2018年高考数学总复习基本不等式及其应用.pdf
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1、第二节基本不等式及其应用 考纲解读 1. 了解基本不等式错误!未找到引用源。的证明过程 . 2. 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 3. 利用基本不等式证明不等式. 命题趋势探究 基本不等式是不等式中的重要内容,也是历年高考重点考查的知识点之一,其应用范围涉及 高中数学的很多章节,且常考常新, 但考查内容却无外乎大小判断、求最值和求最值范围等 问题 . 预测 2019 年本专题在高考中主要考查基本不等式求最值、大小判断,求取值范围问题. 本专题知识的考查综合性较强,解答题一般为较难题目,每年分值为58 分. 知识点精讲 1. 几个重要的不等式 (1)错误!未找到引用源。 (2)基本不
2、等式: 如果 错误! 未找到引用源。 ,则错误! 未找到引用源。(当且仅当 “错误! 未找到引用源。 ”时取“”). 特例: 错误!未找到引用源。同号 . (3)其他变形: 错误!未找到引用源。(沟通两和 错误!未找到引用源。与两平方和 错误!未找到引用源。 的不等关系式 ) 错误!未找到引用源。(沟通两积 错误!未找到引用源。与两平方和 错误!未找到引用源。 的不等关系式 ) 错误!未找到引用源。(沟通两积 错误!未找到引用源。与两和 错误!未找到引用源。的 不等关系式 ) 重要不等式串:错误!未找到引用源。即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值 (注意等号成立的条件). 2. 均值定
3、理 已知 错误!未找到引用源。. (1)如果 错误!未找到引用源。(定值 ),则 错误!未找到引用源。(当且仅当“ 错误!未找 到引用源。”时取“ =”).即“和为定值,积有最大值”. (2)如果 错误!未找到引用源。(定值 ),则 错误!未找到引用源。(当且仅当“ 错误!未找 到引用源。”时取“ =”).即积为定值,和有最小值”. 题型归纳及思路提示 题型 91 基本不等式及其应用 思路提示 熟记基本不等式成立的条件,合理选择基本不等式的形式解题,要注意对不等式等号是 否成立进行验证. 例 7.5 “错误!未找到引用源。 ”是“ 错误!未找到引用源。 ”的() A. 充分不必要条件B. 必要
4、不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 解析 :由 错误!未找到引用源。能推出 错误!未找到引用源。 ;但反之不然,因为错误!未 找到引用源。的条件是 错误!未找到引用源。, 故选 A. 变式 1 已知 错误!未找到引用源。且错误!未找到引用源。,则() A. 错误!未找到引用源。B. 错误!未找到引用源。C. 错误!未找到引用源。D. 错误!未找到引用源。 变式 2 (2012 福建理 5)下列不等式中一定成立的是() A. 错误!未找到引用源。B. 错误!未找到引用源。 C. 错误!未找到引用源。D. 错误!未找到引用源。 例 7.6 若错误!未找到引用源。 ,则下列不等式对
5、一切满足条件的错误!未找到引用源。恒 成立的是(写出所有正确命题的序号). 错误!未找到引用源。; 错误!未找到引用源。 ; 错误!未找到引用源。 ; 错误!未 找到引用源。 ; 错误!未找到引用源。. 解析 :对于,由 错误!未找到引用源。及错误!未找到引用源。得错误!未找到引用源。 , 即错误!未找到引用源。(当且仅当 错误!未找到引用源。时取等号 ),故正确;对于, 由错误!未找到引用源。及错误!未找到引用源。得错误!未找到引用源。,即 错误!未找 到引用源。 (当且仅当 错误!未找到引用源。时取等号 ),故正确;对于,由错误!未找 到引用源。 得错误!未找到引用源。,故正确 . 对于,
6、 错误!未找到引用源。 ,因此 错 误!未找到引用源。(当且仅当 错误!未找到引用源。时取等号 ),故不恒成立; 对于, 错误!未找到引用源。,又 错误!未找到引用源。 ,则 错误!未找到引用源。 ,故 正确,故填. 变式 1 如果正数 错误!未找到引用源。满足 错误!未找到引用源。 ,那么() A. 错误!未找到引用源。 ,且等号成立时错误!未找到引用源。的取值唯一 B. 错误!未找到引用源。 ,且等号成立时错误!未找到引用源。的取值唯一 C. 错误!未找到引用源。 ,且等号成立时错误!未找到引用源。的取值不唯一 D. 错误!未找到引用源。 ,且等号成立时错误!未找到引用源。的取值不唯一 题
7、型 92 利用基本不等式求函数最值 思路提示 (1)在利用基本不等式求最值时,要把握四个方面,即“一正各项都是正数;二定和 或积为定值;三相等等号能否取到(对于不满足相等的函数求最值,可考虑利用函数 单调性解题) ;四同时多次使用基本不等式时等号要同时取得”,求最值时, 这是个方面缺 一不可,若忽视了某个条件的验证,可能会出现错误. (2)利用基本不等式求函数最值常用的技巧有:1 通过加减项的方法配凑成使用基本不等 式的形式; 2 注意“ 1”的变换; 3 灵活选择和应用基本不等式的变形形式;4 合理配组,反 复使用基本不等式等. 一、利用基本不等式求最值要注意条件的验证 例 7.7 (1)若
8、 错误!未找到引用源。 ,求函数 错误!未找到引用源。的最小值; (2)若 错误!未找到引用源。 ,求函数 错误!未找到引用源。的值域 . 分析 : (1)因为 错误!未找到引用源。满足不等式条件,可以直接利用基本不等式求最值. (2)因为 错误!未找到引用源。,故需先转化为错误!未找到引用源。 ,才能利用基本不等 式求最值 . 解析 :因为 错误!未找到引用源。,由基本不等式得错误!未找到引用源。,当且仅当 错误! 未找到引用源。 ,即 错误!未找到引用源。时, 错误!未找到引用源。取最小值 . (2)因为 错误!未找到引用源。,所以 错误!未找到引用源。 ,则 错误!未找到引用源。 , 且
9、错误!未找到引用源。, 即错误!未找到引用源。. 当且仅当 错误!未找到引用源。,即 错误!未找到引用源。时, 错误!未找到引用源。取最大值 错误!未找到引用源。. 故函数 错误!未找到引用源。的值域为 错误!未找到引用源。. 评注 :解( 1)时,应注意积为定值这个前提条件;解(2)时,应注意使用基本不等式求最 值时,各项必须为正数. 变式 1 (1)求函数 错误!未找到引用源。的值域 (2)求函数 错误!未找到引用源。的最小值; (3)求函数 错误!未找到引用源。的最小值 . 二、通过代数变换凑配成使用基本不等式的形式 例 7.8 已知 错误!未找到引用源。,求函数 错误!未找到引用源。的
10、最大值 . 分析 :因为 错误!未找到引用源。,所以首先要调整符号,又错误!未找到引用源。不是常 数,所以要对 错误! 未找到引用源。进行拆凑项, 通过将函数解析式拆凑成可以使用基本不 等式的形式,从而求得函数的最值. 解析 :因为 错误! 未找到引用源。 ,所以 错误! 未找到引用源。 ,由错误! 未找到引用源。(当 且仅当 错误!未找到引用源。时,即 错误!未找到引用源。时取等号)得错误!未找到引 用源。 . 所以函数的最大值为1. 当且仅当 错误!未找到引用源。时,即 错误!未找到引用源。时取等号,故当错误!未找 到引用源。 时, 错误!未找到引用源。. 评注 :利用基本不等式求最值时要
11、重视各种条件,即“一正二定上相等四同时”必须全部满 足,方可利用其求得最值. 如果本题中的条件“错误!未找到引用源。”改为“ 错误!未找 到引用源。” ,则如下求解:因为错误!未找到引用源。,所以 错误!未找到引用源。 ,为错 误求解, 错误原因: 在于只注重基本不等式的形式构造而未对成立条件“三相等” 加以验证, 事实上, 错误!未找到引用源。.一般地,对勾函数错误!未找到引用源。在错误!未找到 引用源。 上单调递减,在错误!未找到引用源。上单调递增,若不满足“三相等”的条件 可以利用函数的单调性求最值.另外,还要注意与对勾函数错误!未找到引用源。同形质异 的函数 错误!未找到引用源。在上
12、错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。均为单 调增函数 . 如错误!未找到引用源。可直接利用单调性求最值. 变式 1 求函数 错误!未找到引用源。的最大值 . 变式 2 设正实数 错误!未找到引用源。满足 错误!未找到引用源。 ,则当 错误!未找到引用 源。 取得最大值时,错误!未找到引用源。最大值为() A. 0 B. 1 C. 错误!未找到引用源。D. 3 三、 “1”的变换 例 7.9 已知 错误!未找到引用源。,且 错误!未找到引用源。,求 错误!未找到引用源。的 最小值 . 分析 :利用条件 错误!未找到引用源。中“ 1”的变换 . 解析 :解法一:因为错误!未找到引用源。,且
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- 2018 年高 数学 复习 基本 不等式 及其 应用
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