2018年人教版八年级数学整式的乘法与因式分解讲义.pdf
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1、1 2018-2019 学年八年级(上)数学- 专属教案 整式的乘法与因式分解 知识点 平方差公式 :(ab)(ab) a 2 b 2 【类型一】判断能否应用平方差公式进行计算 下列运算中,可用平方差公式计算的是( ) A(xy)(xy) B( xy)(xy) C( xy)(yx) D(xy)( xy) 解析: A 中含x、y的项符号相同,不能用平方差公式计算,错误;B 中( xy)(xy) (x y)(xy) ,含x、y的项符号相同,不能用平方差公式计算,错误;C 中( xy)(yx) (xy)(x y) ,含x的项符号相同,含y的项符号相反,能用平方差公式计算,正确;D 中(xy)( xy
2、) (x y)(xy) ,含x、y的项符号相同,不能用平方差公式计算,错误;故选C. 方法总结: 对于平方差公式,注意两个多项式均为二项式且两个二项式中有一项完全相同,另一项 互为相反数 【类型二】直接应用平方差公式进行计算 利用平方差公式计算: (1)(3x 5)(3x 5) ; (2)( 2ab)(b2a) ; (3)( 7m8n)( 8n7m) ; (4)(x2)(x2)(x 24) 解析: 直接利用平方差公式进行计算即可 解: (1)(3x5)(3x5)(3x) 2529x225; (2)( 2ab)(b2a) ( 2a) 2 b 24a2 b 2; (3)( 7m8n)( 8n7m)
3、 ( 7m) 2(8 n) 249m264n2; (4)(x2)(x2)(x 24) ( x 24)( x 24) x 416. 方法总结: 应用平方差公式计算时,应注意以下几个问题:(1) 左边是两个二项式相乘,并且这两个 二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数;(2) 右边是相同项的平方减去相反项的平方;(3) 公式中 的a和b可以是具体数,也可以是单项式或多项式 【类型三】平方差公式的连续使用 求 2(3 1)(3 21)(341)(381) 的值 解析: 根据平方差公式,可把2 看成是 (3 1),再根据平方差公式即可算出结果 解: 2(3 1)(3 2 1)(34 1)(38 1)
4、 (3 1)(3 1)(32 1)(34 1)(3 8 1) (32 1)(32 1)(34 1)(3 81) (341)(341)(381) (38 1)(381) 3161. 方法总结: 连续使用平方差公式,直到不能使用为止 【类型四】应用平方差公式进行简便运算 利用平方差公式简算: (1)20 1 3 19 2 3;(2)13.2 12.8. 解析: (1) 把 201 319 2 3写成 (20 1 3) (20 1 3) ,然后利用平方差公式进行计算; (2) 把 13.2 12.8 写 成(13 0.2) (13 0.2) ,然后利用平方差公式进行计算 解: (1)20 1 319
5、 2 3(20 1 3) (20 1 3) 400 1 9 399 8 9; (2)13.2 12.8 (13 0.2) (13 0.2) 1690.04 168.96. 方法总结: 熟记平方差公式的结构并构造出公式结构是解题的关键 2 【类型五】化简求值 先化简,再求值:(2xy)(y2x) (2yx)(2yx) ,其中x1,y2. 解析: 利用平方差公式展开并合并同类项,然后把x、y的值代入进行计算即可得解 解: (2xy)(y 2x) (2yx)(2yx) 4x 2y2(4 y 2x2) 4x2 y 24y2 x 25x25y2. 当 x1,y 2 时,原式 51 2522 15. 方法
6、总结: 利用平方差公式先化简再求值,切忌代入数值直接计算 【类型六】利用平方差公式探究整式的整除性问题 对于任意的正整数n,整式 (3n1)(3n1) (3 n)(3 n) 的值一定是10 的倍数吗? 解析: 利用平方差公式对代数式化简,再判断是否是10 的倍数 解: 原式 9n 21(9 n 2) 10n21010( n1)(n1) ,n为正整数,(n1)(n 1)为整数, 即(3n1)(3n1) (3 n)(3 n) 的值是 10 的倍数 方法总结: 对于平方差中的a和b可以是具体的数,也可以是单项式或多项式,在探究整除性或倍 数问题时,要注意这方面的问题 【类型七】平方差公式的实际应用
7、王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈今年王大伯对李大妈说:“我把 这块地一边减少4 米,另外一边增加4 米,继续租给你,你看如何?”李大妈一听,就答应了你认为 李大妈吃亏了吗?为什么? 解析: 根据题意先求出原正方形的面积,再求出改变边长后的面积,然后比较二者的大小即可 解: 李大妈吃亏了理由:原正方形的面积为a 2,改变边长后面积为 (a4)(a4) a 216, a 2 a 2 16,李大妈吃亏了 方法总结: 解决实际问题的关键是根据题意列出算式,然后根据公式化简解决问题 完全平方公式 :(ab) 2 a 2 2ab b 2; 【类型一】直接运用完全平方公式进行计算 利用完
8、全平方公式计算: (1)(5 a) 2; (2)( 3m4n) 2; (3)( 3ab) 2. 解析: 直接运用完全平方公式进行计算即可 解: (1)(5 a) 22510a a 2; (2)( 3m4n) 29m224mn 16n 2; (3)( 3ab) 29a26ab b 2 . 方法总结: 完全平方公式:(ab) 2 a 2 2abb2. 可巧记为 “首平方,末平方,首末两倍中间放 ” 【类型二】构造完全平方式 如果 36x 2( m1)xy25y 2 是一个完全平方式,求m的值 解析: 先根据两平方项确定出这两个数,再根据完全平方公式确定m的值 解: 36x 2 (m 1)xy 25
9、y 2 (6x) 2 (m 1)xy(5y) 2 , (m 1)xy26x5y,m 1 60,m59 或 61. 方法总结: 两数的平方和加上或减去它们积的2 倍,就构成了一个完全平方式注意积的2 倍的符 号,避免漏解 【类型三】运用完全平方公式进行简便运算 利用乘法公式计算: (1)98 210199; (2)2016 220164030 20152. 解析: 原式变形后,利用完全平方公式及平方差公式计算即可得到结果 解: (1) 原式 (100 2) 2(100 1)(100 1) 10024004 10021 395; (2) 原式 2016 2220162015 20152(2016
10、2015)2 1. 方法总结: 运用完全平方公式进行简便运算,要熟记完全平方公式的特征,将原式转化为能利用完 全平方公式的形式 【类型四】灵活运用完全平方公式求代数式的值 已知xy6,xy 8. (1) 求x 2 y 2 的值; 3 (2) 求代数式 1 2( xyz) 21 2( xyz)(xyz) z(xy) 的值 解析: (1) 由(xy) 2 x 2y22xy,可得 x 2 y 2( xy) 2 2xy,将 xy6,xy 8 代入即可求得 x 2 y 2 的值; (2) 首先化简 1 2( xyz) 21 2( xyz)(xyz) z(xy) x 2 y 2,由 (1) 即可求得答案
11、解: (1) xy 6,xy 8, (xy) 2 x 2y22xy, x 2 y 2 ( xy) 22xy36 1620; (2) 1 2( xyz) 21 2( xyz)(xyz) z(xy) 1 2( x 2 y 2 z 22xy 2xz2yz) 1 2( xy) 2 z 2 xzyz 1 2x 21 2y 21 2z 2 xyxzyz 1 2x 21 2y 2 xy 1 2z 2 xzyzx 2y2,又 x 2 y 2 20,原式 20. 方法总结: 通过本题要熟练掌握完全平方公式的变式:(xy) 2 x 2 y 22xy, x 2 y 2 ( xy) 2 2xy. 【类型五】完全平方公
12、式的几何背景 我们已经接触了很多代数恒等式,知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等 式例如图甲可以用来解释(ab) 2( ab) 24ab . 那么通过图乙面积的计算,验证了一个恒等式,此等 式是 ( ) Aa 2b2 (ab)(ab) B(ab)(a2b) a 2 ab 2b 2 C(ab) 2 a 2 2ab b 2 D(ab) 2 a 2 2ab b 2 解析: 空白部分的面积为(ab) 2,还可以表示为 a 22ab b 2,所以,此等式是 (ab) 2 a 2 2abb2. 故选 C. 方法总结: 通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释 探究点二:添括号后
13、运用完全平方公式 计算: (1)(abc) 2; (2)(1 2xy)(1 2xy) 解析: 利用整体思想将三项式转化为二项式,再利用完全平方公式或平方差公式求解,并注意添括 号的符号法则 解: (1) 原式 (ab) c 2( ab) 2c22( ab)ca 22ab b 2 c 22ac 2bc a 2b2 c 2 2ab 2ac2bc; (2) 原式 1 ( 2xy)1 ( 2xy) 1 2( 2x y) 214x24xyy2. 方法总结: 利用完全平方公式进行计算时,应先将式子变成(ab) 2 的形式注意a,b可以是多项 式,但应保持前后使用公式的一致性 因式分解 提公因式法 (1)m
14、ambmcm(abc) ; (2)a 2b2 (ab)(ab) ; (3)a 22ab b 2 ( ab) 2. 探究点一:因式分解的概念 下列从左到右的变形中是因式分解的有( ) x 2 y 2 1 ( xy)(xy) 1;x 3 xx(x 2 1) ;(xy) 2 x 2 2xy y 2 ;x 2 9y2 (x 3y)(x3y) A1个 B 2个 C 3 个 D 4 个 解析: 没把一个多项式转化成几个整式积的形式,故不是因式分解;把一个多项式转化成几 4 个整式积的形式,故是因式分解;是整式的乘法,故不是因式分解;把一个多项式转化成几个 整式积的形式,故是因式分解;故选B. 方法总结:因
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