2019年高考数学试题分类汇编——立体几何.pdf
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1、立体几何 安徽理 (6)一个空间几何体得三视图如图所示,则该几何体的表面积为 第( 6)题图 (A) 48 (B)32+8(C) 48+8(D) 80 (6)C【命题意图】本题考查三视图的识别以及空间多面体表面积的求法. 【解析】由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形的上底为2, 下底为 4, 高为4 ,两底面积和为 1 224424 2 ,四个侧面的面积为 4 422 17248 17,所以几何体的表面积为488 17.故选 C. (17) (本小题满 分 12 分) 如图,ABCDEFG为多面体,平面 ABED与平面 AGFD垂直,点 O在线段AD上, 1,2,OAODO
2、ABV, OAC,ODE,ODF都是正三角形。 ()证明直线BCEF; 北京理 5.如图,AD、AE 、BC分别与圆O切于点D、E、F,延长AF与圆O交于另一点G, 给出下列三个结论: CABCABAEAD; AEADAGAF; ADGAFB . 其中正确的结论的序号是( ) A B C D 【解析】:正确。由条件可知,BD=BF ,CF=CE ,可得CABCABAEAD。 正确。通过条件可知,AD=AE。由切割定理可得 2 AFAGADADAE。 错误。连接FD(如下图),若ADGAFB ,则有ABFDGF。通过图像可知 2ABFBFDBDFDGF,因而错误。答案选A. 7.某四面体三视图如
3、图所示,该四面体四个面的面积中最大的是 A. 8B. 6 2C. 10D. 8 2 【解析】 由三视图还原几何体如下图,该四面体四个面的面积中 最大的是PAC ,面积为10,选 C。 B C A P 4 2 3 5 4 4 C B G A O D E F 16.如图,在四棱锥PABCD中,PA平面ABCD, 底面ABCD 是菱形,2AB,60BAD. (1)求证: BD 平面PAC ; (2)若PAPB,求PB与AC所成角的余弦值; (3)当平面PBC与平面PDC垂直时,求PA的长 . 福建理 15如 D P A B C E P B C D A 图,正方体ABCD-A1B1C1D1中, AB2
4、,点 E为 AD 的中点, 点 F在 CD上,若 EF 平面 AB1C,则线段 EF的长度等于。2 20.(本小题满分12 分) 如图,四棱锥PABCD中, PA 底面 ABCD ,ABAD, 点 E在线段 AD 上, CE AB。 ()求证: CE 平面 PAD ; ()若PA AB1,AD3, CD2, CDA 45 , 求四棱锥PABCD的体积 () 5 6 。 广东理 7如图 l 3某几何体的正视图( 主视图 ) 是平行四边形, 侧视图 ( 左视图 ) 和俯视图都是 矩形,则该几何体的体积为 A.6 3 B.9 3 C.12 3 D.18 3 解析 : 由该几何体的三视图可各该几何体是
5、一个平行六面体,底面是以3 为边长的正方形, 该六面体的高 .,3933,312 22 B故选该几何体的体积为 15. (几何证明选讲选做题)如图4,过圆O外一点P分别作圆 的 切 线 和 割 线 交 圆 于,A B, 且7PB,C是 圆 上 一 点 使 得 5BC,则AB . 2 :, , 7535,35. PABAPBCABACAPB ABPB BAPBCA CBAB ABPB CBAB 解析是圆的切线又 与相似 从而 18. (本小题满分13 分) 如图 5,在椎体PABCD中,ABCD是边长 为 1 的棱形,且 0 60DAB,2PAPD,2,PB ,E F分别是,BC PC的中点,
6、(1)证明:ADDEF平面; (2)求二面角PADB的余弦值 . H ., ,/ , ,/,/ ,/,/, , , , 2 3 ,60,1, 2 1 , ,:)1(: 222 0 DEFADPHBAD PHBDEF EEFDEDEFEFDE PHBDEDEBH PHBEFPBEFBCBCFE PHBAD HBADHBAHABBHAH BHDABABAH ADPHPDPA BHPHHAD 平面平面 平面平面 平面又 平面又显然 平面的中点分别是又 平面 即从而 可得出 连接中点为设证明解 . 7 21 , 7 21 21 3 2 21 2 3 2 3 2 7 2 4 4 3 4 7 2 cos
7、,2, 2 3 , 2 7 ) 2 1 ()2( , ,) 1()2( 222 22 的余弦值为即二面角 的平面角就是二面角 面面且知由 BADP BHPH PBBHPH PHB PBBHPH BADPPHB BADBHPADPHADBHADPH 注 : 本题也可以5,PCAPABAD先算出为一组向量,继而可证明第(1)问 ,并可进一步 得到 AD,DE,DF两两垂直 ,从而建立空间直角坐标系,再解决第 (2)问.总的说来 ,本题用传统方 法 ,还更简单 . 湖北文 7. 设球的体积为 V,它的内接正方体的体积为V,下列说法中最合适的是 A. V比V大约多一半;B. V比V大约多两倍半;C.
8、V比V大约多一倍;D. V比V大约 多一杯半 D 湖北文 18. (本小题满分12 分) 如图,已知正三棱柱ABC- 111 ABC的底面边长为2,侧棱长 为3 2, 点E在 侧 棱 1 AA上 , 点F在 侧 棱 1 BB上 , 且 22AE,2BF. (I) 求证: 1 CFC E; (II) 求二面角 1 ECFC的大小。 湖南文 设图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为 A9423618 9 12 2 9 18 2 答案: D 解析:有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组 合体, 其体积 3 439 +332=18 322 V()。 19 (本题满分12 分) 如 图3, 在
9、圆 锥PO中 , 已 知2,POO的 直 径 3 3 2 正视图侧视图 俯视图 图 1 2,ABCABDAC点 在上, 且CAB=30为的中点 (I )证明: ;ACPOD平面 (II )求直线和平面PAC所成角的正弦值 解析:(I )因为,OAOC DAC是的中点 , 所以ACOD. 又,.POO ACOACOD底面底面所以PO是平面POD内的两条相交直线, 所以;ACPOD平面 (II )由( I )知, ,ACPOD平面 又 ,ACPAC平面 所 以平面,PODPAC平面在平面POD中,过O作 OHPD于H,则,OHPAC平面连结CH,则CH是 OCPAC在平面上的射影,所以OCH是直线
10、OC和平面 PAC所成的角 在 22 1 2 2 2 , 3 1 2 4 PO OD Rt PODOH POOD 中 在 2 ,sin 3 OH Rt OHCOCH OC 中 湖南理 11. 如图 2,,A E是半圆周上的两个三等分点,直径4BC, ADBC, 垂足为 D,BE与AD相交与点F,则AF的长为。 答案: 2 3 3 解析:由题可知,60AOBEOC,2OAOB,得1ODBD, 3 3 DF, 又 2 3ADBD CD,所以 2 3 3 AFADDF. 湖南理19. (本题满分12 分)如图5,在圆锥PO中,已知 2,POO的直径2,ABCABDAC是的中点 ,为的中 点 (I)证
11、明:;PODPAC平面平面 (II)求二面角BPAC的余弦值 解: (I)连接OC,因为OAOC,D为的AC中点,所以ACOD. 又,.POO ACOACPO底面底面所以因为,ODPO是平面POD内的两条 相交直线,所以ACPOD平面。而ACPAC平面,所以PODPAC平面平面。 (II)在平面POD中,过O作OHPD于H,由( I)知,PODPAC平面平面,所以 ,OHPAC平面又,PAPAC平面所以PAOH. 在平面PAO中,过O作OGPA于G,连接HG,则有PAOGH平面, 从而PAHG,所以OGH是二面角BPAC的平面角 在 2 ,sin 45 2 Rt ODAODOA中 在 22 2
12、 2 10 2 , 51 + 2+ 2 PO OD Rt PODOH POOD 中 在 22 2 16 , 3 2+1 + PO OA Rt POAOG POOA 中 在 10 15 5 ,sin 56 3 OH Rt OHGOGH OG 中,所以 10 cos 5 OGH。 故二面角BPAC的余弦值为 10 5 。 江苏 16.(本小题满分14 分)如图,在四棱锥ABCDP中,平面PAD平面 ABCD, AB=AD, BAD=60, E、F分别是 AP、AD 的中点 求证:(1)直线 EF/ 平面 PCD ; (2)平面 BEF 平面 PAD. 答案:(1)因为 E、F分别是 AP、AD 的
13、中点, ,EFPD又,PDPCD EFPCD面面 (16)第题图 直线 EF/ 平面 PCD (2)连接 BD AB=AD,BAD=60 ,ABD为正三角形 F是 AD 的中点,,BFAD 又平面 PAD平面 ABCD,PADABCDAD,面面,BFPAD BFBEF面面 所以,平面BEF 平面 PAD. 解析:本题主要考查空间想象能力和推理论证能力、考查平面的表示,直线与平面、平面与平 面平行和垂直的判定及性质,容易题. 附加: A选修 4-1:几何证明选讲 (本小题满分10 分) 如图,圆 1 O与圆 2 O内切于点A,其半径分别为 1 r与 2 r ( 12 rr) 圆 1 O的弦AB交
14、圆 2 O于点C( 1 O不在AB上) 求证::AB AC为定值 江西理 8. 已知 1 , 2,3是三个相互平行的平面,平面1 , 2之间的距离为1 d,平面 2,3之间的距离为2 d,直线l与 1 , 2,3 分别相交于 1 P, 2 P, 3 P,那么 “ 3221 PPPP”是“ 21 dd”的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】 C 【解析】因为 12 3 ,当 3221 PPPP时不难推出 21 dd,同时当 21 dd时也可 以推出 3221 PPPP,“ 3221 PPPP”是“ 21 dd”的充分 必要条件 21.
15、(本小题满分14 分) 1 A 4 A 3 A 2 A ( 1)如图,对于任一给定的四面体 4321 AAAA,找出依次排列的四个相互平行的平面 4321 ,使得)4, 3, 2, 1( iA ii ,且其中每相邻两个平面间的距离都 相等; (2)给定依次排列的四个相互平行的平面 4321 ,其中每相邻两个平面间的距离 都为 1,若一个正四面体 4321 AAAA的四个顶点满足)4, 3, 2, 1( iA ii ,求该正四 面体 4321 AAAA的体积 . 【解析】 ( 1) 如图所示,取 41A A的三等分点 2 P, 3 P, 31A A的中点M, 42A A的中点N, 过三点 2 A
16、, 2 P,M作平面 2, 过三点3 A, 3 P,N作平面 3,因为22P A 3 NP, 33P A 2 MP, 所以平 面 2平面3,再过点1 A, 4 A分别作平面 1,4与平 面 2 平行,那么四个平面 1,2 , 3 , 4依次相互平行, 由线段 41A A被平行平面 1,2,3,4截得的线段相等 知,期中每相邻两个平面间的距离相等,故 1,2,3,4为所求平面 . ( 2)解法一:当(1)中的四面体为正四面体,若所得的四个平行平面,每相邻两平面之 间的距离为1,则正四面体 4321 AAAA就是满足题意的正四面体.设正四面体的棱长为a, 以 432 AAA的中心O为坐标原点,以直
17、线OA4为y轴,直线 1 OA为z轴建立如图的右手 直角坐标系, 则) 3 6 ,0,0( 1 aA,)0 , 3 6 , 2 ( 2 a a A,)0 , 3 6 , 2 ( 3 a a A,)0 , 3 3 ,0( 4 aA 令 2 P, 3 P为 41A A的三等分点,N为 42A A的中点,有 ) 9 6 , 9 32 , 0( 3 aaP,)0 , 12 3 , 4 (a a N, 所以) 9 6 , 36 35 , 4 ( 3 aa a NP, 1 A 4 A 3 A 2 A o N M z x y 2 P 3 P )0, 4 3 , 4 3 ( 3 a a NA,)0, 4 3
18、, 4 ( 4 a a NA 设平面 NPA 33 的法向量为),(zyxn,有 0 0 3 3 NAn NPn ,即 033 064359 yx zyx 所以,)6,3, 1 ( n. 因为 1,2,3,4相邻平面之间的距离为 1,所以点 4 A到 平面 NPA 33 的距离 1 )6()3(1 |)6(0)3( 4 3 1) 4 ( | 22 a a ,解得10a 由此可得,边长为10的正四面体 4321 AAAA满足条件 . 所以所求正四面体的体积5 3 5 12 2 3 6 4 3 3 1 3 1 32 aaaShV. 解 法 二 : 如 图 , 现 将 此 正 四 面 体 4321
19、AAAA置于一个正方体 1111 DCBAABCD中, (或者说,在正四 面体的四个面外侧各镶嵌一个直角正三 棱锥,得到一个正方体) , 1 E, 1 F分别是 11B A, 11D C的中点,DDEE 11 和FFBB 11 是两个平行平面,若其距离为1,则正四面体 4321 AAAA即为满足条件的正四面体. 右图 是正方体的上底面,现设正方体的棱长为a,若 1 1 MNMA,则有 2 11 a EA, aEADAED 2 52 11 2 1111 据 1111111 EDMAEADA,得5a, 于是正四面体的棱长102ad,其体积5 3 5 3 1 6 1 4 333 aaaV. (即等于
20、一个棱长为a的正方体割去四个直角正三棱锥后的体积) 江西文 9. 将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如右图所示,则该几何体的左视图为() A 1 A EB( 3 A) C )( 41 AC 1 F1 D 1 E1 B F )(2AD 1 D 1 C M N 1 F 1 B 1 E 1 A 答案:D 左视图即是从正左方看, 找特殊位置的可视点, 连起来就可以得到答案。 辽宁理 8如图,四棱锥SABCD的底面为正方形,SD底面 ABCD, 则下列结论中不正确 的是 D AACSB ; BAB平面 SCD CSA与平面 SBD所成的角等于SC与平面 SBD所成的角 DAB与 SC所成的角等于DC与
21、 SA所成的角 12已知球的直径SC =4,A,B 是该球球面上的两点,AB=3,30BSCASC,则棱 锥 SABC的体积为 A33B32C3D1 C 15一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为32,它的三视图中的俯 视图如右图所示,左视图是一个矩形,则这个矩形的面积是 2 3 22 (本小题满分10 分)选修4-1:几何证明选讲 如图, A,B,C,D 四点在同一圆上,AD 的延长线与BC的延长线交于E点,且 EC =ED ( I)证明: CD/ AB; ( II)延长 CD到 F,延长 DC到 G,使得 EF =EG,证明: A,B,G,F 四点共圆 22解: ( I)因为 EC=E
22、D ,所以 EDC= ECD. 因为 A,B,C,D 四点在同一圆上,所以EDC= EBA. 故 ECD= EBA, 所以 CD/AB. 5 分 ( II)由( I)知, AE=BE ,因为 EF=FG ,故 EFD=EGC 从而 FED= GEC. 连结 AF,BG,则 EFA EGB ,故 FAE= GBE , 又 CD/AB, EDC= ECD ,所以 FAB=GBA. 所以 AFG+GBA=180 . 故 A,B,G,F四点共圆 10 分 辽宁文 10已知球的直径SC=4 ,A,B 是该球球面上的两点,AB=2, ASC= BSC=45 ,则棱 锥 S-ABC的体积为 A 3 3 B
23、2 3 3 C 4 3 3 D 5 3 3 C 18 (本小题满分12 分) 如图,四边形ABCD为正方形, QA平面 ABCD,PDQA,QA=AB= 1 2 PD (I)证明: PQ平面 DCQ ; (II)求棱锥QABCD的的体积与棱锥PDCQ的体积的比值 18解:(I)由条件知PDAQ为直角梯形 因为 QA平面 ABCD,所以平面PDAQ 平面 ABCD ,交线为AD. 又四边形ABCD为正方形, DCAD,所以 DC平面 PDAQ,可得 PQDC. 在直角梯形PDAQ中可得 DQ=PQ= 2 2 PD,则 PQ QD 所以 PQ平面 DCQ. 6 分 ( II)设 AB=a. 由题设
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