必修四平面向量常考知识点整理和复习、典型高考例题分析.pdf
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1、向量复习 知识点 1: 两个不为零的向量a,b平行,)0(ba 如果ba,能够用直角坐标系的坐标表示,那么设 ),(),(qpbnma,那么npmq 如果ba,能够用两个不共线的基向量dc,表示,比 如说dncma,dqcpb,那么基向量前面 的系数成比例,也就是npmq 在这里强调其实后面两点是一样的,因为向量的坐标表示法引进前身是用直角坐标系的 两个垂直的单位向量ji,,比如),(nma,也即是jnima,为了方便,我们写成 坐标形式,而这点其实是的一般形式, 就是讲两个基向量推广到了不垂直的情况。 用这个知识点的例题比如说: 【例一】设a与b是两个不共线的向量,且向量ab与(2 )ba
2、共线,则的值为 【解析】要求的两个向量就是用a与b作为基底的, 那么这两个向量共线能够得到前面的系 数成比例,也即是 12 1 ,也即 2 1 【例二】 在平行四边形ABCD 中, AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点 ,AE 的延长 线与 CD 交于点 F,若ACa,BDb,则AF=() A 11 42 abB 21 33 ab C 11 24 abD 12 33 ab 【解析】比如说使用这个知识点首先本题的难点在于F 点的位置,其在DC 中的位置比 例,所以首先要确定其位置在哪里,所以,我们设 DCDF 那么我们就能够用一个FEA,共线来确定的值 所以我们能够用AFAE,用
3、相同基向量表示这两个向量,然后用系数比例的关系求出这 个的值 ABADADABADADACADAOAE 4 1 4 3 2 1 )( 4 1 2 1 4 1 2 1 2 1 ABADDCADDFADAF 则 3 1 4 1 1 4 3 baBDACOCBO OBAOOCBOABADAF 3 1 3 2 3 1 3 2 3 4 3 2 )( 3 1 )( 3 1 【例三】如图,在 ABC 中,点 M 为 BC 的中点, A、 B、C 三点坐标分别为(2, 2) 、 (5,2) 、 ( 3,0) ,点 N 在 AC 上,且NCAN2,AM 与 BN 的交点为 P,求: (1)点 P分向量AM所成的
4、比的值 ; (2)P 点坐标 【解析】这题例题也是同样的道理,(1)主要求 P 点,假设AMAP, 因为NPB,三点共线,所以BNBP,用基向量BCBA,表示,再用待定系数法求得的 值。 ABBCABBCABBC ABACBCAMBCMPBMBP )1( 2 )(1( 2 1 2 1 )(1( 2 1 2 1 )1( 2 1 ABBCBCABBCACBCCNBCBN 3 1 3 2 )( 3 1 3 1 所以 5 4 )1 (2 2 3 1 )1( 3 2 2 ,所以分向量AM所成的比的值为 4 1 (2)用比例的方法能够得到P) 5 2 , 5 6 ( (总结方法:在图中有未知线段的比例不知
5、道,就能够先设其线段比例为,然后 利用一个三点共线的两向量平行来求解的值。) 知识点 2: 重要定理 (此定理在2019 年高考中多省份考到这个知识点):假设平面上有三点 CQP, 且这三点共线,另外有不在这条直线上的点O点,能够得到 1,OQOPOC 证明这个定理: 证明:能够由CQP,三点共线能够假设 PQtPC, )(OQPOtOPPQtOPPCOPOC OQtOPt)1( 也即1,1tt 不难得出:如果C在PQ线段之间是能够得到1, 10, 10 如果C在PQ延长线上时,1,0,1 如果C在QP延长线上时,1,0, 1 例题讲解 【例四】如下图所示,两射线OA 与 OB 交于点 O,下
6、列 5 个向量中, OBOA2,OBOA 3 1 4 3 ,OBOA 5 1 4 3 ,OBOA 3 1 2 1 , OBOA 5 1 4 3 若以 O 为起点,终点落在阴影区域内(含边界)的 向量有()个 A1 B2 C3 D4 【解析】可得在BA的延长线上,如何使用上 面的定理主要靠转化成定理的形式,比如说 OBOBOAOBOA 12 1 ) 4 1 4 3 ( 3 1 4 3 ,那么 OBOA 4 1 4 3 的终点在AB线段上,如图1,那 么OBOBOA 12 1 ) 4 1 4 3 (就会在如图的阴影部分内。 同理能够 将OBOA 3 1 4 3 转化为OBOBOAOBOA 20 1
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