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1、第九课时等比数列的前n 项和 (一) 教学目标: 会用等比数列求和公式进行求和,灵活应用公式与性质解决一些相关问题;培养学生的 综合能力,提高学生的数学修养. 教学重点: 1.等比数列的前n 项和公式 . 2.等比数列的前n 项和公式的推导. 教学难点: 灵活应用公式解决有关问题. 教学过程: .复习回顾 前面我们一起学习有关等比数列的定义、通项公式及性质. (1)定义式: an an1 q(n2,q0) (2)通项公式: ana1q n1(a 1, q0) (3)性质: a, G, b 成等比数列G 2ab 在等比数列an 中,若 m npq,则 aman apaq .讲授新课 前面我们一起
2、探讨了等差数列的求和问题,等比数列的前n 项和如何求 ?下面我们先来看 引言 . 引言中提到的问题是这样的:求数列1,2,4, 263的各项和 .可看出,这一数列为一 以 a11,q2 的等比数列 .这一问题相当于求此数列的前64 项的和 . 1.前 n 项和公式 一般地,设有等比数列a1,a2,a3, an,它的前n 项和是 Sna1a2 an. 刚才问题即为求:S64a1a2 a64 124 2 63 我们发现,若在式两边同乘以2,则得 2S6424 2 63264 由可得:S64 2 641 同理,可知,若Sna1a2 a3 an 又在等比数列中,ana1qn 1, a 1a1qa1q
3、2 a 1q n2a 1q n1 , qSn a1qa1q 2a 1q 3 a 1q n1a 1q n 不妨将上两式相减可得(1 q)Sn a1a1q n (1)当 q1,Snna1 (2)当 q1 时, Sn a1(1q n) 1q 或 Sn a1 anq 1q 若已知 a1,q, n,则选用公式;当已知a1,q,an时,则选用公式. 2.例题讲解 例 1求等比数列1,2,4,从第5 项到第 10 项的和 . 分析:等比数列的第5 项到第 10 项可组成一新等比数列. 解法一:由1,2,4,可知: a11, q2 an2n 1, a 5 2 416,a 102 9 512. 从第 5项到第
4、10 项共有 6 项,它们的和为: 16( 12 6) 12 1008. 答案:从第5 项到第 10 项的和为1008. 解法二:从第5 项到第 10 项的和为: a5a6a7a8a9a10S10S4 由 a1 1,q2 得 Sna 1(1q n) 1q 2 n1, S 102 1011023 S42 4115,S 10 S41008. 答:从第5 项到第 10 项的和为1008. 例2一条信息,若一人得知后用一小时将信息传给两个人,这两个人又用一小时各 传给未知此信息的另外两人,如此继续下去,一天时间可传遍多少人? 分析:得知信息的人数可组成一以1 为首项,公比为2的等比数列 . 解:根据题
5、意可知,获知此信息的人数依次为1,2, 4,8,是一以a11,q2 的等 比数列 . 一天内获知此信息的总人数为即为此数列的前24 项之和 S24 1 2 24 12 2 241 答:一天时间可传遍2241 人. 评述:应先将所遇问题数学化,然后用有关知识加以解决. .课堂练习 课本 P54练习 1,2,3,4 .课时小结 等比数列求和公式:Sna 1(1q n) 1q 或 Sn a1anq 1q (q1)及推导方法:错位相减法. 是本节课应重点掌握的内容,课后应进一步熟练公式掌握其基本应用. .课后作业 课本 P58习题1,2,7 等比数列的前n项和 (一) 1若数列 an的前 n 项和为
6、Sna n1(a 0),则这个数列的特征是 () A.等比数列B.等差数列 C.等比或等差数列D. 非等差数列 2等比数列 an 中,若 S691,S27,则 S4为 () A.28 B.32 C.35 D.49 3数列 an 的通项公式为an 1 nn1 ,若 Sn9,则 n 等于 () A.9 B.10 C.99 D.100 4使数列 10 11 1 ,10 11 2 ,10 11 3 ,10 11 n ,前 n 项之积大于10 5,则自然数 n 值为() A.6 B.9 C.11 D.12 5已知两数的等差中项是10,等比中项是8,则以这两数为根的一元二次方程是() A.x 210x80
7、 B.x2 10x640 C.x 220x640 D. x 220x640 6在等比数列中,若S1010, S2030,则 S30 . 7在正实数组成的等比数列中,若a4a5a63,则 log3a1log3a2log3a8log3a9 . 8在等比数列中,a1a2 a3a4a53,a6a7a8a9a10 9,则 a11a12a13a14 a15 . 9已知等差数列an的公差 d0,且 a1,a3,a9成等比数列,则 a1a3a9 a2a4a10 . 10数列 1 1 2 ,21 4 ,31 8 ,的前n 项和为. 11已知等比数列中an :1,2, 4,8,它的第n 项为 an,求 a3n.
8、12已知数列 an中, Sn是它的前 n 项和,并且Sn+14an2(n1,2, ),a11 (1)设 bnan+12an(n1, 2, ),求证 bn是等比数列; (2)设 cn an 2 n (n 1,2, ),求证 cn 是等差数列; (3)求数列 an的通项公式及前 n 项和公式 . 等比数列的前n项和(一)答案 1C 2A 3 C 4C 5D 670 74 3 827 9 13 16 10 1 2 (n 2n2)1 2 n11 a3n2 3n1 12已知数列 an中, Sn是它的前 n 项和,并且Sn+14an2(n1,2, ),a11 (1)设 bnan+12an(n1, 2, )
9、,求证 bn是等比数列; (2)设 cn an 2 n (n 1,2, ),求证 cn 是等差数列; (3)求数列 an的通项公式及前 n 项和公式 . 解: (1) Sn+1 4an2 Sn+24an+1 2 得: Sn+2 Sn+1 4an+14an(n 1,2, ),即 an+24an+1 4an an+22an+12(an+12an) bnan+12an(n1,2, ) bn+12bn 由此可知,数列bn 是公比为 2 的等比数列 . 由 S2 a1 a24a12,又 a11,得 a25 b1a22a13, bn32n 1 (2)cn an 2 n(n1,2, ), cn+1cn an1 2 n1a n 2 n an 12an 2 n1 bn 2 n1 将 bn 32n 1 代入,得cn+1cn3 4 ( n1,2, ) 由此可知:数列cn 是公差为 3 4 的等差数列, c1a 1 2 1 2 故 cn 1 2 3 4 (n1) 3 4 n1 4 (3)cn 3 4 n 1 4 1 4 (3n1) an2ncn(3n1)2n 2(n1,2, ) 当 n2 时, Sn4an12(3n4)2n 12. 由于 S1a11 也适合于此式, 前 n项公式为: Sn(3n4)2n 12
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