高等数学基础第二次作业有答案.pdf
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1、高等数学基础第二次作业 第 3 章导数与微分 (一)单项选择题 设 0)0(f 且极限 x xf x )( lim 0 存在,则 x xf x )( lim 0 ( B ) A. )0(fB. )0(f C. )(xf D. 0 设)(xf在 0 x可导,则 h xfhxf h 2 )()2( lim 00 0 ( D ) A. )(2 0 xfB. )( 0 xf C. )(2 0 xfD. )( 0 xf 设 x xfe)(,则 x fxf x )1()1( lim 0 ( A ) A. eB. e2 C. e 2 1 D. e 4 1 设 )99()2)(1()(xxxxxf ,则 )0
2、(f ( D ) A. 99B. 99 C. !99D. !99 下列结论中正确的是(C ) A. 若 )( xf 在点 0 x有极限,则在点 0 x可导 B. 若 )( xf 在点 0 x连续,则在点 0 x可导 C. 若 )( xf 在点 0 x可导,则在点 0 x有极限 D. 若 )( xf 在点 0 x有极限,则在点 0 x连续 当0x时,变量(C )是无穷小量 A. x xsin B. x 1 C. x x 1 sinD. 2)ln( x 若函数 )( xf 在点 0 x满足(A ),则)(xf在点 0 x连续。 A. )()(lim 0 0 xfxf xx B. )( xf在点 0
3、 x的某个邻域内有定义 C. )()(lim 0 0 xfxf xx D. )(lim)(lim 00 xfxf xxxx (二)填空题 设函数 0,0 0, 1 sin )( 2 x x x x xf,则)0(f无穷小量 解: 2 000 1 ()s i n0 ( 0)( 0 )1 ( 0 )l i ml i ml i ms i n0 xxx x fxf x fx xxx 这里用到:无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量。 设 xxx fe5e)e( 2 ,则 x xf d )(lnd x x 1 5ln2 . 解:令 2 e,( )t5 , x tftt有 令 2 ln,(ln)lnx5 l
4、n,txfxx有 故 x xf d )(lnd 2 (ln)(ln)(ln5ln)(ln)1 (2 ln5) (ln)(ln) fxxxxx x dxdxdxdxx dddd 曲线1)(xxf在 )2,1( 处的切线斜率是 曲线 xxfsin)( 在)1, 4 (处的切线方程是 设 x xy 2 ,则 y 设 xxyln ,则 y (三)计算题 求下列函数的导数 y : x xxye)3( 解:由导数四则运算法则 )e)(3(e)3()e)3( 2 3 2 3 xxx xxxxy xx xxe)3(e)3()( 2 3 2 3 xxx xxxxe)3 2 3 (e)3(e 2 3 2 3 2
5、1 2 3 2 1 xxxylncot 2 解:由导数四则运算法则 )ln()(cot)ln(cot 22 xxxxxxy )( l nln)( sin 1 22 2 xxxx x xxx xx xxx x ln2 sin 11 ln2 sin 1 2 2 2 x x y ln 2 解:由导数四则运算法则 x xxxx x x y 2 222 ln )(lnln)( ) ln ( x xxx x x xxx 22 2 ln ln2 ln 1 ln2 3 2cos x x y x 解:由导数四则运算法则 6 33 3 )(2(cos)2(cos ) 2cos ( x xxxx x x y xxx
6、 6 23 )2( c o s3)2()( ( c o s x xxxx xx 6 23 )2( c o s3)2ln2sin( x xxxx xx 4 23c o s32ln2sin x xxxx xx x xx y sin ln 2 解:由导数四则运算法则 x xxxxxx x xx y 2 222 sin )(sin(lnsin)(ln ) sin ln ( x xxxxxx 2 22 si n c o s)( l ns i n)()( ( l n x xxxxx x 2 2 s i n c o s)( l ns i n)2 1 ( xx xxxxxxxx 2 32 s i n c o
7、slncossin2sin xxxylnsin 4 解:由导数四则运算法则 )ln(sin)()lnsin( 44 xxxxxxy )( l ns i nln)(sin4 3 xxxxx x x xx x xxx s i n lncos4) 1 sinln(cos4 33 x xx y 3 sin 2 解:由导数四则运算法则 2 222 )3( )3)(sin3)(sin ) 3 sin ( x xx x xxxxxx y 2 22 )3( 3ln3)(sin3)()(sin x xx xxxx 2 2 )3( 3ln33lnsin33)2(cos x xxx xxxx x xxxx 3 3l
8、n3lnsin2cos 2 xxy x lntane 解:由导数四则运算法则 )(ln)tane()lntane(xxxxy xx x xx xx 1 )( t a net an)e( xx x xx x x xxx1 c os e t ane 1 c o s 1 et ane 22 求下列函数的导数 y : 2 1 e x y 解:设 2 1xu, 2 1xv,则有 u ye,vu, 2 1xv 由复合函数求导法则 xvu u xvu xvvuyy)1()()e( 2 2 1 1 e )2( 2 1 e 2 x x x v x u 3 coslnxy 解:设 3 cos xu, 3 xv,则
9、有 uyln,vucos, 3 xv 由复合函数求导法则 xvuxvu xvuvuyy)()(cos)(ln 3 32 3 3 22 t an3 c o s s i n 33)s i n( 1 xx x x xxv u xxxy 解: 8 7 2 1 4 7 2 1 4 3 2 1 2 1 2 3 2 1 2 1 2 1 )()()()(xxxxxxxxxxxxy 8 1 8 7 xy 3 xxy 解:设xxu,则有 3 uy,xxu 由复合函数求导法则 xuvu xxuuyy)()( 3 ) 2 1 1()( 3 1 ) 2 1 1( 3 1 3 2 3 2 x xx x u x yecos
10、 2 解:设 x uecos, x ve,则有 2 uy,vucos, x ve 由复合函数求导法则 x x vuxvu vuvuyy)e()(cos)( 2 xxxxxx vue2s i neec o ses i ne2e)s i n(2 2 ecos x y 解:设 2 e x u, 2 xv,则有 uycos, v ue , 2 xv 由复合函数求导法则 xv v uxvu xuvuyy)()e()(cos 2 22 es i ne22es i n xxv xxu nxxy n cossin 解:由导数四则运算法则 )(cossincos)(sin)cos(sinnxxnxxnxxy n
11、nn 设xusin,nxv,则有 nn uxsin ,vnxcoscos 由复合函数求导法则 )(cossincos)(sin)cos(sinnxxnxxnxxy nnn xv n xu n nxvxnxxu)()(cossincos)(sin)( nvxnxxnu nn )sin(sincoscos 1 nxxnnxxxn nn sinsincoscossin 1 2 sin 5 x y 解:设 2 sin xu, 2 xv,则有 u y5, vusin, 2 xv 由复合函数求导法则 xvu u xvu xvvuyy)()(sin)5( 2 2s i n c o s5ln522cos5ln
12、5 2 xxxv xu x y 2 sin e 解:设xu 2 sin, xvsin,则有 u ye, 2 vu,xvsin 由复合函数求导法则 xvu u xvu xvvuyy)(sin)()e( 2 xxxxv xxu 2s i nec o ss i ne2c o s2e 22 s i ns i n 22 e xx xy 解: 222 2 22 eeeee lnlnxxxxxxx x xy 由导数四则运算法则 )e()e()ee( 2222 lnlnxxxxxx y 设xxuln 2 , 2 xv,由复合函数求导法则 xv v xu u xxxy)()e()ln()e( 22 xxxx v
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