深圳市年中考数学试题分类解析汇编_——函数的图像与性质.pdf
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1、1 o y x x y o ox y y o x 2002 年-2011 年广东省深圳市中考数学试题分类解析汇编专题 函数的图象与性质 一、选择题 1. (深圳 2002 年 3 分) 反比例函数y=)0k( x k 在第一象限内的图象如图,点M是图象上一点,MP垂直 x 轴于 点 P,如果 MOP的面积为1,那么 k 的值是【】 A、1 B、2 C、4 D、 2 1 2.(深圳 2003 年 5 分)已知一元二次方程2x 23x6=0 有两个实数根 x1、x2,直线l 经过点 A(x1 x2, 0) 、B( 0,x1x2) ,则直线l的解析式为【】 A、y=2x 3 B、 y=2x3 C、y
2、=2x-3 D、y=2x3 3. (深圳 2004 年 3 分) 函数 y=x 22x3 的图象顶点坐标是【 】 A 、 (1,-4 ) B、 ( 1,2) C、 (1, 2) D、 (0,3) 4. (深圳 2004 年 3 分) 抛物线过点A(2,0) 、B ( 6,0) 、C(1,3) ,平行于 x 轴的直线CD交抛物线于点C、 D,以 AB为直径的圆交直线CD于点 E、F,则 CEFD的值是【】 A 、 2 B、4 C、 5 D、6 5. (深圳 2005 年 3 分) 函数 y= x k (k0)的图象过点(2, 2) ,则此函数的 图象在平面直角坐标系中的【】 A、第一、三象限 B
3、、第三、四象限 C、A、第一、二象限 D 、第 二、四象限 6. (深圳 2006 年 3 分) 函数(0) k yk x 的图象如图所示,那么函数ykxk的图象大致是【】 A B C D 7. (深圳 2007 年 3 分) 在同一直角坐标系中,函数(0) k yk x 与(0)ykxk k的图象大致是【】 O x y 2 A O B C x y x O y P 8. (深圳 2009 年 3 分) 如图,反比例函数 4 y x 的图象与直线 1 3 yx 的交点为A,B ,过点 A作y轴的平行 线与过点B作x轴的平行线相交于点C,则 ABC的面积为【】 A8 B 6 C 4 D2 9. (
4、深圳 2010 年学业 3 分) 如图,点 P(3a,a)是反比例函y k x (k 0)与 O 的一个交点,图中阴影部分的面积为10,则反比例函数的解析式为【】 Ay3 x B y5 x Cy10 x Dy 12 x 10. (深圳 2010 年招生 3 分) 在反比例函数 1k y x 的图象的每一条曲线上,y都随x的 增大而增大,则k 的值可以是【】 A . 1 B .0 C . 1 D .2 11. (深圳 2011 年 3 分) 对抛物线y=x 22 x3 而言,下列结论正确的是【】 A.与x轴有两个交点 B.开口向上 C. 与y轴交点坐标是(0, 3) D.顶点坐标是 (1 , 2
5、) 二、填空题 1. (深圳 2008 年 3 分) 如图,直线OA与反比例函数)0(k x k y的图象在第 一象限交于A点,AB x轴于点 B,OAB的面积为2,则k 2. (深圳 2011 年 3 分) 如图, ABC的内心在y 轴上,点 C的坐标为( 2,0) , 点B 的坐标为(0, 2) ,直线AC 的解析式为 1 1 2 yx,则tanA的值是 . 三、解答题 1. (深圳 2002 年 10 分) 已知:如图,直线y=x 3 与 x 轴、 y 轴分别 B y O A x C x y x y x y x y 3 交于点 B、C,抛物线y=x 2bx c 经过点 B、C ,点 A是
6、抛物线与 x 轴的另一个交点。 (1)求抛物线的解析式。 (2)若点 P在直线 BC上,且 SPAC= 2 1 SPAB,求点 P的坐标。 2. (深圳 2003 年 18 分) 如图,已知A ( 5, 4) ,A与 x 轴分别相交于点B、C,A与 y 轴相且于点D, ( 1)求过 D、 B 、C三点的抛物线的解析式; ( 2)连结 BD ,求 tan BDC的值; ( 3)点 P是抛物线顶点,线段DE是直径,直线PC与直线 DE相交于点F,PFD的平分线FG交 DC于 G,求 sin CGF的值。 3. (深圳 2004 年 12 分) 直线 y=xm与直线 y= 3 3 x2 相交于 y
7、轴上的点C,与 x 轴分别交于点A、B。 ( 1)求 A、B、C三点的坐标; (3 分) ( 2)经过上述A、B、 C三点作 E,求 ABC 的度数,点E的坐标和 E的半径;(4 分) ( 3)若点 P是第一象限内的一动点,且点P与圆心 E在直线 AC的同一侧,直线PA 、PC分别交E于点 M 、 N,设 APC= ,试求点 M 、N的距离(可用含 的三角函数式表示) 。 (5 分) 4. (深圳 2005 年 9 分) 已知 ABC是边长为4的等边三角形,BC在 x 轴 上,点 D为 BC的中点,点A在第一象限内,AB与 y 轴的正半轴相交于点 E,点 B( 1,0) ,P是 AC上的一个动
8、点(P与点 A、C不重合) ( 1) (2 分)求点A、E的坐标; P x y B C O D A E F G 4 ( 2) (2 分)若 y=cbxx 7 362 过点 A、E,求抛物线的解析式。 ( 3) (5 分)连结PB 、PD ,设 L 为PBD的周长,当L 取最小值时, 求点 P的坐标及 L 的最小值, 并判断此时点P是否在 (2)中所求的抛物 线上,请充分说明你的判断理由。 5.(深圳 2006 年 8 分)工艺商场按标价销售某种工艺品时,每件可获利 45 元;按标价的八五折销售该工艺品8 件与将标价降低35 元销售该工 艺品 12 件所获利润相等. (1)(4 分) 该工艺品每
9、件的进价、标价分别是多少元? (2)(4分) 若每件工艺品按(1)中求得的进价进货,标价售出,工艺 商场每天可售出该工艺品100 件若每工艺品降价1 元,则每天可多售 出该工艺品4 件问每件工艺品降价多少元出售,每天获得的利润最大?获得的最大利润是多少元? 【答案】 解: (1) 设该工艺品每件的进价是x元,标价是y元。依题意得方程组: 45 80.85 8(35) 12 12 yx yxyx ,解得: 155 200 x y 。 答:该工艺品每件的进价是155 元,标价是200 元。 (2) 设每件应降价a元出售 , 每天获得的利润为W元,依题意可得W与a的函数关系式: (45)(1004
10、)Waa 2 4804500aa 2 4(10)4900a 当10a时,W最大=4900。 答:每件应降价10 元出售 , 每天获得的利润最大, 最大利润是4900 元。 【考点】 二元一次方程组和二次函数的应用。 【分析】 (1) 方程(组)的应用解题关键是找出等量关系,列出方程求解。本题等量关系为: 标价进价=45 元;标价的85% 销售该工艺品8 件的利润 =将标价降低35 元销售该工艺品12 件的利润 45yx;80.858 (35) 1212yxyx。 (2)求出每天获得的利润与每件工艺品降价额的函数关系, 应用二次函数最值求解。 6. (深圳 2006 年 10 分) 如图,抛物线
11、 2 812 (0)yaxaxa a与x A B C O D E y x 5 轴交于 A 、 B两点 (点 A在点 B的左侧), 抛物线上另有一点C在第一象限, 满足 ACB为直角 , 且恰使 OCA OBC. (1)(3分) 求线段 OC的长 . (2)(3分) 求该抛物线的函数关系式 (3)(4分) 在x轴上是否存在点P,使 BCP为等腰三角形?若存在, 求出所有符合条件的P点的坐标;若不存在,请说明理由. 【答案】 解: ()由 2 812 (0)yaxaxa a与x轴交于 A、 B两点得, 1 2x, 2 6x。 点 A在点 B的左侧, OA , OB 。 OCA OBC ,OC 2
12、OA OB 。 OC 3(3舍去) 。 线段 OC的长为3。 () OCA OBC , ACOA21 BCOC 2 33 。 设 AC ,则BC 3。 由 AC 2 BC 2 AB 2 得 2 (3) 2 () 2 ,解得(舍去)。 AC , BC 3OC 。 过点 C作 CD AB于点 D ,OD 1 2 OB 。 22 OCOD3。 C 的坐标为(,3) 。 将 C点的坐标代入抛物线的解析式得 33236a,a 3 3 。抛物线的函数关系式为: 2 38 3 4 3 33 yxx ()当P1与重合时, BCP 1为等腰三角形, P 1的坐标为(,) 。 当 P 2 BBC时(P 2 在 B
13、点的左侧 ) ,BVP2为等腰三角形, 6 P 2 的坐标为(3,)。 当 P 3为 AB的中点时, P3 BP3C,BCP 3为等腰三角形, P 3 的坐标为(,) , 当 BP4BC时(P 4 在 B点的右侧 ) ,BCP4为等腰三角形, P 4 的坐标为(3,)。 综上所述,在x轴上存在点P,使 BCP为等腰三角形,符合条件的点的坐标为: (,), (3,) , (,), (3,) 。 【考点】 二次函数综合题,相似三角形的判定和性质,勾股定理,曲线上点的坐标与方程的关系,等腰三角形的 判定。 【分析】 (1) 由 2 812 (0)yaxaxa a与x轴交于 A、B两点求出两点的坐标,
14、由OCA OBC ,根据相似 三角形对应边成比例的性质即可求出线段OC的长。 (2)由 OCA OBC求出点 C的坐标,即可用等定系数法求出该抛物线的函数关系式。 (3)分 P与重合、 PB BC、P为 AB的中点、 BP BC四种情况讨论即可。 7.(深圳 2007 年 9 分)如图,在平面直角坐标系中,正方形 AOCB 的边长为1,点 D在x轴的正半轴上, 且 OD=OB , BD交 OC于点 E (1)求 BEC的度数 (2)求点 E的坐标 (3)求过 B,O,D三点的抛物线的解析式 (计算结果要求分母有理化参考资料:把分母中的根号化去,叫分 母有理化例如: 22 52 5 5555 ;
15、 11 ( 21) 21 21( 21)( 21) ; 15353 2 35(53)(53) 等运算都是分母有理化) 【答案】 解: (1 )四边形AOCB 是正方形, OD=OB , OBD= ODB=22.5 0。 CBE=22.50。 A BC O E D y x 7 BEC=90 0CBE=90022.50=67.50。 ( 2)正方形AOCB 的边长为1, OD=OB=2。 点 B的坐标为(1, 1) ,点 D的坐标为(2,0) 。 设直线 BD的解析式为ykxb,则 1 20 kb kb ,解得 12 22 k b 。 直线 BD的解析式为 1222yx 令0x,22y,点 E的坐
16、标为0(,22) 。 ( 3)设过 B、 O 、D三点的抛物线的解析式为 cbxaxy 2 , B( 1,1) ,O(0,0) ,D( 2,0) , 1 0 220 abc c abc ,解得, 12 22 0 a b c 。 所求的抛物线的解析式为 xxy)22()21( 2 。 【考点】 正方形的性质,等腰三角形的性质,直角三角形两锐角的关系,勾股定理,待定系数法,曲线上点的坐 标与方程的关系,二次根式化简。 【分析】 (1)由正方形、等腰三角形的性质和直角三角形两锐角互余的性质,可求得BEC的度数。 (2)求出点B和 D的坐标,用待定系数法求出直线BD的解析式,令0x即可求出点E的坐标。
17、 (3)由 B、O、D三点的坐标,用待定系数法即可求出过B,O,D三点的抛物线的解析式。 8. (深圳 2007 年 8 分) 如图 1,在平面直角坐标系中,抛物线 2 1 6 4 yx与直线 1 2 yx相交于 A,B两点 (1)求线段AB的长 (2)若一个扇形的周长等于(1)中线段 AB的长,当扇形的半径取何值时,扇形的面积最大,最大面积是多少? (3)如图 2,线段 AB的垂直平分线分别交x轴、y轴于 C, D两点,垂足为点M ,分别求出OM ,OC ,OD的长, 并验证等式 222 111 OCODOM 是否成立 (4)如图 3,在 RtABC中, ACB=90 0,CD AB ,垂足
18、为 D,设BCa,ACb,ABcCDh,试说 8 明: 222 111 abh 【答案】 解: ( 1) 2 1 6 4 1 2 yx yx ,解得 1 1 4 2 x y , 2 2 6 3 x y 。A( 4, 2) ,B(6,3) 。 分别过 A、B两点作 AEx轴, BFy轴,垂足分别为E、F。 AB=OA+OB 2222 362455。 ( 2)设扇形的半径为x,则弧长为)255(x,扇形的面积为y, 则)255( 2 1 xxyxx5 2 5 2 16 125 ) 4 55 ( 2 x, 01a,当 4 55 x时,函数有最大值 16 125 最大 y。 当扇形的半径取 4 55
19、时,扇形的面积最大,最大面积是 16 125 。 ( 3)过点 A作 AE x轴,垂足为点E ,则 OA= 22 4225。 CD垂直平分AB ,点 M为垂足, OM= 1 2 ABOA 2 5 52 2 55 。 AEO= O MC ,EOA= COM ,AEO CMO 。 OEAO OMCO , 42 5 CO5 2 CO 4 5 4 1 52 2 5 。 A B O y x 图 1 A B O y x 图 2 C D M 图 3 A B C D a b c h 9 同理可得 OD 2 5 。 22 22 1142204 ()( ) OCOD55255 , 2 14 OM5 。 222 1
20、11 OCODOM 。 ( 4)等式 222 111 hba 成立。理由如下: ACB=90 0,CD AB ,11 AB 22 abh, 222 ABab。 hcab。 2222 hcba。 22222 )(hbaba。 222 222 222 22 )( hba hba hba ba 。 22 22 2 1 ba ba h 。 222 111 bah 。 222 111 hba 。 【考点】 曲线上点的坐标与方程的关系,解二元二次方程组,勾股定理,扇形的计算,二次函数的最值,相似三 角形的判定和性质,代数式的变换。 【分析】(1)求出 A ( 4, 2) , B(6,3) ,由勾股定理即可
21、求出线段AB的长。 (2)求出扇形的面积关于半径的函数表达式,由二次函数的最值即可求解。 (3)由勾股定理和相似三角形的判定和性质,即可求出OM ,OC ,OD的长,代入等式验证即可。 (4)由三角形面积公式和勾股定理得到代数式,进行代数式的变换即能证明。 9.(深圳 2008 年 10 分)如图 1,在平面直角坐标系中,二次函数)0( 2 acbxaxy的图象的顶点为D点, 与 y 轴交于 C点,与x轴交于 A、B两点, A 点在原点的左侧,B点的坐标为( 3,0) ,OB OC ,tan ACO 3 1 (1)求这个二次函数的表达式 (2)经过 C、D两点的直线,与x轴交于点E,在该抛物线
22、上是否存在这样的点F,使以点A、C、E、F 为 顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点F 的坐标;若不存在,请说明理由 (3)若平行于x轴的直线与该抛物线交于M 、N两点,且以MN为直径的圆与x轴相切,求该圆半径的长 度 (4)如图 2,若点 G ( 2,y)是该抛物线上一点,点P是直线 AG下方的抛物线上一动点,当点P运动到什么位 置时, APG的面积最大?求出此时P点的坐标和 APG 的最大面积 . 10 【答案】 解: ( 1)由 B点的坐标为(3,0) , OB OC ,得: OC=3 由 tan ACO 3 1 得: OA=1 C( 0, 3) ,A( 1, 0) 。 将 A、B
23、、C三点的坐标代入 )0( 2 acbxaxy,得 3 039 0 c cba cba ,解得: 3 2 1 c b a 。 这个二次函数的表达式为:32 2 xxy。 (2)存在。 2 2 2314yxxx, D(1, 4) 。 设直线 CD的解析式为ykxb,将 C、D点的坐标代入,得 3 4 b kb ,解得 1 3 k b 。 直线 CD的解析式为:3xy。 令0x,得3y。E 点的坐标为(3,0) 。 C( 0, 3) ,在32 2 xxy中,令3y,得 1 0x, 2 2x。 F 点的坐标为( 2, 3) 。 由 A 、C、E、F 四点的坐标得:AE CF2,AE CF 。 以 A
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