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1、第 6 节空间向量及其运算 课时训练练题感 提知能 【选题明细表】 知识点、方法题号 空间直角坐标系2、3、14 共线、共面向量向量定理的应用4、7、12 空间向量的线性运算及数量积运算1、5、10、11 综合问题6、13、15、16 一、选择题 1. 已知 a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b=x-2a, 则 x 等于( B ) (A)(0,3,-6) (B)(0,6,-20) (C)(0,6,-6) (D)(6,6,-6) 解析: 由 b= x-2a, 得 x=4a+2b=(8,12,-16)+(-8,-6,-4)=(0,6,-20). 故选 B. 2.(2014 福建泉州期
2、末 ) 结晶体的基本单位称为晶胞, 如图是食盐晶 胞的示意图 . 其中点 代表钠原子 , 黑点 代表氯原子 . 建立空间直角 坐标系 Oxyz 后, 图中最上层中间的钠原子所在位置的坐标是 ( A ) (A)(, ,1) (B)(0,0,1) (C)(1,1) (D)(1, ) 解析: 根据图示 , 其中的正方体为单位正方体, 最上层中间的钠原子的 坐标为 ( , ,1). 3.(2013 四川宜宾模拟 ) 设 A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),AB的中点 为 M,则|CM|等于( C ) (A) (B) (C) (D) 解析: 设 M(x,y,z), 则 x=2,y= ,
3、z=3, 即 M, |CM|=.故选 C. 4.(2014 四川巴中模拟 ) 已知 a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,), 若 a、b、c 三向量共面 ,则实数 等于( D ) (A)(B)(C)(D) 解析: 即存在实数 x,y 使得 c=xa+yb, 即(7,5, )=x(2,-1,3)+y(-1,4,-2), 由此得方程组 解得 x= ,y=, 所以= -= . 5.(2013 四川广安模拟 )如图所示 , 已知平行六面体OABC O1A1B1C1, 点 G 是上底面 O1A1B1C1的中心, 且=a, =b,=c, 则用 a,b,c表示向量 为( A ) (A
4、) (a+b+2c) (B) (2a+b+c) (C) (a+2b+c) (D) (a+b+c) 解析:=+=+ (+)= a+ b+c, 故选 A. 6. 在下列命题中 : 若向量 a、b 共线, 则向量 a、b 所在的直线平行 ; 若三个向量 a、b、c 两两共面 , 则向量 a、b、c 共面; 已知空间的三个向量a、b、c, 则对于空间的任意一个向量p, 总存 在实数 x、y、z, 使得 p=xa+yb+zc. 其中正确命题的个数是 ( A ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 解析:a 与 b 共线,a 、 b所在直线也可能重合 , 故不正确 ; 三个向量 a、 b、c 中任两个
5、一定共面 , 但它们三个却不一定共面, 故不正确 ; 只有 当 a、b、c 不共面时 , 空间任意一向量p 才能表示为 p=xa+yb+zc, 若 三个向量共面 , 则不能表示空间任意向量, 故不正确 ,综上可知三个 命题中正确的个数为0, 故选 A. 7.(2013 福建晋江一模 )设 OABC是四面体 ,G1是ABC 的重心 ,G 是 OG1 上的一点 , 且 OG=3GG1, 若=x+y+z, 则(x,y,z)为( A ) (A)(, , )(B)(, , ) (C)(, , )(D)(, , ) 解析: 如图所示 , 取 BC的中点 E,连结 AE. = (+) =+ =+ (+) =
6、+ (-+-) = (+), 故选 A. 8. 如图所示 , 已知空间四边形OABC 中,|OB|=|OC|,且AOB= AOC, 则 、夹角的余弦值为 ( A ) (A)0 (B) (C)(D) 解析: 设=a,=b,=c. 由已知条件 AOB= AOC, 且|b|=|c|, =a(c-b)=a c-a b =|a|c|cosAOC-|a|b|cos AOB =0, 得 cos =0. 故选 A. 二、填空题 9. 已知空间四边形OABC, 点 M 、N分别是 OA 、BC的中点 , 且 =a,=b,=c, 用 a、b、c 表示向量= . 解析: 如图所示 , = (+) = (-)+(-)
7、 = (+-2) = (+-) = (b+c-a). 答案: (b+c-a) 10.(2014 内江模拟 )已知 a=(2,-1,3),b=(-4,y,2),且 a(a+b), 则 y 的值为. 解析: a+b=(-2,-1+y,5),由于 a(a+b), 所以 a(a+b)=0, 即-4+1-y+15=0, 解得 y=12. 答案:12 11.(2013 陕西西安联考 ) 已知向量 a=(0,-1,1),b=(4,1,0), | a+b|=且0, 则= . 解析: a+b=(4,- +1, ), 所以=, 化简整理得 2-6=0, 解得=-2 或=3, 又0, 所以=3. 答案:3 12.(
8、2013 乐山模拟 )已知 A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),点 P(x,-1,3)在平面 ABC内, 则 x= . 解析: 根据共面向量定理设=+, 即(x-4,-2,0)=(-2,2,-2)+(-1,6,-8), 由此得解得=-4, =1, 所以 x=4+8-1=11. 答案:11 13. 已知 ABCD A1B1C1D1为正方体 , (+) 2=3 ; (-)=0; 向量与向量的夹角是 60; 正方体 ABCD A1B1C1D1的体积为 |. 其中正确的序号是. 解析: 中,(+) 2= +=3,故正确 ; 中,-=, 因为 AB1A1C,故正确 ; 中, 两异面直
9、线 A1B与 AD1所成的角为 60, 但与的夹角为 120, 故不正确 ; 中,|=0, 故也不正确 . 答案: 三、解答题 14. 在空间直角坐标系中 ,|BC|=2, 原点 O是 BC的中点 , 点 D在平面 yOz 上, 且BDC=90 , DCB=30 , 求点 D的坐标. 解: 过 D作 DE BC,垂足为 E. 在 RtBCD 中, 由BDC=90 ,DCB=30 ,|BC|=2 得 |BD|=1,|CD|=, |DE|=|CD|sin 30= , |OE|=|OB|-|BE|=|OB|-|BD|cos 60 =1- = , 点 D的坐标为. 15. 如图所示 , 已知空间四边形
10、 ABCD 的每条边和对角线长都等于1, 点 E、F、G分别是 AB 、AD 、CD的中点 , 计算: (1); (2); (3)EG 的长; (4) 异面直线 AG与 CE所成角的余弦值 . 解: 设=a,=b,=c. 则|a|=|b|=|c|=1,=60. = c- a,=-a,=b-c, (1)=(-a) = a 2- ac= ; (2)= (c-a) (b-c) = (bc-a b-c 2+ac)=- ; (3) =+ = a+b-a+ c- b=- a+ b+ c. | 2= a2 + b 2+ c2- ab+ bc- ca = , 即|=, 所以 EG的长为. (4) 设、的夹角为
11、 . = b+ c,=+=-b+ a, cos = =- , 由于异面直线所成角的范围是(0 ,90 , 所以异面直线 AG与 CE所成角的余弦值为. 16. 如图所示 , 直三棱柱 ABCA1B1C1, 底面 ABC中,CA=CB=1, BCA=90 , 棱 AA1=2,M、N分别是 A1B1、A1A的中点. (1) 求的长; (2) 求 cos的值; (3) 求证:A1BC1M. 解: 如图, 以 C为原点建立空间直角坐标系C xyz. (1) 依题意得 B(0,1,0),N(1,0,1), | = =. (2) 依题意得 A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2), =(1,-1,2),=(0,1,2), cos= = =. (3) 依题意得 C1(0,0,2),M, ,2 , =(-1,1,-2), = , ,0 , =- + +0=0, , 即 A1BC 1M.
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