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1、2019 年高三数学综合试卷 1已知集合|0Ax x,|12Bxx,则A B 2设( )f x是定义在 R上的奇函数,且( 2)(0)(3)2fff ,则(2)(3)ff 3 “直线012yax和直线01)1(3yax平行”的充要条件是“a ” . 4若复数z满足(1)1zii (i是虚数单位 ) ,则其共轭复数z= . 5. 某产品在连续7天中,不合格品的数据分别为4,2,1,0,0,0, 0,则这组数据的标准差= 6顶点在原点且以双曲线1 3 2 2 y x 的右准线为准线的抛物线方程是 7将函数sin(2) 3 yx的图像沿坐标轴右移,使图像的对称轴与函数cos(2) 3 yx的对称轴重
2、合, 则平移的最小单位是 8设,a b为不重合的两条直线,,为不重合的两个平面,给出下列命题: (1)若, ,aba b是异面直线,那么/b; (2)若a且b,则ab; (3)若, /, ,aba b共面,那么/ab; (4)若a且 a,则 上面命题中,所有真命题 的序号是 9已知有序数对( , )a b满足0,3a,2,2b,关于 x 的一元二次方 程 22 20xaxb有实根的概率 10已知 n a是等差数列,设 12 | nn Saaa()nN某 学生设计了一个求 n S的部分算法流程图(如图),图中空白处理框中是用 n 的表达式对 n S赋值,则空白处理框中应填入: n S 11已知,
3、 44 x y, 33 sin20, 4sincos0xxayyya, 则tan(2 )xy 12函数( )f x满足 1( ) ln 1( ) f x x f x ,且 12 ,x x均大于e, 12 ()()1f xf x, 则 12 ()f x x的最小值为 13 已知 O为ABC外心,AB=2 , AC=1 , 0 120BAC, 若 12 AOABAC, 则 12 14在平面直角坐标系中,定义 1212 ( ,)d P Qxxyy为两点 11 (,)P xy, 22 (,)Q xy之间的“折线距 离” . 则圆 22 1xy上一点与直线22 50xy上一点的“折线距离”的最小值是_
4、二、解答题: 本大题共 6 小题,计 90 分. 解答应写出必要的文字说明, 证明过程或演算步骤, 请把答案写在答 题纸的指定区域内. (第 10 题图) 结束 开始 输入 n n5 Sn n 29n 输出 Sn Y N 15. (本小题满分14 分) 已知:正方体 1111 ABCD-AB C D, 1 AA =2,E 为棱 1 CC的中点 () 求证: 11 B DAE; () 求证:/AC平面 1 B DE; ()求三棱锥A-BDE的体积 16. ( 本小题满分14 分) 已知a=(1+cos,sin),b=(1-cos ,sin),(1,0)c,(0,),( ,2),向量a与c夹角为
5、1, 向量 b与c夹角为 2,且1-2= 6 ,若ABC中角 A、B、C 的对边分别为a、b、c,且角 A=. 求()求角A 的大小;()若 ABC的外接圆半径为 4 3,试求 b+c 取值范围 17. (本题满分15 分) 国家加大水利工程建设,某地区要修建一条灌溉水渠,其横断面为等腰梯形(如图),底角A为 0 60,考虑 到坚固性及用料原因,要求其横断面的面积为6 3平方米, 记水渠深为x米,用料部分的周长 (即渠底BC 及两腰长的和)为 y米, 求y关于x的函数关系式,并指出其定义域; 当水渠的腰长x为多少米时,水泥用料最省(即断面的用料部分 的周长最小)?求此时用料周长的值 . 如果水
6、渠的深限制在3, 3范围内时,横断面用料部分周长的 最小值是多少米? 18.( 本小题满分15 分 ) 如图,在直角坐标系中,中心在原点,焦点在X轴上的椭圆G的离心率为 15 4 e,左顶点 A(-4,0 ) ,圆 O: 222 (2)xyr是椭圆 G的内接ABC的内切圆 . () 求椭圆 G的方程; () 求圆O的半径 r ; ()过(0,1)M作圆 G的两条切线交椭圆于E,F 两点,判断直线EF与圆O的位置关系,并证明. x y A B 0 C M E F o 19.( 本小题满分16 分 ) 数列 n b定义如下:对于正整数m, m b是使不等式 n am成立中的所有n中的最小值 ()若
7、正项数列 n a前n和为 n S, n S是 1 4 与 2 (1) n a的等比中项,求 n a及 n b通项; ()若数列 n a通项为(,0) n apnq nNp,是否存在p和q,使得32() m bmmN,如果存在, 求出p和q的取值范围,如果不存在,请说明理由. , 20.( 本小题满分16 分 ) 已知函数 1 ( )ln1 a f xxax x ()aR. ( ) 当0a时,讨论( )fx的单调性; ()设 2 ( )24.g xxbx当 1 4 a时, (i)若对任意 1 (0,2)x,存在 2 1,2x,使 12 ()()f xg x,求实数b取值范围 . (ii) 对于任
8、意 12 ,(1,2xx都有 12 12 11 ()()f xf x xx ,求的取值范围 . 附加题部分 21 【选做题】在A、 B、C、D 四小题中只能选做2 题,每小题10 分,共计20 分请在答题卡指定区域 内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A 选修 41 几何证明选讲 如图, O 的直径 AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P,E 为 O 上一点, AE=AC, DE 交 AB 于点 F求证: PDF POC B 选修 42 矩阵与变换 已知矩阵 a b A c d ,若矩阵A属于特征值3 的一个特征向量为 1 1 1 ,属于特征值1 的一个特征向量 为 2 1 1
9、,求矩阵A C 选修 44 坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点O 与直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴的正半轴重合, 曲线 C1:cos()2 2 4 与曲线 C2: 2 4, 4 xt yt (tR)交于 A、B 两点求证:OAOB D 选修 45 不等式选讲 已知 x,y,z 均为正数求证: 111 y xz yzzxxyxyz + (第 21-A 题) A B P F O E D C 【必做题】第22 题、第 23 题,每小题10 分,共计20 分请在答题卡指定区域内作答解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤 22如图,在正方体 1111 ABCDA BC D中,P是棱BC的中点,
10、Q在棱CD上. 且DQDC,若二面角 1 PC QC的余弦值为 14 7 ,求实数的值 . 23已知 3 0123 (1)(1)(1)(1).(1) , nn n xaa xaxaxax(其中 * nN) (1)求 0 a及 1 n ni i Sa ; (2) 试比较 n S与 2 (2)22 n nn的大小,并说明理由 参考答案 一、填空题: 1、1, 2、2 3、2 4、i 5、2 6、 2 6yx 7、 4 Q P CB D A A1 D1 C1 B1 8、 9、 2 3 10、 2 940nn 11、0 12、 5 7 13、 13 6 14、 5 2 二、解答题: 15解: ( )
11、证明:连结BD,则BD/ 11 B D, ABCD是正方形,ACBDCE面ABCD,CEBD 又CAC CE,BD面ACE-3分 AE面ACE,BDAE, 11 B DAE-5分 ()证明:作 1 BB的中点 F,连结AFCFEF、 EF、是 1 BB 1 CC、的中点,CE 1 B F, 四边形 1 B FCE是平行四边形, 1 CF/ B E ,E F是 1 BB 1 CC、的中点,/EFBC,又/BCAD,/EFAD 四边形ADEF是平行四边形,AF/ED,AFCFC, 1 B EEDE, 平面/ACF面 1 B DE又AC平面ACF,/AC面 1 B DE-10分 () 1 2 2 A
12、BD SAB AD 112 333 A BDEEABDABDABD VVSCESCE-14分 16 ()据题设,并注意到、的范围, 1 coscos 2 a b a b -2分 2 22 1cos cossincos() 222 (1 cos )sin ,-4分 由于 12、 为向量夹角,故 12、 0, 而(0,), 22 (0,), 222 故有 12 , 222 , 得 2 3 A.-7 分 ()(2)由正弦定理8 3 sinsin sin 3 abc BC ,-10分 得8 3(sinsin)8 3sinsin()8 3sin() 33 bcBCBBB-12分 注意到 2 (,) 33
13、3 B,从而得 (12,8 3.bc-14分 17. 解: (1)由2 3 x ADBC,及 1 ()6 3 2 SADBC x, 得 6 3 3 x BC x ,又 0 6 3 0 3 x x BC x ,得03 2x,-4分 所以 6 3 23yBCABx x ,定义域为 (0,32) -6分 (2) 6 36 3 3236 2yxx xx ,当且仅当,即60,12x时等号成立, 所以用料周长最少为6 2米,此时腰长为6米. -10分 (3)3,2 3x , 6 3()yx x 递增,所以3x时, min 5 3y米 -15分 18. 解:() 15 4 c e a ,4a得15,1cb,
14、椭圆 G 方程为 2 2 1 16 x y-5分 ()设B 0 2,r y(),过圆心o作O DAB于D,BC交长轴于H 由 O DHB ADAH 得 0 2 6 36 yr r r ,即 0 6 6 rr y r (1)-7分 而点B 0 2, r y()在椭圆上 , 22 2 0 (2)124(2)(6) 1 161616 rrrrr y(2)-9分 由(1)、 (2)式得 2 158120rr ,解得 2 3 r或 6 5 r(舍去) -11分 (2) 直线EF与圆O的相切 设过点M(0,1)与圆 224 (2) 9 xy相切的直线方程为:1ykx(3) 则 2 21 2 3 1 k k
15、 ,即 2 323650kk(4) 解得 12 941941 , 1616 kk 将(3)代入 2 2 1 16 x y得 22 (161)320kxkx,则异于零的解为 2 32 161 k x k -13 分 设 111 (,1)F x k x, 222 (,1)E xk x,则 12 12 22 12 3232 , 161161 kk xx kk 则直线 FE的斜率为: 221112 2112 3 1 164 EF k xk xkk k xxk k 于是直线 FE的方程为 : 2 11 22 11 32323 1() 1614161 kk yx kk 即 37 43 yx 则圆心(2,0
16、)到直线 FE的距离 37 223 39 1 16 d故结论成立 . -15分 19. 解: ()由于 n S是 1 4 与 2 (1) n a的等比中项, 2 1 (1) 4 nn Sa 当1n时, 2 111 1 (1) ,1 4 Saa, -2分 当2n时, 11 11 (1)(1) 44 nnnnn aSSaa,由0 n a,化简有 1 2 nn aa 所以 n a是等差数列,21 n an,检验当1n时也适合,即21 n an -5分 对于正整数,由 n am,得 1 2 m n. 根据 m b的定义可知 w.w.w.s.5.u.c.o.m 当21mk时, * m bk kN;当2m
17、k时, * 1 m bkkN. 1 , 2 1, 2 n n n b n n 是奇数 是偶数 - -9分 ()假设存在 p 和 q 满足条件,由不等式pnqm及0p得 mq n p . 32() m bmmN, 根据 m b的定义可知,对于任意的正整数m 都有 3132 mq mm p ,即231pqpmpq对任意的正整数m 都成立 . 当310p(或310p)时,得 31 pq m p (或 2 31 pq m p ) , 这与上述结论矛盾! -13 分 当310p,即 1 3 p时,得 21 0 33 qq,解得 21 33 q. 存在p 和q,使得32() m bmmN;p和q 的取值范
18、围分别是 1 3 p, 21 33 q, -16分 20解: ( ) 函数( )f x的定义域为0,+,因为 2 22 111 ( ) aaxxa fxa xxx , 所以当 0a 时, 2 1 ( ) x fx x ,令 2 1 ( )0 x fx x 得1x,所以此时函数( )f x在1 ,+上是增函 数,在 01 ,是减函数; -2 分 当 1 2 a时, 22 22 21(1) ( )0 22 xxx fx xx ,所以此时函数( )f x在0,+是减函数; 当 1 0 2 a时,令 2 2 1 ( )0 axxa fx x ,解得 1 11x a ,此时函数( )f x在 1 11
19、a ,是增函 数,在 1 (0,1)(1,) a 和上是减函数;-4分 当 1 1 2 a, 令 2 2 1 ( )0 axxa fx x , 解得 1 11x a , 此时函数( )f x在 1 1 a ,1是增函数, 在 1 (0,1)(1,) a 和上是减函数;-6分 当1a,由于 1 10 a , ,令 2 2 1 ( )0 axxa fx x ,解得01x,此时函数( )f x在0,1是 增函数,在(1,)上是减函数 . -8分 ()(i)当 1 4 a时,f(x)在( 0,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数,所以对任意 1 (0,2)x, 有 1 1 f(x )f(1)=- 2
20、 ,又已知存在 2 1,2x,使 12 ()()f xg x,所以 2 1 () 2 g x, 2 1,2x, 即存在 1,2x ,使 2 1 ( )24 2 g xxbx,即 2 9 2 2 bxx,即 9 2 2bx x 17 11 , 42 , 所以 17 2 4 b,解得 17 8 b,即实数b取值范围是 17 ,) 8 . -12分 (ii) 不妨设 12 12xx,由函数( )f x在(1,2上是增函数,函数 1 y x 在(1,2是减函数, 12 12 11 ()()f xf x xx 等价于 21 12 11 ()()()f xf x xx ,所以 21 21 11 ()()f
21、 xfx xx 设 13 ( )( )ln 44 h xf xxx xxx 是减函数, 所以( )0h x在(1,2上恒成立,即 22 311 (2)1 444 xxx,解得 1 4 .-16分 附加题部分 A 选修 41 几何证明选讲 证明: AE=AC, CDE AOC,-3分 又 CDE P+PDF , AOC P+OCP, 从而 PDF OCP-8分 在 PDF 与 POC 中, P P, PDF OCP, 故 PDF POC-10分 B 选修 42 矩阵与变换 解:由矩阵 A属于特征值 3 的一个特征向量为 1 1 1 可得 a b c d 1 1 3 1 1 ,即 3 3 ab c
22、d ;-4分 由矩阵 A属于特征值 2 的一个特征向量为 2 1 1 ,可得 ab cd 1 1 ( 1) 1 1 , 即 1 1 ab cd -6分 解得 1 2 2 1 a b c d 即矩阵 1 2 2 1 A-10分 C 选修 44 坐标系与参数方程 解:曲线 1 C的直角坐标方程4xy,曲线 2 C的直角坐标方程是抛物线 2 4yx, 4 分 设 11 (,)A x y, 22 (,)B xy,将这两个方程联立,消去x, 得 2 12 416016yyy y,4 21 yy -6 分 016)(42)4)(4( 212121212121 yyyyyyyyyyxx-8 分 0OA OB
23、,OBOA-10分 D选修 4 5 不等式选讲 证明:因为x, y,z 都是为正数,所以 12 () xyxy yzzxzyxz -4 分 同理可得 22yzzx zxxyxxyyzy , 当且仅当xy z时,以上三式等号都成立-7分 将上述三个不等式两边分别相加,并除以2,得 111xyz yzzxxyxyz - 10分 22解:以 1 ,AB AD AA为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz, 设正方体的棱长为4,则各点的坐标分别为(0,0,0)A, (4,0,0)B,(4,4,0)C,(0,4,0)D; 1(0,0, 4) A, 1(4,0, 4) B, 1(4,4,4) C,
24、 1(0,4,4) D,(4,2,0)P, (4,4,0)Q-2分 设平面 1 C PQ法向量为(1, , )nb c,而 1 (0,2,4)PC, (44, 2,0)PQ, 所以 240 ( 44 )20 bc b ,可得一个法向量 ( , , )na b c=(1, 2(1),(1),-6分 Q P C B D A A1 D1 C1 B1 y z x 设面 1 C PQ的一个法向量为(0,1,0)u, 则 22 2(1)14 cos, 7 14(1)(1) n u ,-8分 即: 2 1 (1) 9 ,又因为点Q在棱CD上,所以 2 3 .-10分 23.解: (1)令1x,则 0 2 n
25、 a,令2x, 则 0 3 n n i i a, 32 nn n S ;-3分 (2)要比较 n S与 2 (2)22 n nn的大小,即比较:3 n 与 2 (1)22 n nn的大小, 当1n时, 2 3(1)22 nn nn;当2,3n时, 2 3(1)22 nn nn; 当4,5n时, 2 3(1)22 nn nn;-5 分 猜想:当4n时4n时, 2 3(1)22 nn nn,下面用数学归纳法证明: 由上述过程可知,4n4n时结论成立, 假设当(4)nk k,(4)nkk时结论成立,即 2 3(1)22 nn nn, 两边同乘以3 得: 12122 33(1)2222(1)(3)2442 kkkk kkkkkkk 而 22 (3)2442(3)24(2)6(2)24(2)(1)60 kkk kkkkkkkkk 112 3(1)122(1) kk kk 即 1nk 时结论也成立, 当4n时, 2 3(1)22 nn nn成立 . 综上得,当 1n 时, 2 3(1)22 nn nn; 当2,3n时, 2 3(1)22 nn nn;当4,nnN时, 2 3(1)22 nn nn -10分
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