等差等比数列复习含答案.pdf
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1、等差等比数列复习 1等差数列的有关定义 (1)一般地, 如果一个数列从第_项起,每一项与它的前一项的_等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等差数列符号表示为_ (nN * ,d 为常数 ) (2)数列 a, A, b 成等差数列的等价条件是_, 其中 A 叫做 a, b 的_ 2等差数列的有关公式 (1)通项公式: an_, an am_ (m,nN * ) (2)前 n 项和公式: Sn_. 3等差数列的前n 项和公式与函数的关系 Sn d 2n 2 a 1 d 2 n., 数列 an 是等差数列的等价条件是其前n 项和公式 Sn _. 4等差数列的性质 (1)若 m npq (m, n,p
2、,qN *),则有 _,特别地,当 mn2p 时, _. (2)等差数列中,Sm,S2mSm,S3mS2m成等差数列 (3)等差数列的单调性: 若公差 d0, 则数列为 _; 若 d0, q1 或 a10, 01 ? an 是 _数列; q1? an是_数列; q21 时, TnSn2S21 3 2n 2123 2 n1 260. 综上, Tn 3 2n 2123 2 n(n21,nN *) 3 2n 2123 2 n1 260 (n21,nN * ) . 探究点五等比数列的基本量运算 例 5.在等比数列 an中, a1an66,a2 an1 128,Sn 126,求 n 和 q. 由题意得
3、a2 an1a1 an128, a1an66, 解得 a164, an2 或 a12, an64. 若 a1 64, an 2, 则 Sn a1 anq 1q 642q 1q 126, 解得 q 1 2,此时, an264 1 2 n1, n6. 若 a1 2, an 64, 则 Sn 264q 1q 126,q2. an642 2n1. n6. 综上 n6, q2 或 1 2. 探究点六等比数列的判定 例 6.设数列 an的前 n 项和为 Sn,已知 a12a23a3 nan(n1)Sn 2n(nN *) (1)求 a2,a3的值; (2)求证:数列 Sn2 是等比数列 解a12a2 3a3
4、 nan(n1)Sn2n(n N*),当 n 1 时, a12 12; 当 n2 时, a12a2(a1a2)4, a2 4; 当 n3 时, a12a23a32(a1a2 a3)6, a38. (2)证明 a12a23a3nan (n1)Sn2n(nN *), 当 n2 时, a12a23a3 (n1)an1 (n2)Sn12(n1) 得 nan(n 1)Sn(n2)Sn12n(SnSn1)Sn 2Sn12nanSn2Sn1 2. Sn2Sn12 0,即 Sn2Sn12, Sn22(Sn12) S1240,Sn120, Sn2 Sn12 2, 故Sn2 是以 4 为首项, 2 为公比的等比数
5、列 探究点七等比数列性质的应用 例 7.在等比数列 an中, a1a2a3a4a58,且 1 a1 1 a2 1 a3 1 a4 1 a5 2,求 a3. 变式迁移 (1)已知等比数列an 中,有 a3a114a7,数列 bn是等差数列,且b7a7,求 b5b9的值; (2)在等比数列 an中,若 a1a2a3a41,a13a14a15a168,求 a41a42a43a44. 解题导引在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件, 利用性质, 特别是性质 “ 若 mnpq,则 am anap aq”,可以减少运算量,提高解题速度 解由已知得 1 a1 1 a2 1 a3 1 a4 1 a5
6、a1a5 a1a5 a2a4 a2a4 a3 a 2 3 a1a2a3a4a5 a 2 3 8 a 2 32, a 2 34,a3 2.若 a3 2,设数列的公比为q, 则 2 q 2 2 q 22q 2q 28, 即 1 q 2 1 q1qq 2 1 q 1 2 2 q1 2 21 2 4. 此式显然不成立,经验证,a32 符合题意,故a32. 变式迁移 3解(1)a3a11a2 74a7, a70,a74, b74, bn为等差数列, b5b92b78. (2)a1a2a3a4a1 a1q a1q 2 a 1q 3 a4 1q 6 1. a13a14a15a16a1q 12 a 1q 13
7、 a 1q 14 a 1q 15 a 4 1 q 54 8. : a 4 1 q 54 a 4 1 q 6 q 488? q162, 又 a41a42a43a44 a1q 40 a 1q 41 a 1q 42 a 1q 43 a 4 1 q 166a4 1 q 6 q160 (a4 1 q 6) (q 16)10 1 2 101 024. 作业 1.已 知 an 是 等 差 数 列 , a1 9, S3 S7, 那 么 使 其 前 n 项 和Sn最 小 的n 是 (B) A4 B5 C6 D7 2在等差数列 an中,若 a4a6a8a10a12120,则 a9 1 3a11 的值为(C) A1
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