2018年高二数学圆锥曲线的综合问题提升练习及答案详解.pdf
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1、第 1 页 共 10 页 2018 年高二数学圆锥曲线的综合问题提升练习 A 级 保分题目巧做快做 1斜率为1 的直线 l 与椭圆 x 2 4 y 2 1相交于 A,B 两点,则 |AB|的最大值为 ( ) A2B.4 5 5 C.4 10 5 D. 8 10 5 解析: 选 C设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 l 的方程为 yxt,代入 x 2 4 y 2 1,消去 y, 得 5x28tx4t240,由题意得 (8t)220(4t24)0,即 t25,因为 x1 x2 8t 5 , x1x2 4t 2 4 5 ,所以弦长|AB|11 64t 2 25 16t 2 16 5 42
2、5t 2 5 4 10 5 ,当且仅当t 0 时取等号故|AB|的最大值为 4 10 5 . 2(2018 泉州质检 )已知双曲线C:x 2 a 2 y 2 b 21(a0,b0),F 是双曲线 C 的右焦点,过 F 作双曲线C 在第一、三象限的渐近线的垂线l,若 l 与双曲线C 的左、右两支分别交于点 D,E,则双曲线C 的离心率e 的取值范围为 () A(2,3) B(2, ) C(2,2) D. 1, 6 2 解析:选 B法一:由题意知, 直线 l:y a b(xc),由 y a b xc , b 2x2a2y2a2b2, 得 b 2a 4 b 2 x 22a 4c b 2x a 4c2
3、 b 2a 2b2 0,由 x1x2 a 4c2 b 2 a2b 2 b 2a 4 b 2 0 得 b 4a4,所以 b 2 c2a2a2, 所以 e 22,得 e 2. 法二: 由题意,知直线l 的斜率为 a b,若 l 与双曲线左、右两支分别交于 D, E 两点, 则 a b b a,即 a 22,得 e 2. 3已知双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21(a0,b0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为 4, 若抛物线y ax2上的两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线 yx m 对称,且x1x2 1 2,则 m 的值为 () 第 2 页 共 10 页 A.3 2 B.5
4、2 C2 D3 解析: 选 A由双曲线的定义知2a4,得 a 2, 所以抛物线的方程为y2x2. 因为点 A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线 y2x 2 上, 所以 y12x2 1, y22x 2 2, 两式相减得y1y22(x1 x2)(x1x2), 不妨设 x1x2,又 A, B 关于直线yxm 对称, 所以 y1y2 x1x2 1, 故 x1x2 1 2, 而 x1x2 1 2, 解得 x1 1,x2 1 2, 设 A(x1,y1),B(x2,y2)的中点为 M(x0,y0), 则 x0x 1x2 2 1 4, y0 y1y2 2 2x 2 12x 2 2 2 5 4, 因为中点
5、M 在直线 yxm 上, 所以 5 4 1 4m,解得 m 3 2. 4已知直线y1x 与双曲线ax 2by21(a0, b0,x20, 则 x1x2 2k 24 k 2 , x1x21, 1 |AF| 1 |BF| 1 x11 1 x21 x1x22 x1x2x1 x2 1 2k 24 k 22 1 2k 24 k 2 1 1. 当直线的斜率不存在时,易知|AF|BF|2, 故 1 |AF| 1 |BF|1. 设|AF| a,|BF| b,则 1 a 1 b1, 所以 |AF|4|BF| a4b 1 a 1 b (a4b)5 4b a a b 9,当且仅当a2b 时取等号, 故 a4b 的最
6、小值为9, 此时直线的斜率存在,且x112(x21), 联立得,x12,x2 1 2,k 2 2, 故直线 AB 的倾斜角的正弦值为 22 3 . 答案: 2 2 3 9已知椭圆C: x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)的离心率为 3 2 ,短轴端点到焦点的距离为2. (1)求椭圆 C 的方程; 第 5 页 共 10 页 (2)设 A,B 为椭圆 C 上任意两点, O 为坐标原点,且OAOB.求证:原点 O 到直线 AB 的距离为定值,并求出该定值 解: (1)由题意知, e c a 3 2 ,b 2c22, 又 a 2b2c2, 所以 a 2,c3, b1, 所以椭圆C 的方程为 x
7、2 4 y21. (2)证明:当直线AB 的斜率不存在时,直线AB 的方程为x 2 5 5 ,此时,原点O 到 直线 AB 的距离为 2 5 5 . 当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为ykxm,A(x1,y1),B(x2,y2) 由 x 2 4 y21, ykxm 得(14k2)x28kmx4m240. 则 (8km)2 4(1 4k2)(4m24) 16(1 4k2 m 2) 0, x 1 x2 8km 14k 2, x1x2 4m 24 14k 2, 则 y1y2(kx1m)(kx2m) m 24k2 1 4k 2, 由 OA OB,得 kOA kOB 1,即 y1 x1 y2
8、 x2 1, 所以 x1x2y1y2 5m 244k2 14k 20, 即 m 24 5(1k 2), 所以原点O 到直线 AB 的距离为 |m| 1k 2 25 5 . 综上,原点O 到直线 AB 的距离为定值 2 5 5 . 10 (2018 贵阳检测 )已知椭圆C1的焦点在 x 轴上,中心在坐标原点;抛物线C2的焦点 在 y 轴上,顶点在坐标原点在C1,C2上各取两个点,将其坐标记录于表格中: x 3242 y 9 2 08 2 2 (1)求 C1,C2的标准方程; 第 6 页 共 10 页 (2)已知定点C 0, 1 8 ,P 为抛物线C2上一动点,过点P 作抛物线C2的切线交椭圆C1
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