 O 的半径,且 OAOB, P是线段 OA上 一点,直线BP交 O 于点 Q , 过 Q
9、 作 O 的切线交直线OA于点E, 求证: 45OBPAQE . B (选修 42:矩阵与变换) 给定矩阵 2 1 3 0 A ,求 A的特征值 21、 及对应的特征向量 21 aa 、 . C (选修 44:坐标系与参数方程) 已知直线 l的参数方程: 12 xt yt (t为参数)和圆 C的极坐标方程: ) 4 sin(22 ()将直线l的参数方程化为普通方程,圆 C的极坐标方程化为直角坐标方程; ()判断直线 l和圆C的位置关系 D.(选修 45:不等式选讲) 已知函数 ( )12f xxx=-+- . 若不等式 ( )ababa f x+- (0, ,)aa bR刮 恒成立,求实数 x
10、 的范围 . 必做题 第 22、23 题,每小题 10 分 , 计 20 分. 请把答案写在答题纸的指定区域内. E P A Q O B 22 (本小题满分10 分) 如图,在四棱锥 OABCD中,底面ABCD 四边长为1 的菱形, 4 ABC , OA 底面 ABCD, 2OA ,M为OA的中点 . ()求异面直线AB与 MD所成角的大小; ()求点B到平面 OCD 的距离 . 23 ( 本小题满分10 分) 点 (,) nnn P xy 在曲线 : x Cye 上,曲线C在 n P 处的切线 n l 与x轴相交于点 1 (,0) nn Qx , 直线 1n t : 1n xx 与曲线C相交
11、于点 111 (,) nnn Pxy , ( 1 2 3 ,n ). 由曲线 C和直线 n l , 1n t 围成的图形面积记为 n S ,已知 1 1x . (1)证明: 1 1 nn xx ; (2)求 n S 关于 n的表达式; (3)若数列 n S 的前 n 项之和为 n T , 求证: 11nn nn Tx Tx ( 1,2,3,n ). 盐城市 2010 学年度高三年级第一次调研 数学参考答案 必做题部分 填空题:本大题共14 小题,每小题5 分,计 70 分. D O M A B C Q O x y C ln Pn tn+1 Pn+1 1. 0,2 2. 1a 3. 3240xy
12、 4. xR , sin1x 5. 5 (,) 66 6. 2 2 7. 1 3 8. (27,6) 9. 3 8 a 10. 11. 1 16 12. 60 13. 173 2 14. ( 21,1) 解答题:本大题共6 小题,计 90 分. 15. 解: ()因为 (sin,cos)nAA ,且 mn,所以mn=sin 3 cos0AA 4 分 则 tan3A ,又 A (0,) ,所以 3 A 7 分 ()因为 13 (1cos2 )(cos2sin 2 ) 22 yBBB 31 1sin 2cos2 22 BB1sin(2) 6 B 11 分 而 3 A ,所以 2 0 3 B ,则
13、7 2 666 B ,所以 1 sin(2),1 62 B 故所求函数的值域为 1 ,2 2 y 14 分 16. 证明: ()设 11 ABA BO ,连结 OD . 由于点 O是 1 AB 的中点,又D为 AC 的中点,所以 1 /ODB C 5 分 而 1 B C 平面 BDA 1 ,OD平面 BDA1 ,所以 1 B C 平面 BDA 1 7 分 ()因为 1 BBAB ,所以是 11 ABB A 正方形,则 11 A BAB , 又 11 A BAC , 且 11 ,ACAB 平面 11 AB C , 11 ACABA ,所以 1 A B 平面 11 ABB A 12 分 而 1 A
14、 B 平面 11 ABC ,所以平面 11 AB C 平面 11 ABB A 14 分 17解: ()由题意得, 1 ( )( )( )(4)(115|15|)w tf tg tt t 5 分 ()因为 * * 1 (4)(100),(115,) ( ) 1 (4)(130),(1530,) tttN t w t tttN t 7分 当 115t 时, 125 ( )(4)(100)4()401w ttt tt 42 25401441 当且仅当 25 t t,即 5t 时取等号10 分 当15 30t 时, 1130 ( )(4)(130)519(4 )w ttt tt , 可证 ( )w t
15、 在 15,30t 上单调递减, 所以当 30t 时, ( )w t 取最小值为 1 403 3 13 分 由于 1 403441 3 ,所以该城市旅游日收益的最小值为 1 403 3万元 14 分 18. 解: ()设圆的半径为r,则 9)5(2 222 r 3 分 M的方程为 9)2()4( 22 yx 5 分 ()设切线 l方程为 )4(2xky ,易得 1 1 |24| 2 k k ,解得 819 5 k 8 分 切线l方程为 819 2(4) 5 yx 10 分 ()假设存在这样的点 ),(baR ,点P的坐标为 ),(yx ,相应的定值为, 根据题意可得 1 22 yxPQ , 2
16、2 22 )()( 1 byax yx 12 分 即 )22(1 2222222 babyaxyxyx (* ) , 又点 P在圆上 9)2()4( 22 yx ,即 1148 22 yxyx ,代入( * )式得: )11()24()28(1248 222 baybxayx 14 分 若系数对应相等,则等式恒成立, 12)11( 4)24( 8)28( 222 2 2 ba b a , 解得3 10 , 5 1 , 5 2 2, 1,2baba或 , 可以找到这样的定点R,使得PR PQ 为定值 . 如点R的坐标为 )1 ,2( 时,比值为 2 ; 点R的坐标为 ) 5 1 , 5 2 (
17、时,比值为 3 10 16 分 19解: ()由题意知, 1 2 ,2 n nn an bq ,所以由 310032 52010Sab , 得 2 12310032123 52010420062010430bbbabbbbqq 3 分 解得 13q ,又 q为整数,所以2q 5 分 ()假设数列 n b 中存在一项 k b ,满足 121kmmmmp bbbbb , 因为 2 n n b , 1 1 221 kmp kmp bbkmpkmp (* ) 8 分 又 11 121 2 (21) 2222 21 mp kmmnp kmmmmp bbbbb =2 2 mpm 2 mp ,所以 kmp
18、,此与( * )式矛盾 . 所以,这要的项 k b 不存在11 分 ()由 1r ba ,得 21 () rsr bb qa qaasr d ,则 (1) r aq d sr 12 分 又 222 31 (1) ()() r rtrrr aq bb qa qaatr da qatr sr , 从而 (1)(1)(1) rr tr a qqa q sr ,因为 12sr aabb ,所以 1q ,又 0 r a , 故 1 tr q sr. 又tsr, 且(s r )是(tr)的约数 , 所以 q 是整数 , 且 2q 14 分 对于数列 n b 中任一项 i b (不妨设 3i ) ,有 11
19、 (1) ii irrr ba qaaq 2222 (1)(1)()(1) ii rrr aaqqqqad srqqq 22 ()(1)1)1 i r asrqqqd , 由于 22 ()(1)1 i srqqq 是正整数,所以 i b 一定是数列 n a 的项16 分 20. 解: () ( )ln2ln2(1)ln xx fxaaxaxaa 3分 由于 1a ,故当 (0,)x 时, ln0,10 x aa ,所以 ( )0fx , 故函数 ( )f x 在 (0,) 上单调递增5 分 ()当 0,1aa 时,因为 (0)0f ,且 ( )fx 在 R上单调递增, 故 ( )0fx 有唯一
20、解 0x 7 分 所以 ,( ),( )x fxf x 的变化情况如下表所示: x (,0)0 (0,) ( )fx0 ( )f x递减极小值递增 又函数 |( )| 1yf xt 有三个零点,所以方程 ( )1f xt 有三个根, 而 11tt ,所以 min 1( )(0)1tfxf ,解得 2t 11 分 ()因为存在 12 , 1,1x x ,使得 12 |()() |1f xf xe , 所以当 1,1x 时, maxminmaxmin | ( )( )| ( )( )1f xf xf xf xe 12 分 由()知, ( )f x 在 1,0 上递减,在 0,1 上递增, 所以当
21、1,1x 时, minmax ( ( )(0)1,( )max( 1),(1)f xff xff , 而 11 (1)( 1)(1ln)(1ln)2lnffaaaaa aa , 记 1 ( )2ln (0)g ttt t t ,因为 2 2 121 ( )1(1)0g t ttt (当 1t 时取等号), 所以 1 ( )2lng ttt t 在 (0,)t 上单调递增,而 (1)0g , 所以当 1t 时, ( )0g t ;当0 1t 时, ( )0g t , 也就是当 1a 时, (1)( 1)ff ;当0 1a 时, (1)( 1)ff 14 分 当 1a 时,由 (1)(0)1ln1
22、ffeaaeae , 当 01a 时,由 11 ( 1)(0)1ln10ffeaea ae , 综上知,所求 a 的取值范围为 1 0,ae e 16 分 数学附加题部分 21 A.解:证:连结AB,则 AQEABP 4 分,而OA OB,所以 0 45ABO 8分 所以 45OBPAQEOBPABPAQE 10 分 B解:设A的一个特征值为,由题意知: 3.1,0320 3 12 21 即,所以 4分 11 11 2 11 1 , 3 03 A xx a yy 当时, 由得 属于特征值的特征向量 7 分 22 3 ,3 2 11 3 3 01 A xx a yy 当时,由得属于特征值的特征向
23、量 10 分 C解: ()消去参数t,得直线 l的普通方程为 12xy 3 分 ) 4 (sin22 即 )cos(sin2 ,两边同乘以得 )cossin(2 2 , 消去参数,得 C 的直角坐标方程为: 2) 1()1( 22 xx 6 分 ()圆心 C到直线l的距离 2 5 52 12 |112| 22 d ,所以直线l和C相交 10 分 D解:由 ( )ababa f x+- | ,且 a 0,得 | ( ) | abab f x a 3 分 又因为 | 2 | abababab aa ,则有 2 ( )f x 6分 xy z M A B D C O P 解不等式 122xx ,得 1
24、5 22 x 10 分 22解 : 作 APCD 于点 P,如图 , 分别以 AB,AP,AO所在直线为 , ,x y z 建立坐标系, 则 222 (0,0,0),(1,0,0),(0,0),(,0) 222 ABPD , (0,0,2),(0,0,1)OM 2 分 ()设AB与MD所成的角为, 22 (1,0,0),(, 1) 22 ABMD , 1 cos, 23 AB MD ABMD , AB与MD所成角的 大小为 3 6 分 () 222 (0, 2),(, 2) 222 OPOD , 设平面 OCD 的法向量为 ( , , )nx y z , 则 0,0n OPn OD ,即 2
25、20 2 22 20 22 yz xyz , 取 2z , 解得 (0,4,2)n . 设点 B到平面 OCD 的距离为 d, 则d为OB在向量 (0, 4,2)n 上的投影的绝对值, (1,0,2)OB , 2 3 OB n d n ,故点 B到平面 OCD 的距离为 2 3 10 分 23 ()证明:因为 x ye ,所以 x ye ,则切线 n l 的斜率 n x n ke ,所以切线 n l 的方程 为 () n x nn yyexx ,令 0y ,得 1 n Qnxx ,即 1 1 nn xx 2 分 ()解:因为 1 1x ,所以 n xn , 所以 1 1 1 11(2) ()()| 222 n n n x xxnn nnnnn x ee Sedxxxyee e 5 分 ()证明:因为 12(2)2 ()(1) 22 (1) nn n ee Teeee ee e , 所以 11 1 11 111 1 1 nn n nnn n Teee Teeeee ,又 1 11 1 n n xn xnn , 故要证 11nn nn Tx Tx ,只要证 1 11 n e een ,即要证 1 (1) n eene 7 分 下用数学归纳法(或用二项式定理,或利用函数的单调性)等方法来 证明 1 (1) n eene(略) 10 分
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