北京市第四中学高考数学总复习计数原理、排列组合知识讲解.pdf
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1、高考总复习:计数原理、排列组合 【考纲要求】 1理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理;会用分类加法计数原理或分步乘法计数原 理分析和解决一些简单的实际问题. 2理解排列、组合的概念;能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式;能解决简单 的实际问题 . 【知识网络】 【考点梳理】 要点一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第1 类方案中有m种不同的方法,在第2 方案中有n 种不 同的方法。那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。 要点诠释: 如果完成一件事有n 类办法,这n 类办法彼此之间是相互独立的,无论哪一类办法中哪一 种方法都能完成这件
2、事,求完成这件事的方法种数,就用分类加法计数原理;在解题时,应首 先分清楚怎样才算完成这件事,有些题目在解决时需要进行分类讨论,分类时要适当地确定分 类的标准,按照分类的原则进行,做到不重不漏。 2分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤,做第1 步有 m种不同的方法,做第2 步有 n 种不同的方法,那 么完成这件事共有N=m n 种不同的方法。 要点诠释: 排列数公式 组合 两 个 计 数 原 理 排列 排列概念 组合概念 组合数公式 组合数性 应用 如果完成一件事需要分成n 个步骤,缺一不可,即需要依次完成所有的步骤,才能完成这 件事,而完成每一个步骤各有若干种不同的方法,计算完成这件事的
3、方法种数就用分步乘法计 数原理。解题时,关键是分清楚完成这件事是分类还分步,在应用分步乘法计数原理时,各个 步骤都完成,才算完成这件事,步骤之间互不影响,即前一步用什么方法,不影响后一步采取 什么方法,运用分步乘法计数原理,要确定好次序,还要注意元素是否可以重复选取。 3两个计数原理的综合应用 (1) 在解决实际问题的过程中,并不一定是单一的分类或分步,而是可能同应用计数原理, 即分类时,每类的方法可能要运用分步完成的,而分步时,每步的方法数可能会采取分类的思 想求。另外,具体问题是先分类后分步,还是先分步后分类,应视问题的特点而定。解题时经 常是两个原理交叉在一起使用,分类的关键在于要做到“
4、不重不漏” ,分类的关键在于要正确设 计分步的程序,即合理分类,准确分步。 (2)对于复杂问题,只用分类加法计数原理或分步乘法计数原理不能解决时,可以综合应 用两个原理,可以先分类,在某一类中再分步,也可先分步,在某步中再分类。 要点二、排列与组合基础知识 1.定义、公式 排列与排列数组合与组合数 定 义 1排列:从n 个不同元素中取出m (m n) 个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列。 2排列数:从n 个不同元素中取出m (m n) 个元素的所有不同排列的个数,叫做从 n 个不 同元素中取出m个元素的排列数。 1组合:从n 个不同元素中取出m (m
5、n)个 元素合成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。 2组合数:从n 个不同元素中取出m (m n) 个元素的所有不同组合的个数,叫做从n 个不 同元素中取出m个元素的组合数。 公 式 排列数公式 ! (1)(2)(1) ()! m n n An nnnm nm 组合数公式 (1)(2)(1) ! ! !()! m mn n m m An nnnm C mA n m nm 性 质 (1)!; n n An (2)0!1 0 1 1 (1)1; (2); (3) n mn m nn mmm nnn C CC CCC 备 注 * , n mNmn且 要点诠释: 区分某一问题是排列
6、问题还是组合问题,关键是看所选出的元素与顺序是否有关,若交换某两 个元素的位置对结果产生影响,则是排列问题,否则是组合问题。 2.排列数、组合数计算 (1)排列数公式:右边第一个因数为n,后面每个因数都比它前面那个因数少1,最后一个因 数是 n-m+1,共 m个因数。公式 ! ()! m n n A nm 主要用于含有字母的排列数的式子的变形与论证; (2) 组合数公式有乘积形式与阶乘形式两种,与排列数公式的应用一样,前者多用于数字计算, 后者多用于对含有字母的组合数的式子进行变形和论证。还应注意组合数公式的逆用,即由 ! !()! n m nm 写出 m n C。 要点诠释: 在排列数、组合
7、数计算过程要注意阶乘的运算及组合数性质的运用,注意含有排列数或组合数 的方程都是在某个正整数范围内求解。 要点三、排列应用题 求排列应用题的主要方法有: (1)直接法:把符合条件的排列数直接列式计算; (2)特殊元素(或位置)优先安排的方法,即先排特殊元素或特殊位置; (3)排列、组合混合问题先选后排的方法; (4)相邻问题捆绑处理的方法。即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列,同时注意 捆绑元素的内部排列; (5)不相邻问题插空处理的方法。即先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前 面元素排列的空当中; (6)分排问题直排处理的方法; (7) “小集团”排列问题中先集体后局部
8、的处理方法; (8)定序问题除法处理的方法。即可以先不考虑顺序限制,排列后再除以定序元素的全排列; (9)正难则反,等价转化的方法。 要点四、组合应用题 组合问题常有以下两类题型变化: (1) “含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含” ,则先将这些元素取出,再由另外元素 补足; “不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取。 (2) “至少”或“最多”含有几个元素的题型:解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这 两个关键词的含义,谨防重复与漏解。用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂 时,考虑逆向思维,用间接法处理。 要点五、排列、组合应用题 1. 排列、组合问题几大解
9、题方法: 直接法 . 排除法 . 捆绑法:在特定要求的条件下,将几个相关元素当作一个元素来考虑,待整体排好之后再考 虑它们“局部”的排列. 插空法:先把一般元素排列好,然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中,此法主要 解决“元素不相邻问题”. 占位法:从元素的特殊性上讲,对问题中的特殊元素应优先排列,然后再排其他一般元素; 从位置的特殊性上讲,对问题中的特殊位置应优先考虑,然后再排其他剩余位置. 即采用“先特 殊后一般”的解题原则. 调序法:当某些元素次序一定时,可用此法. 解题方法是:先将n 个元素进行全排列有 n n A种, )(nmm个元素的全排列有 m m A种, 由于要求m个元素
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