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1、21.2.4 一元二次方程根与系数的关系( 第二课时 ) 导学探究 1一元二次方程的一般形式是_. 2. 一元二次方程的求根公式是_. 3. 判别式与一元二次方程根的情况: 4. 一元二次方程ax 2+bx+c=0( a0) 有两个实数根x1,x2与系数 a,b,c的关系是什么? 典例探究 1已知一元二次方程两根的关系求参数或参数的范围 总结: 已知一元二次方程两根x1,x2 的不等关系求原方程中的字母参数时,一般考虑韦达定理和 根的判别式,尤其是根的判别式不要忘记,这是保证方程有根的基本条件. 练 1已知 x1,x2 是关于 x 的一元二次方程x 2( 2k+1)x+k2+2k=0 的两个实
2、数根,且 x1, x2 满足 x1?x2x1 2x 2 20,求 k 的取值范围 . 【例 2】( 2015?丹江口市一模)已知关于x 的方程 x 22(m+1 )x+m23=0 (1)当 m取何值时,方程有两个实数根? (2)设 x1、x2是方程的两根,且(x1x2) 2x 1x2=26,求 m的值 总结: 1. 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a 0)根的情况与判别式的关系如下: 2 4bac是一元二次方程 2 0(0)axbxca的根的判别式,设 2 =4bac,则 (1)当0时, _ ; (2)当=0时, _ (3)当0时,原方程 _. 【例 1】已知关于x 的方程 2 1 20,
3、 3 xkx设方程的两个根为x1,x2,若 1212 2()x x ,xx 求 k 的取值范围 . 如 果x1, x2是 一 元 二 次 方 程ax 2+bx+c=0(a 0) 的 两 个 实 数 根 , 则 有 1212 , bc xxxx aa 这是著名的韦达定理. (1) 0? 方程有两个不相等的实数根; (2) =0? 方程有两个相等的实数根; (3) 0? 方程没有实数根 练 2(2015?广水市模拟)已知x1、x2是一元二次方程2x 22x+m+1=0的两个实数根 (1)求实数m的取值范围; (2)如果 x1、x2满足不等式7+4x1x2 x1 2+x 2 2,且 m为负整数,求出
4、 m的值,并解出方程的 根 3根据一元二次方程求含两根的代数式的值 总结: 在应用一元二次方程的根与系数的关系解题时,先要把一元二次方程化为它的一般形式,以 便确定各项的系数和常数的值. 如果待求式中没有出现两根之和或两根之积的形式,注意适当变形. 常见变形如下: 2. 一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a0) 两实数根 x 1, x2又有如下关系: 1212 , bc xxxx aa , 所以已知关于x1,x2 的关系等式可以求原方程中的字母参数. 3. 注意使用 1212 , bc xxxx aa 的前提是原方程有根,所以必须保证判别式0. 【例 3】( 2015?大庆)已知实数a,b
5、 是方程 x 2x1=0 的两根,求 +的值 注意 1212 , bc xxxx aa 中两根之和、两根之积的符号,即和是,积是,不要记 混. 练 3(2015?合肥校级自主招生)已知:关于x 的方程 x 2+2xk=0 有两个不相等的实数根 (1)求 k 的取值范围; 夯实基础 一、选择题 1. (2011 江苏南通, 7,3 分)已知 3 是关于x的方程x 25xc0 的一个根,则这个方程 的另一个根是 2 B. 2 C. 5 D. 6 A1 B 1 C 1 或 1 D2 A 5 B 5 C 1 D 1 二、填空题 4(2015?泸州)设 x1、 x2是一元二次方程x 25x1=0 的两实
6、数根, 则 x 1 2+x 2 2 的值为 _ 5(2013 贵州省黔西南州) 已知 x=1 是一元二次方程x 2 +ax+b=0 的一个根,则代数式 a 2+b2+2ab (1) 222 121212 (xx )2x xxx (2) 22 121212 ()(xx )4 x xxx (3) 12 1212 11xx xxx x (4) 222 21121212 121212 (xx )2x xxxxx xxx xx x (5) 1 (x1) 21212 (x +1)=x x +(x +x )+1 (6) 22 12121212 (xx )(xx )4x xxx ( 2)若 ,是这个方程的两个
7、实数根,求的值 . 2. (2011 湖北荆州, 9,3 分)关于x的方程0) 1(2) 13( 2 axaax有两个不相等 的实根 1 x、 2 x,且有axxxx1 2211 ,则a的值是 3.(2013 四川泸州) 设 12 ,x x 是方程 2 330xx 的两个实数根, 则 21 12 xx xx 的值为() 的值是 6.(2015?日照) 如果 m ,n 是两个不相等的实数,且满足 m 2m=3 ,n2n=3,那么代数式 2n 2 mn+2m+2015=_ 三、解答题 7( 2015?梅州)已知关于x 的方程 x 2+2x+a2=0 (1)若该方程有两个不相等的实数根,求实数a 的
8、取值范围; (2)当该方程的一个根为1 时,求 a 的值及方程的另一根 9( 2015?南充)已知关于x 的一元二次方程(x1)( x4)=p 2,p 为实数 (1)求证:方程有两个不相等的实数根; (2)p 为何值时,方程有整数解(直接写出三个,不需说明理由) 10( 2015?华师一附中自主招生)已知m ,n 是方程 x 2+3x+1=0 的两根 11( 2015?孝感校级模拟)已知x1,x2是一元二次方程(a6)x 2+2ax+a=0 的两个实数根, 是否存在实数a,使 x1+x1x2=4+x2成立?若存在,求出a 的值;若不存在,请你说明理由 12( 2014?广东模拟)已知关于x 的
9、方程 x 22(k1)x+k2=0有两个实数根 x1、x2 (1)求 k 的取值范围; (3)求( x11)?(x2 1)的最小值 8. 已知,关于x 的方程 xmmxx22 22 的两个实数根1 x、 2 x 满足12 xx ,求实数 m的值 . (1)求( m+5 )的值 (2)求+的值 (2)求证: x1+x2=2(k1),; 13. (2010?黄州区校级自主招生)已知方程x22x+m+2=0的两实根 x1,x2 满足 |x1|+|x2| 3,试求 m的取值范围 求:( 1)m的值;( 2) ABC的面积 典例探究答案: 所以 k 为任意实数,方程都有两个不相等的实数根. 综上, k
10、的取值范围是 k-1. 点评:本题考查了一元二次方程根与系数的关系. 注意:对于含参数的一元二次方程,已知 两根关系求参数的范围时,除了用到韦达定理之外,还要考虑根的判别式. 练 1 【解析】根据根与系数的关系得出x1+x2=2k+1, x1?x2=k 2+2k,变形后代入即可得出关 于 k 的不等式,求出不等式的解集即可 解:关于x 的一元二次方程x 2( 2k+1)x+k2+2k=0 有两个实数根 x1, x2, x1+x2=2k+1,x1?x2=k 2+2k, x1?x2x1 2x 2 2 0成立, x1?x2( x1 2+x 2 2) 0,即 x 1?x2 ( x1+x2) 2 2x
11、1?x2 0, k 2+2k (2k+1)22( 2k+1) 0, 14. (2015?黄冈中学自主招生)已知关于x 的方程( m 21)x2 3(3m 1)x+18=0 有两个 正整数根( m是正整数) ABC的三边 a、b、c 满足,m 2+a2m 8a=0,m2+b2m 8b=0 【例 1】 分析:先考虑判别式0,根据题意得 2 8 0 3 k,这说明k 取任意实数,方程 都 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 , 再 利 用 根 与 系 数 的 关 系 得x1+x2=3k , x1x2=-6 , 代 入 1212 2()x xxx即可求得k 的取值范围 . 解:根据题意,得 22
12、18 4( 2)0 33 kk, x1+x2=3k, x1x2=-6,且 1212 2()x xxx, 2 36k,解得 k-1. 点评: 本题考查了根与系数的关系的应用,解此题的关键是能得出关于k 的不等式 【例 2】【解析】 (1)根据一元二次方程根的判别式的意义得到4(m+1 ) 24(m2 3) 0, 然后解不等式即可; (2)根据根与系数的关系得x1+x2=2(m+1 ), x1x2=m 23,代入( x 1x2) 2x 1x2=26,计算 即可求解 解:( 1)根据题意,得=4(m+1 ) 24(m23) 0, 解得 m 2; (2)当 m 2 时, x1+x2=2(m+1 ),
13、x1x2=m 2 3 则( x1 x2) 2x 1x2=( x1+x2) 25x 1x2=2( m+1 ) 2 5(m23)=26, 即 m 28m+7=0 , 解得 m1=1 2,m2=7 2, 所以 m1=1,m2=7 点评:本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系,一元二次方程根的判别式 练 2【解析】( 1)根据判别式的意义得到=( 2) 242( m 1) 0,然后解不等 式; 解:( 1)根据题意得=( 2) 242( m 1) 0, 7+4x1x2x1 2+x 2 2, 7+6x1?x2( x1+x2) 2, k或 k1. (2)先根据根与系数的关系得x1+x2=1,x1?x2=
14、,把 7+4x1x2x1 2+x 2 2 变形得7+6x1?x2 (x1+x2) 2,所以 7+6 1,解得 m 3,于是得到m的取值范围 3 m ,由于 m为负整数,所以m= 2 或 m= 1,然后把m的值分别代入原方程,再解方程 解得 m ; (2)根据题意得x1+x2=1,x1?x2=, 7+6 1,解得 m 3, 3m , m为负整数, m= 2 或 m= 1, 当 m= 1 时,方程变形为x 2x=0,解得 x 1=1,x2=0 点评:本题考查了根的判别式:一元二次方程ax 2+bx+c=0(a0)的根与 =b24ac 有如下 关系: 当 0 时,方程有两个不相等的两个实数根;当=0
15、 时,方程有两个相等的两个实 数根;当 0 时,方程无实数根也考查了根与系数的关系 解:实数a,b 是方程 x 2x1=0 的两根, a+b=1,ab=1, 练 3【解析】 (1)由方程 x 2+2xk=0 有两个不相等的实数根,可以求出 0,由此可求 出 k 的取值范围; 解:( 1) =4+4k, 方程有两个不等实根, 0,即 4+4k0 k 1 (2)由根与系数关系可知+=2, =k, 当 m= 2 时,方程变形为2x 2 2x1=0,解得 x1=,x2=; 【例 3】 【解析】根据根与系数的关系得到a+b=1,ab=1,再利用完全平方公式变形得到 +=,然后利用整体代入的方法进行计算
16、+=3 点评: 本题考查了根与系数的关系:若 x1,x2是一元二次方程ax 2+bx+c=0(a0)的两根时, x1+x2=,x1x2= (2)欲求的值,先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式,代入数值 计算即可 点评:将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法 夯实基础答案: 一、选择题 1. B 2. B 3. 【解析】由已知得x1+x2 3,x1x2 3,则 故选 B 点评:本题着重考查一元二次方程根 与 系 数 关 系 的 应用,同时也考查了 代数式变形、求值的方法 二、填空题 4【解析】首先根据根与系数的关系求出x1+x2=5,x1x2=1,然后把 x1 2+
17、x 2 2 转化为 x1 2+x 2 2= (x1+x2) 22x 1x2,最后整体代值计算 解: x1、x2是一元二次方程x 25x1=0 的两实数根, x1+x2=5,x1x2=1, x1 2 +x2 2=(x 1+x2) 22x 1x2=25+2=27, 故答案为: 27 点评:本题主要考查了根与系数的关系的知识,解答本题的关键是掌握一元二次方程两根之 和与两根之积与系数的关系,此题难度不大 5. 【解析】将x=1 代入到 x 2+ax+b=0 中求得 a+b 的值,然后求代数式的值即可 解: x=1 是一元二次方程x 2+ax+b=0 的一个根, 1 2+a+b=0, a+b=1, a
18、 2+b2+2ab=(a+b)2=( 1)2=1 故答案为: 1 点评:此题主要考查了一元二次方程的解,解题的关键是把已知方程的根直接代入方程得到 =, 原式 21 21 2 21 2)( xx xxxx 3 )3(2)3( 2 5 待定系数的方程即可求得代数式的值 6. 【解析】由于m ,n 是两个不相等的实数,且满足m 2 m=3 ,n2n=3,可知 m , n 是 x2x 3=0 的两个不相等的实数根则根据根与系数的关系可知:m+n=2 ,mn= 3,又 n 2=n+3, 利用它们可以化简2n 2mn+2m+2015=2 (n+3)mn+2m+2015=2n+6 mn+2m+2015=2
19、 (m+n ) mn+2021 ,然后就可以求出所求的代数式的值 解:由题意可知:m ,n 是两个不相等的实数,且满足m 2m=3 ,n2n=3, 所以 m , n是 x 2x3=0 的两个不相等的实数根, 则根据根与系数的关系可知:m+n=1 ,mn= 3, 又 n 2=n+3, 则 2n 2mn+2m+2015 =2( n+3) mn+2m+2015 =2n+6mn+2m+2015 =2( m+n ) mn+2021 =2 1( 3)+2021 =2+3+2021 =2026 故答案为: 2026 点评: 本题考查一元二次方程根与系数的关系,解题关键是把所求代数式化成两根之和、两 根之积的
20、系数,然后利用根与系数的关系式求值 三、解答题 7 【解析】(1)关于 x 的方程 x 22x+a2=0 有两个不相等的实数根, 即判别式 =b 24ac 0即可得到关于a 的不等式,从而求得a 的范围 (2)设方程的另一根为x1,根据根与系数的关系列出方程组,求出 a 的值和方程的另一根 解:( 1) b 2 4ac=( 2)241( a2)=124a 0, 解得: a3 a 的取值范围是a3; (2)设方程的另一根为x1,由根与系数的关系得: 则 a 的值是 1,该方程的另一根为 3 点评: 本题考查了一元二次方程根的判别式,一元二次 方程根的情况与判别式的关系: (1) 0? 方程有两个
21、不相等的实数根; (2) =0? 方程有两个相等的实数根; (3) 0? 方程没有实数根 8.【解析】:先把原方程变形,得到一个一元二次方程的形式,利用已知条件,两根或是相 等,或是互为相反的数,从而找到关于m的方程, 从而得到m的值,但前提条件是方程得有 实数根 . 点评:本题是考查一元二次方程有根的情况求字母的值. 首先在保证方程有实数的前提下, 再利用两根之间的关系找到含有字母的方程,从而得到字母的值. 9【解析】(1)要证明方程总有两个不相等的实数根,那么只要证明0 即可; (2)要是方程有整数解,那么x1?x2=4p 2 为整数即可,于是求得当p=0, 1 时,方程有 整数解 解;(
22、 1)原方程可化为x 25x+4p2=0, =( 5) 2 4( 4p2)=4p2+9 0, 不论 m为任何实数,方程总有两个不相等的实数根; (2)方程有整数解, ,解得:, 解:原方程可变形为:0) 1(2 22 mxmx. 1 x、 2 x是方程的两个根, 0, 即: 4(m +1) 2-4m20, 8m+40, m 2 1 . 又 1 x、 2 x 满足12 xx , 1 x =2 x 或1 x =-2 x , 即 =0或1 x +2 x =0, 由 =0, 即 8m+4=0,得 m= 2 1 . 由 1 x+ 2 x=0, 即:2(m+1)=0, 得 m=-1,( 不合题意,舍去)
23、所以 , 当 12 xx 时, m的值为 2 1 . x1?x2=4p 2 为整数即可, 当 p=0, 1 时,方程有整数解 点评: 本题考查了一元二次方程的根的情况,判别式的符号,把求未知系数的范围的问题 转化为解不等式的问题是解题的关键 10【解析】(1)首先求出m和 n 的值,进而判断出m和 n 均小于 0,然后进行分式的化 简,最后整体代入求值; 解:( 1) m ,n 是方程 x 2+3x+1=0 的两根, m n0, m ,n 是方程 x 2+3x+1=0 的两根, m 2+3m+1=0 , 原式 =0; (2) m 0,n 0, m+n= 3, mn=1 , 原式 =92=7 点
24、评: 本题主要考查了根与系数的关系、分式的化简求值以及代数求值等知识,解答本题的 (2)根据 m和 n 小于 0 化简+为(),然后根据m+n= 3, mn=1整体代值计算 m=,n=, 原式 =? = =62m = +=mn=+=(), 关键是能求出m和 n 的判断出m和 n 均小于 0,此题难度一般 解:存在 x1,x2是一元二次方程(a6)x 2+2ax+a=0 的两个实数根, a0, x1+x1x2=4+x2, x1x2=4+x2+x1, 解得: a=24 12【解析】 (1)根据判别式的意义得到= 2(k1) 241k20,然后解不等式 即可; (3)利用( 2)中的结论得到(x11
25、)?( x21)=x1?x2( x1+x2)+1=k 22(k 1)+1, 然后利用配方法确定代数式的最小值 (1)解:依题意得= 2(k1) 2 41k 20, (2)证明:=48k, 11 【解析】由 x1, x2是一元二次方程 (a6) x 2+2ax+a=0 的两个实数根, 可得 x 1+x2=, x1?x2=, =(2a) 2 4a(a6)=24a0,又由 x1+x1x2=4+x2,即可求得a 的值 x1+x2=,x1?x2=, =(2a) 24a(a6) =24a0, 即=4, 点评: 此题考查了根与系数的关系以及根的判别式此题难度适中, 注意掌握若二次项系数 不为 1, x1,x
26、2是一元二次方程ax 2+bx+c=0( a0)的两根时, x1+x2=,x1x2= (2)利用求根公式得到x1=k1+,x2=k1,然后分别计算x1+x2,x1x2 的值即可; 解得 k; x=, x1=k 1+,x2=k1 x1+x2=k1+k1=2(k1); x1?x2=(k1+)( k1) =(k1) 2( ) 2=k2; (3)解:( x1 1)?( x21)=x1?x2( x1+x2)+1=k 22(k1)+1=(k1)2+2, ( k1) 20, ( k1) 2+2 2, ( x1 1)?( x21)的最小值为2 13.【解析】 由于方程x 22x+m+2=0的有实根, 由此利用
27、判别式可以得到 m的一个取值范围, 然后利用根与系数的关系讨论|x1|+|x2| 3 就又可以得到m的取值范围, 最后取它们的公共 部分即可求出m的取值范围 解:根据题意可得 =b 24ac=441( m+2 ) 0, 解得 m 1, 而 x1+x2=2,x1x2=m+2 , 当 m 2 时, x1、x2异号, 设 x1为正, x2为负时, x1x2=m+2 0, 当 2m 1 时, x1、 x2同号,而 x1+x2=2, x1、x2都为正,那么|x1|+|x 2|=x1+x2=23, 符合题意, m的取值范围为2 m 1 【点评】此题主要考查了一元二次方程的判别式及根 与系数的关系, 将根与
28、系数的关系与代数式变形相结 合解题是一种经常使用的解题方法同时也利用分类讨论的思想方法 14. 【解析】( 1)本题可先求出方程(m 21) x2 3(3m 1)x+18=0 的两个根,然后根据 这两个根都是正整数求出m的值 点评: 本题考查了根与系数的关系:若 x1,x2是一元二次方程ax 2+bx+c=0(a0)的两根时, x1+x2=, x1x2=也考查了根的判别式 |x1|+|x2|=x1 x2=3, m ,而 m 2, m 2; 故 m的取值范围为:m 1 (2)由( 1)得出的m的值,然后将m 2+a2m 8a=0,m2+b2m 8b=0进行化简,得出 a,b 的 值然后再根据三角
29、形三边的关系来确定符合条件的a,b 的值,进而得出三角形的面积 解:( 1)关于x 的方程( m 2 1)x 23(3m 1)x+18=0 有两个正整数根( m是整数) a=m 2 1,b= 9m+3 ,c=18, b 24ac=(9m 3)272(m21)=9(m 3)2 0, 设 x1,x2是此方程的两个根, 又 m为正整数, m=2 ; (2)把 m=2代入两等式,化简得a 24a+2=0,b24b+2=0 当 ab 时, a、 b 是方程 x 24x+2=0 的两根,而0,由韦达定理得 a+b=40,ab=2 0,则 a0、b0 点评:本题考查了一元二次方程根与系数的关系以 及勾股定理等知识点,本题中分类对a,b 的值进行讨论,并通过计算得出三角形的形状是 解题的关键 x1?x2= =, 也是正整数,即m 21=1 或 2 或 3 或 6 或 9 或 18, 当 a=b 时, ab,时,由于a 2+b2=( a+b)2 2ab=164=12=c 2 故 ABC为直角三角形,且C=90 , SABC= a=b=2,c=2时,因,故不能构成三角形,不合题意,舍去 a=b=2+,c=2时,因,故能构成三角形 SABC=( 2)= 综上, ABC的面积为 1 或
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