2019年高考数学试题分类汇编立体几何.pdf
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1、四、立体几何 1.(重庆理9)高为 2 4的四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1 的正方形,点S、 A、 B、C、D 均在半径为1 的同一球面上,则底面ABCD 的中心与顶点S之间的距离为 A 2 4 B 2 2 C 1 D 2 【答案】 C 2.(浙江理 4)下列命题中错误的是 A如果平面 平面 ,那么平面内一定存在直线平行于平面 B如果平面 不垂直于平面 ,那么平面内一定不存在直线垂直于平面 C如果平面 平面 ,平面 平面 , =l ,那么 l平面 D如果平面 平面 ,那么平面内所有直线都垂直于平面 【答案】 D 3.(四川理 3) 1 l , 2 l , 3 l 是空间三条不同的直线,则
2、下列命题正确的是 A 12 ll , 23 ll 13 /ll B 12 ll , 23 / /ll 13 ll C 233 / / /lll 1 l , 2 l , 3 l 共面 D 1 l , 2 l , 3 l 共 点 1 l , 2 l , 3 l 共面 【答案】 B 【解析】A 答案还有异面或者相交, C、 D 不一定 4.(陕西理5)某几何体的三视图如图所示, 则它 的体积是 A 2 8 3 B 8 3 C 82 D 2 3 【答案】 A 5.(浙江理 3)若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是 【答案】 D 6.(山东理 11)右图是长和宽分别相等的两个矩形给定下
3、列三个命题:存在三棱柱, 其正(主)视图、俯视图如下图;存在四棱柱,其正(主)视图、俯 视图如右图;存在圆柱,其正(主)视图、俯视图如右图其中真命 题的个数是 A3 B2 C1 D0 【答案】 A 7.(全国新课标理6) 。在一个几何体的三视图中,正视图与俯视图如右图所示,则相应的侧 视图可以为 【答案】 D 8.(全国大纲理6)已知直二面角 - - ,点 A ,AC ,C 为垂足, B ,BD ,D 为 3 3 2 正视图侧视图 俯视图 图 1 垂足若AB=2 ,AC=BD=1 ,则 D 到平面 ABC 的距离等于 A 2 3 B 3 3 C 6 3 D1 【答案】 C 9.(全国大纲理11
4、)已知平面截一球面得圆M,过圆心M 且与 成 0 60 二面角的平面截 该球面得圆N若该球面的半径为4,圆 M 的面积为4,则圆 N 的面积为 A7B9C11 D 13 【答案】 D 10.(湖南理3)设图 1 是某几何体的三视图,则该几何体的体积为 A 9 12 2 B 9 18 2 C 942 D 3618 【答案】 B 11.(江西理8)已知 1 a , 2 a , 3 a 是三个相互平行的平面平面 1 a , 2 a 之间的距离为 1 d ,平 面 2 a , 3 a 之间的距离为 2 d 直线 l 与 1 a , 2 a , 3 a 分别相交于 1 p , 2 p , 3 p ,那么
5、 “1 2 PP = 23 P P ” 是“ 12 dd ” 的 A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 【答案】 C 12.(广东理7)如图13,某几何体的正视图(主视图)是平行四边形,侧视图(左视图) 和俯视图都是矩形,则该几何体的体积为 A 6 3 B 9 3 C 12 3 D 18 3 【答案】 B 13.(北京理7)某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中,最大的是 A8 B 6 2 C10 D 8 2 【答案】 C 14.(安徽理6)一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 (A)48 (B)32+8 (C)48+8 (D)80
6、【答案】 C 15.(辽宁理8) 。如图,四棱锥SABCD 的底面为正方形,SD 底面 ABCD ,则下列结论中 不正确的是 (A)AC SB (B)AB 平面 SCD (C)SA 与平面 SBD 所成的角等于SC 与平面 SBD 所成的角 (D)AB 与 SC 所成的角等于DC 与 SA 所成的角 【答案】 D 16.(辽宁理12) 。已知球的直径SC=4,A,B 是该球球面上的两点, AB= 3 , 30BSCASC ,则棱锥 SABC 的体积为 (A) 33 (B) 32 (C) 3 (D)1 【答案】 C 17 ( 上 海 理17 ) 设 12345 ,AAAAA 是 空 间 中 给
7、定 的5个 不 同 的 点 , 则 使 123450 M AM AM AM AM A 成立的点M的个数为 A0 B1 C5 D 10 【答案】 B 二、填空题 18.(上海理7)若圆锥的侧面积为 2 ,底面积为,则该圆锥的体积为。 【答案】 3 3 19.(四川理15)如图,半径为R 的球 O 中有一内接圆柱当圆柱的侧面积最大是,求的表面 积与改圆柱的侧面积之差是 【答案】 2 2 R 【解析】 22222 max 224()SrRrrRrS 侧侧 时, 2 22222 22 R rRrrrR ,则 222 422RRR 20.(辽宁理15)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为 32 ,
8、它的三视图中的俯视 图如右图所示,左视图是一个矩形,则这个矩形的面积是 【答案】 2 3 21.(天津理10)一个几何体的三视图如右图所示(单位: m) ,则该几何体的体积为 _ 3 m 【答案】 6 22.(全国新课标理15) 。已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4 的球 O 的球面上,且AB=6 , BC= 2 3,则棱锥 O-ABCD 的体积为 _ 【答案】 8 3 23.(湖北理14)如图,直角坐标系 xOy 所在的平面为,直角坐标系 xOy (其中 y 轴一与 y 轴重合)所在的平面为, 45xOx 。 ()已知平面内有一点 (2 2,2)P ,则点 P在平面内的射影P的 坐标为(2
9、,2); ()已知平面内的曲线 C 的方程是 22 (2)220xy ,则曲线 C 在平面内的 射影 C 的方程是。 【答案】 22 (1)1xy 24.(福建理12)三棱锥P-ABC 中, PA底面 ABC ,PA=3,底面 ABC 是边长为2 的正三角 形,则三棱锥P-ABC 的体积等于 _。 【答案】 3 三、解答题 25. (江苏 16)如图,在四棱锥 ABCDP 中,平面 PAD平面 ABCD ,AB=AD ,BAD=60 , E、 F 分别是 AP、AD 的中点 求证:(1)直线 EF平面 PCD; (2)平面 BEF平面 PAD F E A C D B P 本题主要考查直线与平面
10、、平面与平面的位置关系,考察空间想象能力和推理论证能力。满 分 14 分。 证明:(1)在 PAD 中,因为 E、F 分别为 AP,AD 的中点,所以EF/PD. 又因为 EF平面 PCD,PD平面 PCD, 所以直线EF/平面 PCD. (2)连结 DB ,因为 AB=AD , BAD=60 , 所以 ABD 为正三角形,因为F 是 AD 的 中点,所以BFAD. 因为平面PAD平面 ABCD ,BF 平面 ABCD ,平面 PAD平面 ABCD=AD ,所以 BF平面 PAD。又因为 BF 平面 BEF,所以平面BEF平面 PAD. 26.(安徽理17)如图, ABCDEFG 为多面体,平
11、面ABED与平面 AGFD 垂直,点 O 在线 段AD上, 1,2,OAOD OAB ,,OAC, ODE , ODF 都是正三角形。 ()证明直线 BC EF ; (II)求棱锥FOBED 的体积。 本题考查空间直线与直线,直线与平面、平面与平面的位置关系,空间直线平行的证明,多 面体体积的计算等基本知识,考查空间想象能力,推理论证能力和运算求解能力. (I) (综合法) 证明:设G 是线段 DA 与 EB 延长线的交点 . 由于 OAB 与 ODE 都是正三角形,所以 OB DE 2 1 ,OG=OD=2 , 同理,设 G 是线段 DA 与线段 FC 延长线的交点,有 .2ODGO 又由于
12、 G 和 G 都在线段DA 的延长线上,所以G 与G重合 . 在 GED 和 GFD 中,由 OB DE 2 1 和 OC DF 2 1 ,可知 B 和 C 分别是 GE 和 GF 的 中点,所以BC 是 GEF 的中位线,故BC EF. (向量法) 过点 F 作 ADFQ ,交 AD 于点 Q,连 QE,由平面 ABED 平面 ADFC ,知 FQ平面 ABED ,以 Q 为坐标原点, QE 为 x轴正向, QD 为 y 轴正向, QF 为 z 轴正向,建立如图所 示空间直角坐标系. 由条件知 ). 2 3 , 2 3 ,0(),0 , 2 3 , 2 3 (),3,0 ,0(),0,0 ,
13、3(CBFE 则有 ).3,0 ,3(), 2 3 ,0 , 2 3 (EFBC 所以 ,2BCEF 即得 BCEF. ( II)解:由OB=1 ,OE=2, 2 3 ,60EOBSEOB知 ,而 OED 是边长为2 的正三 角形,故 .3 OED S 所以 . 2 33 OEDEOBOBED SSS 过点 F作 FQAD , 交 AD 于点 Q, 由平面 ABED 平面 ACFD 知, FQ 就是四棱锥FOBED 的高,且FQ= 3,所以 . 2 3 3 1 OBEDOBEDF SFQV 27.(北京理16) 如 图 , 在 四 棱 锥 PABCD 中 ,PA平 面 A B C D, 底 面
14、ABCD 是 菱 形 , 2,60ABBAD . ()求证: BD 平面 ;PAC = = = = ()若 ,PAAB 求 PB 与 AC 所成角的余弦值; ()当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时,求 PA的长 . 证明: ()因为四边形ABCD 是菱形, 所以 AC BD. 又因为 PA平面 ABCD. 所以 PABD. 所以 BD 平面 PAC. ()设AC BD=O. 因为 BAD=60 ,PA=PB=2, 所以 BO=1,AO=CO= 3 . 如图,以O 为坐标原点,建立空间直角坐标系Oxyz,则 P( 0, 3, 2) ,A(0, 3 ,0) ,B(1,0,0) ,C(0, 3,
15、0). 所以 ).0 ,32, 0(),2, 3, 1(ACPB 设 PB 与 AC 所成角为,则 4 6 3222 6 | cos ACPB ACPB . ()由()知 ).0,3, 1(BC 设 P(0, 3 ,t) (t0) , 则 ),3, 1(tBP 设平面 PBC 的法向量 ),(zyxm , 则 0,0mBPmBC 所以 03 , 03 tzyx yx 令 ,3y 则 . 6 , 3 t zx 所以 ) 6 ,3,3( t m 同理,平面PDC 的法向量 ) 6 ,3,3( t n 因为平面PCB平面 PDC, 所以 nm =0,即 0 36 6 2 t 解得 6t 所以 PA=
16、 6 28.(福建理20) 如图,四棱锥 P-ABCD 中, PA底面 ABCD , 四边形 ABCD 中, ABAD , AB+AD=4 , CD= 2, 45CDA (I)求证:平面PAB平面 PAD; (II)设 AB=AP (i)若直线 PB 与平面 PCD 所成的角为 30 ,求线段AB 的长; (ii )在线段 AD 上是否存在一个点G,使得点G 到点 P,B,C,D 的距离都相等? 说明理 由。 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间想 象能力、推理论证能力、抽象根据能力、运算求解能力,考查函数与方程思想、数形结合思 想、化归与转化思想,满
17、分14 分。 解法一: (I)因为 PA 平面 ABCD , AC 平面 ABCD , 所以PAAB, 又 ,ABAD PAADA 所以AB平面 PAD。 又AB平面 PAB,所以平面 PAB 平面 PAD。 (II)以 A 为坐标原点,建立空间直角坐标系 Axyz(如图) 在平面 ABCD 内,作 CE/AB 交 AD 于点 E,则 .CEAD 在Rt CDE中, DE= cos451CD , sin 451,CECD 设 AB=AP=t ,则 B(t,0, 0) ,P( 0,0,t) 由 AB+AD=4 ,得 AD=4-t , 所以 (0,3,0),(1,3,0),(0,4,0)EtCtD
18、t , ( 1,1,0),(0,4,).CDPDtt (i)设平面PCD 的法向量为 ( , , )nx y z , 由 nCD , nPD ,得 0, (4)0. xy t ytx 取x t,得平面 PCD 的一个法向量 , ,4nt tt , 又 ( ,0,)PBtt ,故由直线PB 与平面 PCD 所成的角为 30 ,得 2 2222 | 24 |1 cos60|, 2| | (4)2 n PBtt nPB tttx 即 解得 4 4 5 tt或 (舍去,因为AD 40t ) ,所以 4 . 5 AB (ii )假设在线段AD 上存在一个点G,使得点G 到点 P,B,C,D 的距离都相等
19、, 设 G(0,m,0) (其中 04mt) 则 (1,3,0),(0,4,0),(0, )GCtmGDtmGPm t , 由 | |GCGD 得 222 (4)tmmt , (2) 由( 1) 、 (2)消去 t,化简得 2 340mm (3) 由于方程( 3)没有实数根,所以在线段AD 上不存在一个点G, 使得点 G 到点 P,C,D 的距离都相等。 从而,在线段AD 上不存在一个点G, 使得点 G 到点 P,B,C,D 的距离都相等。 解法二: (I)同解法一。 (II) (i)以 A 为坐标原点,建立空间直角坐标系Axyz(如图) 在平面 ABCD 内,作 CE/AB 交 AD 于 E
20、, 则CE AD 。 在平面 ABCD 内,作 CE/AB 交 AD 于点 E,则 .CEAD 在 Rt CDE 中, DE= cos451CD , sin 451,CECD 设 AB=AP=t ,则 B(t,0, 0) ,P( 0,0,t) 由 AB+AD=4 ,得 AD=4-t , 所以 (0,3,0),(1,3,0),(0,4,0)EtCtDt , ( 1,1,0),(0,4,).CDPDtt 设平面 PCD 的法向量为 ( , , )nx y z , 由n CD ,n PD ,得 0, (4)0. xy t ytx 取x t,得平面 PCD 的一个法向量 , ,4nt tt , 又 (
21、 ,0,)PBtt ,故由直线PB 与平面 PCD 所成的角为 30 ,得 2 2222 | 24 |1 cos60|, 2| | (4)2 n PBtt nPB tttx 即 解得 4 4 5 tt或 (舍去,因为AD 40t ) , 所以 4 . 5 AB (ii )假设在线段AD 上存在一个点G,使得点G 到点 P,B,C,D 的距离都相等, 由 GC=CD ,得 45GCDGDC , 从而 90CGD ,即 ,CGAD sin451,GDCD 设 ,AB则AD=4- , 3AGADGD , 在 Rt ABG 中, 2222 (3)GBABAG 239 2()1, 22 这与 GB=GD
22、 矛盾。 所以在线段AD 上不存在一个点G,使得点G 到点 B,C,D 的距离都相等, 从而,在线段AD 上不存在一个点G,使得点G 到点 P,B,C,D 的距离都相等。 29.(广东理18) 如图 5在椎体 P-ABCD 中, ABCD 是边长为1 的棱形, 且 DAB=60 , 2PAPD ,PB=2, E,F 分别是 BC,PC 的中点 (1) 证明: AD 平面 DEF; (2) 求二面角P-AD-B 的余弦值 法一: (1)证明:取AD 中点 G,连接 PG,BG,BD 。 因 PA=PD,有 PGAD ,在 ABD 中, 1,60ABADDAB ,有 ABD 为等 边三角形,因此
23、,BGAD BGPGG ,所以 AD 平面 PBG ,.ADPB ADGB 又 PB/EF ,得 ADEF ,而 DE/GB 得 AD DE,又 FEDEE ,所以 AD 平 面 DEF。 ( 2) ,PGAD BGAD , PGB为二面角 PAD B 的平面角, 在 2227 , 4 Rt PAGPGPAAG中 在 3 2 Rt ABG中,BG=AB sin60= 222 73 4 21 44 cos 27 73 2 22 PGBGPB PGB PG BG 法二: (1)取 AD 中点为 G,因为 ,.PAPD PGAD 又 ,60 ,ABADDABABD 为等边三角形,因此, BGAD ,
24、从而 AD 平面 PBG。 延长 BG 到 O 且使得 PO OB,又 PO 平面 PBG, PO AD , ,ADOBG 所以 PO 平面 ABCD 。 以 O 为坐标原点,菱形的边长为单位长度,直线OB,OP 分别为 x轴, z 轴,平行于 AD 的直线为 y 轴,建立如图所示空间直角坐标系。 设 11 (0,0,),( ,0,0),( ,0),( ,0). 22 PmG nA nD n则 3 | | sin60 2 GBAB 333 13 1 (,0,0),(,1,0),(,0),(,). 22222422 nm B nC nE nF 由于 33 (0,1,0),(,0,0),(,0,)
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