《等差数列教学设计.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《等差数列教学设计.pdf(36页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、1 等差数列在数、式、图形规律题中的应用 、 数列的认识:(1) 1,2, 3,4,5,6,7,8,数列第n 项的表示: (2) 2,4, 6,8,10,12, 14,数列第n 项的表示: (3) 1,3, 5,7,9,11,13,数列第 n 项的表示: 2、练习:你能用字母表示下面的数列第n 项吗? (1) 0 ,2,4,(为:) (2) 4 ,6,8,(为:) (3) 3 ,5,7,(为:) (4)1, 4,7,10,13,(为:) (5)6, 12,18,24,30,(为:) (6)8, 14,20,26,32,(为:) 3、 等差数列通项公式: (1)你对上面的数列发现什么规律?(2)
2、你对上面的数列第n 项的表示发现什么规律? (3)表示上面的数列第n 项的共同方法是: (4)得到的表达式与学过的一次函数有相同吗? 4、等差数列通项公式的应用: (1)求数列8, 15,22,29,的第100 数是。 (2)七上: P70 页:观察图形并填表: 梯形的个数1 2 3 4 5 6 n 图形周长a5a8a11a14 如下图,由一些点组成形如三角形的图形,第n 个图形共有个点。 (3)观察下列数表: 根据数表所反映的规律, 第行第列交叉点上 的数应为。 2a a a 图4图3图2 图1 2 (4)观察下列数表:如图(11),将一张正方形纸片剪成四个小正方形,然后将其中的一个 正方形
3、再剪成四个小正方形,再将其中的一个正方形剪成四个小正方形,如此继续下 去,根据以上操作方法,请你填写下表: 5、课后思考: (1)从计算1+2+3+100 的值,(高斯算法出发), 用含有 n 的代数式表示1+2+3+ +n 的和是。 (2)把正方体摆放成如图(5)的形状, 若从上至下依次为第1 层,第 2 层, 第 3 层,则第n 层有个正方体. ()两条直线相交只有一个交点,三条直线相交最多有几个交点?四条直线相交最多有几 个交点?你有什么发现?若你找到了规律,请计算出20 条直线最多能有多少个交点? (4)2,4, 8,16,32,64,数列第n 项的表示: (5)1,4, 9,16,2
4、5,36,49,数列第n项的表示: (6)3,5, 9,17,33,65,数列第n 项的表示: (7)2,5, 10,17,26, 37,50,数列第n 项的表示: (8)1,2, 5,10,17,26,37,数列第n项的表示: (9)x, 2 2 1 x, 3 3 1 x, 4 4 1 x, 5 5 1 x数列第n 项的表示: 操作次数N 1 2 3 4 5 N 正方形的个数4 7 10 3 等差数列在数、式、图形规律题中的应用 教学思路 : 数、式、图形是初中代数重要的基础知识,而对于数、式、图形探究规律题,取材 丰富的智力题型,具有趣味性、探索性、创新性,成为中考命题的亮点。 教学目标:
5、 1、知识目标: 通过教与学的互动,使学生掌握等差数列通项公式,能参与一些简单的规律 问题进行探索,并解决这些问题; 2、能力目标: 遵循从特殊到一般的认知规律,通过公式的探索、发现,在知识发生、发展 以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力。 3、情感目标: 通过生动具体的现实问题,激发学生探究的兴趣和欲望,树立学生求真的勇 气和自信心,增强学生学好数学的心理体验,产生热爱数学的情感。 教学重点: 等差数列的通项公式的应用。 教学难点: 怎样把规律题转化为等差数列题。 教学方法: 启发、讨论、引导式。 教学过程: 、 数列的认识:( 1) 1 ,2,3,4,5,6,
6、7,8,数列第n项的表示: n (自然数列) (2) 2,4,6,8,10,12,14,数列第n 项的表示: 2n (偶数列) (3) 1,3,5,7,9,11,13,数列第n 项的表示: 2n-1(奇数列) 2、练习:你能用字母表示下面的数列第n 项吗? (1) 0 ,2,4,(为: 2n-2 ) (2) 4 ,6,8,(为: 2n+2) (3) 3 ,5,7,(为: 2n+1) (4)1, 4,7,10,13,(为: 3n-2 ) (5)6, 12,18,24,30,(为: 6n ) (6)8, 14,20,26,32,(为: 6n+2) 3、 等差数列通项公式: (1)你对上面的数列发现
7、什么规律?(每个数列的前一项-后一项都相等,即公差) (2)你对上面的数列第n 项的表示发现什么规律?(两数之差为2,3,6,则表示为 2n,3n,6n) (3)表示上面的数列第n 项的共同方法是:等差数列通项公式的表示: 1 a表示第一项,d 表示公差, n a表示第 n项数列的通项公式 (高中推理: 错位相加法: (左边相加 =右边相加)daa 12 ,daa 23 ,daa nn1 , 即) 1( 1 ndaan ) (4)得到的表达式与学过的一次函数有联系吗?(可以用一次函数待定系数法求) 4、等差数列通项公式的应用: (1)求数列8, 15,22,29,的第100 数是。 4 (2)
8、七上: P90 页:观察图形并填表: 梯形的个数1 2 3 4 5 6 n 图形周长a5a8a11a14 如下图,由一些点组成形如三角形的图形,第n 个图形共有个点。 ( 本题也可以改为其他多边形) (3)观察下列数表: 根据数表所反映的规律, 第行第列交叉点上 的数应为。 (这一题,看上去内容比较多,我们把对角线上的数抽出来,就是 1 ,3,5,7,。问题便转化 成求第 n 个奇数的表达式。即2n-1 。) (4)观察下列数表:如图(11),将一张正方形纸片剪成四个小正方形,然后将其中的一个 正方形再剪成四个小正方形,再将其中的一个正方形剪成四个小正方形,如此继续下 去,根据以上操作方法,请
9、你填写下表: (可以直接观察数4, 7,10,即d=3,第一个数4,所以为 3n+1) 5、课后思考: (1)从计算1+2+3+100 的值,(高斯算法出发), 用含有 n 的代数式表示1+2+3+n 的和是。 操作次数N 1 2 3 4 5 N 正方形的个数4 7 10 2a a a 图4图3图2 图1 5 (2)把正方体摆放成如图(5)的形状, 若从上至下依次为第1 层,第 2 层, 第 3 层,则第n 层有个正方体. ( 第一层有 1 个;第二层有1+2 个;第三层 有 1+2+3 个 第 n 层有 1+2+3+n 个,即有 2 )1(nn 个) 。 ()两条直线相交只有一个交点,三条直
10、线相交最多有几个交点?四条直线相交最多有几 个交点?你有什么发现?若你找到了规律,请计算出20 条直线最多能有多少个交点? (当有 2 条直线的时候,交点有1 个 ,当有 3 条直线的时候,第三条直线应该与前两条直线均相交,产 生 2 个新交点,则一共有1+2=3 个交点,当有 4 条直线的时候,第四条直线应该与前三条直线均相交, 产生 3 个新交点,则一共有1+2+3=6 个交点,设当有 n 条直线的时候结论成立,设Sn 为直线为 n 条时 的交点的个数,则有Sn=1+2+3+.+(n-1)=n(n-1)/2 ) (解决方法:可以把图形规律转化为数字规律) (4)2,4, 8,16,32,6
11、4,数列第n 项的表示:(等比数列) n 2 (5)1,4, 9,16,25,36,49,数列第n项的表示:(平方数列) 2 n (6)3,5, 9,17,33,65,数列第n 项的表示: 3=2+1,4+1,8+1;12 n (7)2,5, 10,17,26, 37,50,数列第n 项的表示: 2=1+1,5=4+1 ;1 2 n (8)1,2, 5,10,17,26,37,数列第n项的表示:1) 1( 2 n (可以改: 5,10,17,26,37,数列第n 项的表示:1)1( 2 n) (9)x, 2 2 1 x, 3 3 1 x, 4 4 1 x, 5 5 1 x数列第n 项的表示:
12、n n x n 1 )1( 课堂小结: (1)学生尝试表示等差数列,前提条件是已知数列的首项与公差 (2)数学学习是经过观察、实验、猜测、归纳、抽象、概括等过程,经过交流、反思、调 整等完成的。 课后反思: 1、本节课设计较为流畅,主线突出,结合学生实际,由浅入深。 2、通过一些有规律的数、式、图形创设教学情景,激发学生的学习兴趣,经过学生的深 入分析、探索,使学生初步体验了从特殊到一般的认知规律,增强学生学好数学的信心。 3、有效的培养了学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力。 4 、激发学生探究的兴趣和欲望,积极主动的思考问题,上课气氛、效果好。 5 、课后思考题设置合理,为下节
13、等差数列前n 项和的规律题做准备。 6 、时间有些紧、给学生自己探讨的时间少了些,改进的措施是:把练习在上课前发给学 生当作业,先有一些自己的探索,再结合上课教学的思路,效果更好。 6 等差数列前 n 项和在数、式、图形规律题中的应用 教学目标 : 1. 通过教学使学生了解等差数列前项和的定义,了解逆项相加的原理,理解等差数列 的前 n 项和公式的推导过程,并能用公式解决简单的问题. 2. 通过公式推导的教学使学生进一步体会从特殊到一般,再从一般到特殊的思想方法, 通过公式的运用体会方程的思想. 教学重点,难点: 教学重点是等差数列的前n 项和公式的推导和应用,难点是获得推导公式的思路. 教学
14、方法 : 讲授法 .(用梯形面积公式记忆等差数列前项和公式 . ) 教学过程 : 一. 新课引入 : 1、 小学故事的思考:1+2+3+ +98+99+100= 这是小学时就知道高斯的一个故事,他发现这100 个数可以分为50 组,第一个数与最后一 个数一组,每组数的和均相等,都等于101,50 个 101 就等于 5050 了 . 探究发现变式: 问题 1 :若把问题变成求:1+2+3+4+ +99=?可以用哪些方法求出来呢? 方法 1:原式 = (1+2+3+4+ +99+100)-100 方法 2:原式 = (1+2+3+4+ +98 )+99 方法 3:原式 = (1+2+3+4+ +
15、98+99+99+98+ +2+1) 2 方法 4 令 S=1+2+3+4+99 ;又S=99+98+97+2+1 故 2S= (1+99)+ (2+98)+ + (98+2)+ (99+1) 从而S = (100 99 ) 2 = 4950 问题 2 :上节课的思考:1+2+3+4+ + (n-1 )+n= ? 在上面 6 种方法中,哪个能较好地推广 应用于这个式子的求和? 令 Sn =1+2+3+4+ +n ,则 Sn =n+(n-1 )+ +2+1 从而有2Sn =(n+1) + (n+1) + (n+1) + + (n+1)=(n+1)n 上述求解过程带给我们什么启示? (1) 所求的
16、和可以用首项、末项及项数来表示; 1+2+3+ +n= 2 )1(nn ;(类似梯形面积) (初三后还知道可以用二次函数待定系数法求) 三、推广应用: 1、1+3+5+7+ +( 2n-1)= 。 2、数列: 1,3,6,10,15,(古希腊数学家叫做三角形数)的第n 项是。 3、如图,一个堆放铅笔的V 形架的最下面一层放1 支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放1 支,最上 面一层放120 支. 这个 V 形架上共放了多少支铅笔?(1+120) 120/2 4、由数列1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+5+4+3+2+1,第 n 项的结果是n+n(n-1) 。 (或者发现: 1
17、,4,9,16,, 2 n) 5、将正整数按如图所示的规律排列下去,若用有序 数对( m,n)表示第m 排,从左到右第n 个数, 如( 3,2)表示正整数5,( 4, 3)表示 正整数 9,则( 100,16)表示正整数是4966 (1+2+99=4950;第 99 排,所以第100 排第 16 个数是 4950+16) 第四排 第三排 第二排 第一排 . . . . . . 10987 65 4 32 1 7 6、如图所示的图1、2、 3、4,四个图所表示的规律,第n 个图中平行四边形的个数是 ( 图形转化为数字:n=1 有 3 个; n=2 有 9 个; n=3 有 18 个; n=4 有
18、 30 个; n=1 有133;n=2 有339个; n=3 有6318个; n=4有10330个; 每项提 3,余 1,3,6,10,第 n 个有 2 )1(nn ,所以第 n 个图有 3 2 )1(nn 个。也发现: n=1有 3 个; n=2 有 3+6 个; n=3 有 3+6+9 个;n=4 有 3+6+9+12 个;第 n 个有 3+6+9+3n 即 2 33nn ) 7、如图所示的图1、2、 3,三个图所表示的规律,第n 个图中平行四边形的个数是 A. 3n B. 3n(n+1) C. 6n D. 6n(n+1) (特殊值带入法:图1 知道当 n=1 有 6 个,去掉 A,D,图
19、 2 知道当 n=2 有 18 个, 去掉 C;计算 n=1 有 6 个; n=2 有 18 个; n=3 有 36 个; n=4 有 60个;发现: n=1 有 6 个; n=2 有 6+12 个; n=3 有 6+12+18 个; n=4 有 6+12+18+24 个;第 n 个有 6+12+18+24+6n)即 2 66nn ) 8、如图,图1 有 1 个平行四边形,图2 共有 5 个平行四边形,图3 共有 11 个平行四边形, 则第 100 个图共有个平行四边形。 (发现: n=1 有 1 个; n=2 有 1+4 个; n=3 有 1+4+6 个; n=4 有 1+4+6+8 个;
20、第 n 个有 1+4+6+2n 即 1+ 2 )1(24nn ) 9、按如图所示的方法排列黑色小正方形地砖, 则第 14 个图黑色地砖数是 (发现: n=1 有 1 个; n=2 有 1+4 个; n=3 有 1+4+8 个; n=4 有 1+4+8+12个; 第 n 个有 1+4+8+4(n-1 )即 1+ 2 )1() 1(44nn ;最好给出图4,否则出现32 1n ) 10、 设直线 y=kx+k 与坐标轴构成的直角三角形的面积为 k S, 当 k 分别为 1,2,3 , , 199,200 时,则 200199321 SSSSS。 三、课后思考: 1、数列: 2,6,18,54,数列
21、第n 项的表示: 图 4 图 3图 2 图 1 图3 图2 图1 图4图3图2 图1 图3图2图1 8 等差数列前 n 项和在数、式、图形规律题中的应用 一、预习试一试: 1、小学故事的思考:1+2+3+ +98+99+100= 2、若把问题变成求:1+2+3+4+ +99=?可以用哪些方法求出来呢? 3、上节课的思考:1+2+3+4+ + (n-1 )+n= ? 二、推广应用: 1、1+3+5+7+ +( 2n-1)= 。 2、数列: 1,3,6,10,15,(古希腊数学家叫做三角形数)的第n 项是。 3、如图,一个堆放铅笔的V 形架的最下面一层放1 支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放1
22、支,最上 面一层放120 支. 这个 V 形架上共放了多少支铅笔? 4、由数列1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1,第 n 项的结果是。 5、将正整数按如图所示的规律排列下去,若用有序 数对( m,n)表示第m 排,从左到右第n 个数, 如( 3,2)表示正整数5,( 4, 3)表示 正整数 9,则( 100,16)表示正整数是 6、如图所示的图1、2、 3、4,四个图所表示的规律第n 个图中平行四边形的个数是 7、如图所示的图1、2、 3、4,四个图所表示的规律第n 个图中平行四边形的个数是 A. 3n B. 3n(n+1) C. 6n D. 6n(n+1) 第四排
23、 第三排 第二排 第一排 . . . . . . 10 987 65 4 32 1 图4 图3图2 图1 图 3 图 2 图 1 9 8、如图,图1 有 1 个平行四边形,图2 共有 5 个平行四边形,图3 共有 11 个平行四边形, 则第 100 个图共有个平行四边形。 9、按如图所示的方法排列黑色小正方形地砖, 则第 14 个图黑色地砖数是 10、 设直线 y=kx+k 与坐标轴构成的直角三角形的面积为 k S, 当 k 分别为 1,2,3 , , 199,200 时,则 200199321 SSSSS。 三、课后思考: 1、数列: 2,6,18,54,数列第n 项的表示: 图4图3图2
24、图1 图3 图2 图1 10 等比数列通项与前n 项和在数、式、图形规律题中的应用 教学目标 1、通过实例,理解等比数列的概念 2、探索并掌握等比数列的通项公式 3、 经历特殊到一般的过程,理解等比数列前n 项和的计算。 教学过程: 一、创设情境, 引入新课(对等比数列的了解) 1、第一节课的思考:2,4,8,16,32,64,数列第n 项的表示:(等比数列) n 2 理解: 1,2,4,8,16,32,数列第n 项的表示:(等比数列) 1 2 n 1, 32 1 , 16 1 , 8 1 , 4 1 , 2 1 数列第n 项的表示: 2、实例分析3:一种计算机病毒可以查找计算机中的地址薄,通
25、过邮件进行传播。如果把 病毒制造者发送病毒称为第一轮,邮件接收者发送病毒称为第二轮,依此类推。 假设每一轮 每一台计算机都感染20 台计算机,那么在不重复的情况下,这种病毒每一轮感染的计算机 数构成的数列是什么? 【学生】合作讨论,得出什么为第一轮,第二轮。从而得到种病毒每一轮感染的计算机数构 成的数列是1,20, 32 20,20,。 【老师】 回忆数列的等差关系和等差数列的定义,观察上面的数列,说说它们有什么 数列从第2 项起 , 每一项与它前一项的比都等于_; 数列从第2 项起 , 每一项与它前一项的比都等于_; 数列从第2 项起 , 每一项与它前一项的比都等于_; 也就是说这个数列有一
26、个共同的特点:从第 2 项起 , 每一项与它前一项的比等于同一个常数。 我们把这样的数列称为等比数列。这就是我们今天要研究的课题,等比数列。 二、探究新课 1、等比数列的定义: 如果一个数列从第2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做 等比数列。这个常数叫做等比数列的公比。公比通常用字母q 表示。有q0 这个条件 表达式说明在等比数列中的任意项都不能为0. 2、等比数列的通项公式(即第n 项): 探究 3:试着写出上面三个数列的通项公式,并猜想等比数列的通项公式。 n n a2 1 ) 2 1 ( n n a 1 20 n n a 【学生】通过观察,看出这三个数列的通
27、项公式,并寻找这三个公式中共性的地方,把改 写成 1 22 n n a, 1 ) 2 1 (1 n n a, 1 201 n n a,观察,发现都有n-1 次幂的形式, 而且乘号前面的数字2,1,1都是首项,乘号后面的数字2, 2 1 ,20 都是各项的公比,所以 猜想等比数列的通项公式是 1 1 n n qaa。 【老师】同学猜想的很好, 那我们就来推导一下等比数列的通项公式,看看和猜想的一致吗? 11 1、设等比数列an首项为 a1,公比为 q,根据等比数列的定义,我们有:a2=a1q, a3=a2q=a1q 2, 即 an=a1q n-1 2、 进而有,即 an=a1qn-1 三、归纳小
28、结提炼精华 1、本节课主要学习了:一个定义: 一个公式: ,an=a1q n-1 (nN,q 0) 2、应用:( 1)3,9,27,81,数列第n 项的表示: (2)3, 6,12, 24,数列第n 项的表示: (3)1, 3 1 , 9 1 , 27 1 ,数列第n 项的表示: (4) 81 16 , 27 8 , 9 4 , 3 2 ,数列第n 项的表示: (5) 9 8 , 5 4 , 3 2 , 2 1 ,数列第n 项的表示:(发现分母比分子大1) 四、等比数列前n 项和: (这种求和方法称为“ 错位相减法 ” ) (一)探究: 1、试求: 1+2+4+8+16+32+64+ + n
29、2= 方法:设S=1+2+4+8+16+32+64+ + n 2,则 2S=2+4+8+16+32+64+ + 1 2 n 所以, 2S-S= 1 2 n -1;即 S= 1 2 n -1 2、 试求:3+9+27+81+ + n 3= 方法:设 S=3+9+27+81+ + n 3, 则 3S=9+27+81+243+ + n 3+ 1 3 n 所以, 3S-S= 1 3 n -3;即 S=( 1 3 n -3)/2 3、试求: 5+ 15432 5555551 n = 12 结论: S= n aaaaa 4321 是比值为q 的等比数列,则S= 1 1 q aqan (二)理解:(几何图形
30、的意义) 1 、在一次数学活动中,小明为了求 n 2 1 16 1 8 1 4 1 2 1 的值,设计了线段长度为1 的图形,分别标出长度的, 16 1 , 8 1 , 4 1 , 2 1 。 (1)请你运用数形结合思想,推断 n 2 1 16 1 8 1 4 1 2 1 的结果(还可以有那些方法) (2)请你设计另一个图形提示这一规律。 (1、 可以使用2S-S= n 2 1 1; 图形直接得出 n 2 1 1; 规律得出 4 3 4 1 2 1 ; 8 7 8 1 4 1 2 1 ; 所以: n n 2 12 ;2、还可以用面积为1 的圆、正方形等) (三)应用: 求:( 1)3,9,27
31、,81,数列前n 项的和:( 2)3,6,12,24,数列前n 项的和 (3)1, 3 1 , 9 1 , 27 1 ,数列前n 项的和;(4) 81 16 , 27 8 , 9 4 , 3 2 数列前n 项的和 (5) 5,7,11,19,35, 数列第n 项的表示: (比 2,4,8 分别大 3:32 n ; 它们的差是2,4,8,16, 即 n 2,第一项是5,所以32 n ;还原n=1 有 5 个;n=2 有 5+2;n=3 有 5+2+4;n=4 有 5+2+4+8;第 n 个有 5+2+4+ 1 2 n 即 5+ 12 22 n )( 6)3,6,15,42,数列第n 项的表示:(
32、3+ 13 33 n ) 五、课后思考: 1、数列:2、5、10、17,先求第 10 个数,再求第n 位数。 (用分析观察凑的方法求出,2=11 2 ; 5=12 2 ; 10=13 2 ; 17=14 2 所以, 第 n 位数是:1 2 n) 2、数列:2,4,8,14,22,先求第 10 个数,再求第n 位数。 (增幅不相等,但是,增幅为等差 数列, 2,4,6,8,先求数列的第n-1 位到第 n 位的增幅是: 2(n-1) ,总增幅为:2+(2n-2 ) (n-1)/2 n(n-1) ;所以,第n 位数是: 2+ n(n-1) ;也可以用观察法或还原2+2+4+6+8+ +2 (n-1)
33、 ) 3、数列:2、3、5、9,17 ,33,先求第 10 个数,再求第n 位数。 (增幅不相等, 但是,增幅同比增加, 即增幅为等比数列, 增幅为 1、2、4、8、 16,发现与 2 有关,即 1 2 n ; 2=1+1=12 11 , 3=2+1=12 12 , 5=4+1=12 13 , 9=8+1=12 14 ,所以, 第 n 位数是:12 1n ) 4、2015 桂林中考 18 题,所给的点阵数为:2,5,11,23,47 ,先求第 10 个数,再求第n 位数。 (增幅为 3、6、12、24、48,发现与 3 的倍数有关,即 1 23 n ,所以,第n 位数是:123 1n ; 也可
34、以发现: 5=22+1;11=25+1;23=211+1;47=223+1) 1 2n 1 8 1 4 1 2 13 等比数列通项与前n 项和在数、式、图形规律题中的应用 一、新课引入:1、上一节课的思考:2,4,8,16,32,64,数列第n 项的表示: 理解: 1,2,4,8,16,32,数列第n 项的表示: 1, 32 1 , 16 1 , 8 1 , 4 1 , 2 1 数列第n 项的表示: 2、实例分析:一种计算机病毒可以查找计算机中的地址薄,通过邮件进行传播。如果把病 毒制造者发送病毒称为第一轮,邮件接收者发送病毒称为第二轮,依此类推。 假设每一轮每 一台计算机都感染20 台计算机
35、,那么在不重复的情况下,这种病毒每一轮感染的计算机数 构成的数列是什么? 二、归纳小结理解应用 1、本节课主要学习了:一个定义: 一个公式: ,an=a1q n-1 (nN,q 0) 2、应用:( 1)3,9,27,81,数列第n 项的表示: (2)3,6,12,24,数列第n 项的表示: (3)1, 3 1 , 9 1 , 27 1 ,数列第n项的表示: (4) 81 16 , 27 8 , 9 4 , 3 2 数列第n 项的表示: (5) 9 8 , 5 4 , 3 2 , 2 1 ,数列第n 项的表示: 三、等比数列前n 项和: (这种求和方法称为“ 错位相减法 ” ) (一)探究: 1
36、、试求: 1+2+4+8+16+32+64+ + n 2= 方法:设S=1+2+4+8+16+32+64+ + n 2,则 2S=2+4+8+16+32+64+ + 1 2 n 所以, 2S-S= 1 2 n -1;即 S= 1 2 n -1 2、试求: 3+9+27+81+ + n 3= 3、试求: 5+ 15432 5555551 n = 结论: S= n aaaaa 4321 是比值为q 的等比数列,则S= 1 1 q aqan 14 (二)理解:(几何图形的意义) 1 、在一次数学活动中,小明为了求 n 2 1 16 1 8 1 4 1 2 1 的值,设计了线段长度为1 的图形,分别标
37、出长度的, 16 1 , 8 1 , 4 1 , 2 1 。 (1)请你运用数形结合思想,推断 n 2 1 16 1 8 1 4 1 2 1 的结果。 (还可以有那些方法) (2)请你设计另一个图形提示这一规律。 (三)应用:求: (1)3,9, 27,81,数列前n 项的和; (2)3,6, 12,24,数列前n 项的和; (3)1, 3 1 , 9 1 , 27 1 ,数列前n 项的和; (4) 81 16 , 27 8 , 9 4 , 3 2 数列前n 项的和。 (5)5,7,11,19,35,数列第n 项的表示: (6)3,6,15,42,数列第n 项的表示: 五、课后思考: 1、数列
38、:2,5,10,17,26,先求第 10 个数,再求第n 位数。 2、数列:2,4,8,14,22,先求第 10 个数,再求第n 位数。 3、数列:2,3,5,9,17,33,先求第 10 个数,再求第n 位数。 4、2015 桂林中考 18 题,所给的点阵数为:2,5,11,23,47,先求第 10 个数,再求第n 位数。 1 2n 1 8 1 4 1 2 15 等差与等比数列的综合运用规律题(教师) 初中数学规律题解题基本方法 一、基本方法 看增幅 (一)如增幅相等(此实为等差数列):其中 a为数列的第一位数,b 为增幅, (n-1)b 为第一 位数到第n 位的总增幅。然后再简化代数式a+
39、(n-1)b。 例: 4、10、16、22、28 ,求第 n 位数。 分析:第二位数起,每位数都比前一位数增加6,增幅相都是6,所以,第n 位数是: 4+(n-1) 66n2 (二)如增幅不相等,但是,增幅以同等幅度增加(即增幅为等差数列)。如增幅分别为3、 5、7、9,说明增幅以同等幅度增加。此种数列第n 位的数也有一种通用求法。基本思路是: 1、求出数列的第n-1 位到第 n 位的增幅; 2、求出第 1 位到第第n 位的总增幅; 3、数列的第1 位数加上总增幅即是第n 位数。 举例说明: 2、5、10、17 ,求第 n 位数。 分析:数列的增幅分别为:3、5、7,增幅以同等幅度增加。那么,
40、数列的第n-1 位到第n 位的增幅是: 3+2 (n-2)=2n-1 ,总增幅为: 3+(2n-1) (n-1) 2( n+1) (n-1)1 2 n 所以,第 n 位数是: 2+ 1 2 n= 1 2 n 此解法虽然较烦, 但是此类题的通用解法; 当然此题也可用其它技巧: (1) 还原数列为2+3+5+7+9+ +(2n-1), 即用 2+等差数列 3,5,7,9,(2n-1)的( n-1)项; (2)用分析观察凑的方法求出,方法就简单的多了。2=11 2 ;5=12 2 ;10=13 2 ;17=14 2 所以,第 n 位数是:1 2 n (3)还可以用二次函数试一试,先求解析式,再用第4
41、 个数检验 (三)增幅不相等,但是,增幅同比增加,即增幅为等比数列,如:2、3、5、9,17 增幅为 1、2、4、8;发现与 2 有关, 即 1 2 n ,.2=1+1=12 11 ,3=2+1=12 12 ,5=4+1=12 13 , 9=8+1=12 14 , 17=16+1=12 15 所以,第n 位数是:12 1n 如: 2015 桂林中考18 题,所给的点阵数为:2,5,11,23,47 。增幅为 3、6、12、24、48,发 现与 3 有关,各项除以 3 得: 1、 2、 4、 8, 16; 即 2=3-1=13-1; 5=6-1=23-1; 11=12-1=43-1= 2 23-
42、1; 23=24-1= 3 23-1;47=48-1= 15 23-1;所以,第n 位数是:123 1n ; (四)增幅不相等,且增幅也不以同等幅度增加(即增幅的增幅也不相等)。此类题大概没 有通用解法,只用分析观察的方法,但是,此类题包括第二类的题,如用分析观察法,也有 一些技巧。 如 2、9、 28、65 增幅是 7、 19、37 ,观察:2=1+1,9=8+1,28=27+1,65=64+1 即1 3 n 二、基本步骤 1、 先看增幅是否相等,如相等,用基本方法(一)解题。 2、 如不相等,综合运用技巧(二)、 (三)找规律 3、如不行,就运用技巧(四)、或变换成新数列, 16 三、基本
43、技巧 (一)标出序列号:把序列号和变量放在一起加以比较,就比较容易发现其中的奥秘。(如 一次函数或二次函数的x 与 y 的关系) 例如,观察下列各式数:0,3,8,15,24, 。试按此规律写出的第100 个数是。 解答这一题,可以先找一般规律,然后使用这个规律,计算出第100 个数。 我们把有关的量 放在一起加以比较:给出的数: 0,3,8,15,24, 。 序列号: 1,2,3, 4, 5, 。 容易发现,已知数的每一项,都等于它的序列号的平方减1。因此,第n 项是1 2 n, (二) 公因式法: 每位数分成最小公因式相乘,然后再找规律, 看是不是与2n、3n,或 32 ,nn 或 nn
44、3 ,2有关。 例如: (1)2,6, 12,20, () , () ,的第 n 为 n(n+1 ). (2)3,8,15,24,35 。313;428;5315,第 n 项为2nn (3)1,9,25,49 , () , () ,111;339;5525,的第 n 为 2 12n; (三) 有的可对每位数同时减去第一位数,成为第二位开始的新数列,再在找出的规律上加 上第一位数,恢复到原来。 例: 2、5、10、17、26 ,同时减去1 后得到新数列: 1、4、9、16、 25 , 分析观察可得,新数列的第n 项为: 2 n,所以题中数列的第n 项为:1 2 n (四)有的可对每位数同时加上,
45、或乘以,或除以第一位数,成为新数列,然后,在再找出 规律,并恢复到原来。 例 1:0,3,8,15,24, 。同时加上1 后得到新数列:1、4、9、16、25 , 分析观察可得,新数列的第n 项为: 2 n,所以题中数列的第n 项为:1 2 n。 例 2: 4,16,36,64,100,144, ?(第一百个数) (获直接 2 2n 同除以 4 后可得新数列:1、4、9、16 ,很显然是位置数的平方,即4 2 n。 例 3: 2015桂林中考18题,所给的点阵数为:2,5,11,23,47 。可对每位数同加1 得 3,6,12,24,48 ,发现与 3 有关:133,236,4312, 3 2
46、38324,因此, 第 n 项是 1 23 n ; 所以,第 n 位数是:123 1n ; 或 3,6,12,24,48 , 是等比数列第n 项为 1 23 n (五)观察一下,能否把一个数列的位置分开成为两个数列,再分别找规律。 例: 6,8,12,18,26, 第 n 项,还原: 6+2+4+6+8+ +2( n-1) ; 可分成 6 加数列 2+4+6+8+ +2(n-1) ,即 6+n(n-1) 例 2: 1,3,3,9, 5,15, 7,(21)第一与第二,第三与第四等每两项后项与前项之比为 3(或可以分:1,3,5,7和 3,9,15,21.两个数列) 17 四、练习题 1、 20
47、15 年梧州;数列1,5,12,22, 第 n 项 2、 5,7,11,19, 35,67 第 n 项 3、 6、10、 16、24、 , 第 n 项 4、 1,5,13,25,, , 第 n 项 5、 7,19,37,61, 第 n 项 6、 2,6,12,20, 第 n 项 7、由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示.则第 n 个图形中白色小正方形 和黑色小正方形的个数总和等于.(用 n 表示, n 是正整数) 2 4nn 8、下图是在正方形网格中按规律填成的阴影,根据此规律,则第n 个图中阴影部 分小正方形的个数是n 2n2。 9、将一些形状相同的小五角星如下图所示的规律摆放,据此规律, 第 10 个图形有个五角星 . 【答案】 120。 【解析】寻找规律:不难发现,第1 个图形有 3=2 21 个小五角星;第 2 个图形有 8=3 21 个小五角星;第3 个图形有 15=4 2 1 个小五角星;第n 个图形有( n1) 21 个小五角星。 第 10 个图形有 11 21=120 个小五角星。 10、如图:是用火柴棍摆出的一系列三角形图案, 按这种方式摆下去,当每边上摆20(即n20)根 时,
链接地址:https://www.31doc.com/p-4727816.html