2018年高考数学总复习圆锥曲线综合.pdf
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1、1 第六节圆锥曲线综合 考纲解读 1. 掌握与圆锥曲线有关的最值、定值和参数范围问题. 2. 会处理动曲线(含直线)过定点的问题. 3. 会证明与曲线上的动点有关的定值问题. 4. 会按条件建立目标函数,研究变量的最值及取值范围问题,注意运用数形结合法和几何法 求某些量的最值. 命题趋势研究 从内容上看,预测2015 年高考主要考查两大类问题:一是根据条件,求出表示平面曲 线的方程; 二是通过方程,研究平面曲线的性质,其热点有: 以客观题的形式考查圆锥曲 线的基本概念和性质;求平面曲线的方程和轨迹;圆锥曲线的有关元素计算、关系证明 或范围确定;涉及圆锥曲线对称变换、最值或位置关系的有关问题.
2、从形式上看,以解答题为主,难度较大. 从能力要求上看,要求学生具备一定的数形结合、分析问题和解决问题及运算能力. 知识点精讲 一、定值问题 解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决. 证明过程可总结为“变量 函数定值” ,具体操作程序如下: (1)变量 -选择适当的量为变量. (2)函数 -把要证明为定值的量表示成变量的函数. (3)定值 -化简得到的函数解析式,消去变量得到定值. 求定值问题常见的方法有两种: (1)从特殊情况入手,求出定值,再证明该定值与变量无关; (2)直接推理、计算,并在计算推理过程中消去变量,从而得到定值. 二、求最值问题常用的两种方法 (1)几何法:题中给
3、出的条件有明显的几何特征,则考虑用几何图形性质来解决,这是 几何法 . (2)代数法:题中给出的条件和结论的几何特征不明显,则可以建立目标函数,再求该 函数的最值 . 求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、 导数法和三角换元法等, 这就是代数法 . 三、求定值、最值等圆锥曲线综合问题的“三重视” ( 1)重视定义在解题中的作用( 把定义作为解题的着眼点). ( 2)重视曲线的几何特征特别是平面几何性质与方程的代数特征在解题中的作用. ( 3)重视根与系数的关系在解题中的作用( 涉及弦长、中点要用根与系数的关系). 四、求参数的取值范围 据已知条件及题目要求等量或不等量关系,再求参数的
4、范围. 题型归纳及思路提示 题型 150 平面向量在解析几何中的应用 思路提示 解决平面向量在解析几何中的应用要把几何特征转化为向量关系,并把向量用坐标表示. 常见的应用有如下两个方面. (1) 用向量的数量积解决有关角的问题. 直角0a b, 钝角0a b( 且, a b不反向 ), 2 锐角0a b( 且,a b不同向 ). (2)利用向量的坐标表示解决共线问题. 一、利用向量的数量积解决有关夹角(锐角、直角、钝角)的问题 其步骤是:先写出向量坐标式,再用向量数量积的坐标公式 1212 2222 1122 cos, x xy y a b xyxy 例 10.44 过抛物线 2 2(0)xp
5、y p的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,O为坐标原点 . 求证:ABO的是钝角三角形. 分析证明ABO的是钝角三角形常用的方法是利用余弦定理,但用余弦定理来解决需计算 出 ,OBOAAB 的长, 显然较复杂 . 因为O,A,B不共线,故可利用 0OA OB 来证明AOB 90,从而得证. 解析设 11 (,)A x y, 22 (,)B xy, 抛物线 2 2(0)xpy p的焦点坐标(0,) 2 p F. 根据题意知,直线AB的斜率存在 ( 若不存在,则A,B在原点,矛盾 ) , 设直线AB的方程为 2 p ykx,由 2 2 2 p ykx xpy ,得 22 20xpkxp, 则 12
6、 2xxpk, 2 12 x xp. 因为A,B两点在抛物线上,所以 2 11 2xpy, 2 22 2xpy, 两式相乘得, 222 12 122 44 x x p y y p . 11 (,)OAxy, 22 (,)OBxy, 22 2 1212 3 0 44 pp OA OBx xy yp, 又因为O,A,B三点不共线,所以AOB90,ABO的是钝角三角形. 评注直线l与抛物线 2 2(0)xpy p交于A,B两点,则 (1)直线l在y轴上的截距等于2 p时,AOB90; (2)直线l在y轴上的截距大于2 p时,AOB90; (3)直线l在y轴上的截距大于0 且小于2 p时,AOB90
7、. 变式 1(2012 重庆理 20)如图 10-34 所示,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上 顶点为A,左右焦点分别为F1,F2,线段OF1,OF2的中点分别为B1,B2,且AB1B2是面积为4 的 直角三角形 . 3 ( 1)求该椭圆的离心率和标准方程; ( 2)过B1作直线l交椭圆于P,Q两点,使PB2QB2,求直线l的方程 . 变式 2 设A,B分别为椭圆 22 1 43 xy 的左右顶点,P为直线4x上不同于(4,0)的任 意一点,若直线AP,BP分别与椭圆交于异于A,B的点M,N,证明:点B在以MN为直径的圆 内. 变式 3已知1m,直线 2 :0 2 m lxmy, 椭圆
8、2 2 2 :1 x Cy m ,F1,F2分别为椭圆C 的左右焦点 . ( 1)当直线l过右焦点F2时,求直线l的方程; ( 2)设直线l与椭圆C交于A,B两点,AF1F2和BF1F2和的重心分别是G,H;若原点O 在以线段GH为直径的圆内,求实数m的取值范围 . 例 10.45 在直角坐标系xOy中,点P到两点(0,3),(0,3)的距离之和等于4,设点P 的轨迹为C,直线1ykx与C交于A,B两点 . (1)写出C的方程;(2)若OAOB, 求k的值 . 解析(1)设( , )P x y,由椭圆定义可知,点P的轨迹C是以(0,3),(0,3)为焦点, 4 长半轴为2 的椭圆 .其短半轴1
9、b,故曲线C的方程为 2 2 1 4 y x. (2)设 11 (,)A x y, 22 (,)B xy, 由 2 2 1 4 1 y x ykx ,即 22 (4)230kxkx,由韦达定理 知, 12 2 2 4 k xx k , 12 2 3 4 x x k . 若OAOB, 即 1212 0x xy y,而 2 121212 ()1y yk x xk xx, 所以 2 1212 22 32 (1)()()10 44 k x xy ykk kk ,即 2 410k, 解得 1 2 k. 评注本题的结论可由 【例 10.44 变式 3】的评注中的重要结论顺利得到:由题意,OA OB, 故有
10、AOB 90,设原点O到直线的距离为OHd,则有 222 1115 4ab OH , 故可得 2 5 OHd,又1ykx,所以 2 12 5 1 d k ,解得 1 2 k.利用此结 论求解, 可以对利用常规方法求解出的结果加以验证,从而提高解题的准确率,做到胸有成 竹. 变式 1如图 10-35 所示, 椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的顶点为A1,A 2,B1,B2, 焦点为 F1,F2, 11 7AB, 11221122 2 B A B AB F B F SS. (1) 求椭圆C的方程;(2)设n为过原点的直线,l是与n垂直相交于P点, 与椭圆相交于 A,B两点的直线,
11、1OP,是否存在上述直线l使0OA OB成立?若存在求出直线l的 方程;若不存在,请说明理由. 5 变式 2 如图 10-36 所示,椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的一个焦点是(1,0)F,O为坐标 原 点 , 设 过 点F的 直 线l交 椭 圆 于A,B两 点 . 若 直 线l绕 点F任 意 转 动 , 恒 有 222 OAOBAB, 求a的取值范围 . 二、利用向量的坐标表示解决共线问题 向量, a b共线的条件是ab或 1221 x yx y. 例 10.46 在平面直角坐标系xOy中, 经过点(0,2)且斜率为k的直线l与椭圆 2 2 1 2 x y 有两个不同的交
12、点P,Q. (1)求k的取值范围; (2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A,B,是否存在常数k,使得向量OP OQ与AB共线?若存在,求k的值;若不存在,请说明理由. 分析将向量共线转化为坐标关系求解. 解 析( 1 ) 设 直 线l方 程 为2ykx, 代 入 椭 圆 得 2 2 (2)1 2 x kx即 22 (21)4 220kxkx, 则 222 (4 2 )4(21)21680kkk,解得 2 2 k, 或 2 2 k. (2)设 11 (,)P x y, 22 (,)Q xy, 则OPOQ 1212 (,)xxyy, 由方程得 122 4 2 12 k xx k , 1
13、212 ()2 2yyk xx, 6 又( 2,0),(0,1)AB, (2,1)AB. 所以向量OPOQ与AB共线等价于 1212 2()xxyy, 将代入上式,解得 2 2 k, 由( 1)知 2 2 k, 或 2 2 k,故没有符合题意的常数k. 变式1 设椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左右焦点分别为F1,F2,离心率 2 2 e,直线 2 : a lx c ,如图 10-37 所示,M,N是l上的两个动点, 12 0F M F N. (1)若 12 2 5F MF N,求 ,a b的值; (2)证明:当MN取最小值时, 12 F MF N与 12 F F共线 . 例1
14、0.47设A,B是椭圆 2 2 1 2 x y上的两点,并且点( 2,0)N满足NANB, 当 7 1 1 , 5 3 时,求直线AB斜率的取值范围. 分析已知的取值范围,求直线斜率范围关键在于如何用表示k,突破口在于将 NANB转化为坐标关系. 解析因为NANB,所以A,B, N三点共线,又点N的坐标为( 2,0),设直线AB的 方程为(2)yk x, 则0k, 由 2 2 1 2 (2 ) x y yk x ,消去x得 222 (21)420kykyk, 由条件可知, 222 ( 4 )4(21)20 0 kkk k 解得 2 0 2 k. 设 11 (,)A xy, 22 (,)B xy
15、, 则 122 4 12 k yy k , 2 12 2 2 12 k y y k , 由NANB,得 1122 (2,)(2,)xyxy. 所以有 12 12 2(2)xx yy , 1222 2 2 1222 4 (1) 12 2 12 k yyy k k y yy k , 消去 2 y得 2 2 (1)8 12k ,令 2 (1)1 ( )2h, 1 1 , 5 3 ,则( )h在 区间 1 1 , 5 3 上为减函数,从而 16 3 2 8 12k 36 5 . 解得 1 2 k 2 6 或k,符合 2 0 2 k,因此直线AB斜率的取值范围为 1 2 , 2 6 2 6 , 1 2
16、. 评注本题在消元上有个技巧,当 12 xx时消去y得关于x的一元二次方程. 122 (1) b xxx a , 2 122 c x xx a ,消去 2 x就会得与, ,a b c之间的关系;当 12 yy时消去x. 变式 1 已知F1,F2分别为椭圆 22 1 32 xy 的左右焦点, 直线 1 l过点F1且垂直于椭圆的长轴, 动直线 2 l垂直于直线 1 l,垂足为D,线段DF 2的垂直平分线交 2 l于点M. (1)求动点M的轨 8 迹C的方程; (2)过点F1作直线交曲线C于两个不同的点P和 Q ,设 11 F PFQ, 若2,3,求 22 F P F Q的取值范围 . 变式 2 过
17、点(1,0)F的直线交抛物线 2 4yx于A,B两点,交直线:1lx于点M,已知 1 MAAF, 2 MBBF, 求 12的值 . 题型 151 定点问题 思路提示 (1)直线过定点,由对称性知定点一般在坐标轴上,如直线ykxb,若b为常量, 则直线恒过(0, )b点;若 b k 为常量,则直线恒过(,0) b k . (2)一般曲线过定点,把曲线方程变为 12 ( , )( , )0fx yfx y(为参数),解方程组 1 2 ( ,)0 ( , )0 fx y fx y 即得定点 . 模型一:三大圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中的顶点直角三角形的斜边所在的直线过 定点 . 例 10.48
18、 已知椭圆 22 1 43 xy , 直线:lykxm与椭圆交于 A,B两点(A,B不是原点), 且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点. 求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标. 分析要求直线过定点,必须知道直线:lykxm中k与m的关系 . 解析设 11 (,)A xy, 22 (,)B xy,由 22 1 43 xy ykxm ,消去y得 222 (43)84120kxkmxm,由条件可知, 222 (8)4(43)(412)0kmkm,即 22 43mk, 则 12 2 8 43 km xx k , 2 12 2 412 43 m x x k , (* ) 9 因为以AB为直径的圆过椭圆的右
19、顶点(2,0),所以 1122 (2,) (2,)0xyxy,即 121212 2()40x xxxy y,即 121212 2()4()()0x xxxkxm kxm, 整理得, 22 1212 (1)(2)()40kx xkmxxm,将( * )代入,化简得 22 71640mkmk,即2mk或 2 7 k m. (1)当2mk时,:2lykxk过右顶点(2,0),与题意不符,故舍去; (2)当 2 7 k m时, 2 : 7 k lykx过定点 2 (,0) 7 ,且满足 22 43mk,符合 . 所以:lykxm过定点 2 (,0) 7 . 评注已知椭圆 22 22 1(0) xy a
20、b ab ,直线:lykxm与椭圆交于A,B两点,且以 AB为直径的圆过椭圆的右顶点A1, 求证:如图10-38所示,设 11 (,)A xy, 22 (,)B xy, 由 22 22 1 xy ab ykxm ,消去y得 222222222 ()20a kbxa kmxa ma b,由条件可知, 222222222 (2)4()()0a kma kba ma b,即 2222 ma kb. (注:截距的平方 小于二次方程的二次项系数,请记住!) 则 2 12 222 2a km xx a kb , 222 12 222 ()amb x x a kb , (* ) 因为AB为直径的圆过椭圆的右
21、顶点A1( ,0)a,所以 11 0A A A B, 又 111 (,)A Axa y, 122 (,)A Bxa y 所以 1122 (,) (,)0xa yxa y,即 2 121212 ()0x xa xxay y, 10 即 2 121212 ()()()0x xa xxakxm kxm, 整理得, 222 1212 (1)()()0kx xkmaxxma,将( * )代入,化简得 2222 ()()() 0makabma abk. (1)当mak时,:lykxak过右顶点( ,0)a,与题意不符,故舍去; (2)当 22 22 ()a abk m ab 时, 22 22 () : a
22、 abk lykx ab 过定点 22 22 () (,0) a ab ab ,且满足 2222 ma kb,符合题意 . 所以,:lykxm过定点 22 22 () (,0) a ab ab . 同理可证,若AB为直径的圆过左顶点(,0)a, 则l过定点 22 22 () (,0) a ab ab ; 过上顶点(0, )b时,l过定点 22 22 () (0,) b ba ab ; 过下顶点(0,)b时,l过定点 22 22 () (0,) b ba ab . 类比椭圆,对于双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab ,上异于右顶点的两动点A,B, 若AB为直径的圆过右顶点( ,0)
23、a, 则 AB l过定点 22 22 () (,0) a ab ab ;同理,若该圆过左顶点 (,0)a, 则 AB l过定点 22 22 () (,0) a ab ab ; 变式 1 已知椭圆 2 2 1 4 x y的左顶点为A,不过点A的直线:lykxb与椭圆交于不同 的两点P,Q,当0AP AQ,求k与b的关系,并证明直线l过定点 . 11 变式 2(2012 北京海淀高三期末理19)已知焦点在x轴上的椭圆C过点(0,1),且离心率 为 3 2 ,Q为椭圆C的左顶点 . (1)求椭圆C的标准方程; (2)已知过点 6 (,0) 5 的直线l与椭圆C交与A,B两点 . ()若直线l垂直于x
24、轴,求AQB的大小; ()若直线l与x轴不垂直,是否存在直线l使得QAB为等腰三角形?如果存在, 求出直线l的方程;如果不存在,请说明理由. 例 10.49 已知抛物线 2 2(0)ypx p上异于顶点的两动点A,B满足以AB为直径的圆过顶 点. 求证:AB所在的直线过定点,并求出该定点的坐标. 分析要证明 AB l过定点,必须先求得其方程. 解析由题意知 AB l的斜率不为0(否则只有一个交点),故可设: AB lxtym,设 11 (,)A xy, 22 (,)B xy,由 2 2ypx xtym ,消去x得 2 220yptypm,从而 22 2 ( 2)4( 2)480ptpmp tp
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