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1、第十五章复数 本章知识结构图 考纲解读 1.理解复数的基本概念. 2.理解复数相等的充要条件. 3.了解复数的代数表示方法及其几何意义. 4.会进行复数代数形式的四则运算. 5.了解复数代数的加、减运算的几何意义. 命题趋势探究 复数的代数运算、 代数表示及其几何意义是高考的必考内容,题型多为选择题或填空题, 考题难度为低档. 知识点讲解 一、基本概念 (1)i叫虚数单位, 满足 2 1i,当kZ时, 4414243 1,1, kkkk iii iii. (2)形如( ,)abi a bR的数叫复数,记作abiC. 复数( ,)zabi a bR与复平面上的点( , )Z a b一一对应,a叫
2、 z 的实部, b 叫 z 的虚部;0,bzRZ 点组成实轴;0,bz叫虚数;0b且0a, z 叫纯虚数, 纯虚数对应点组成虚轴(不包括原点)。两个实部相等,虚部互为相反数的复数互为共轭复 数. 两个复数,( , , ,)abi cdi a b c dR相等 ac bd (两复数对应同一点) 复数的模:复数( ,)abi a bR的模,也就是向量OZ的模,即有向线段OZ的长 度,其计算公式为 22 | |zabiab,显然, 2222 | | |,zabiabz zab. 二、基本性质 1.复数运算 概念虚数、纯虚数、实部、虚部、实轴、虚轴、模、共轭复数 几何意义 运算 复数与复平面内点(向量
3、)的对应关系、模的几何意义 加、减、乘、除、乘方 复数 (1)()()()()iabicdiacbd (2)() ()()()abicdiacbdadbc i 222 22 () ()z z| | | | ) 2 abiabiabz zz zza ( 注意 其中 22 | |zab ,叫 z 的模; zabi 是 zabi 的共轭复数 ( ,)a bR . (3) 22 22 () ()()() (0) () () abiabicdiacbdbcad i cd cdicdicdicd . 实数的全部运算律(加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则)都 适用于复数 . 2.复数的几
4、何意义 (1)复数( ,)zabi a bR对应平面内的点( , )z a b; (2)复数( ,)zabi a bR对应平面向量OZ; (3)复平面内实轴上的点表示实数,除原点外虚轴上的点表示虚数,各象限内的点都 表示复数 . (4)复数( ,)zabi a bR的模|z表示复平面内的点( , )z a b到原点的距离. 题型归纳与思路提示 题型 190 复数概念及其代数运算 思路提示 无论是复数模、共轭复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括实部和虚部两部分, 所以在解决复数有关问题时要将复数的实部和虚部都认识清楚. 例 15.1(2012 年全国新课标理3) 下面关于复数 2 1 z i
5、 的四个命题: 1: 2pz 2 2: 2pzi3: pz的共轭复数为1i 4 :pz的虚部为 1 其中的真命题为() A. 23 ,ppB. 12 ,ppC.,ppD.,pp 解析因为 22( 1) 1 1( 1)( 1) i zi iii ,所以2z, 22 ( 1)2zii, 3 :pz的共轭复数为1i, 4: pz的虚部为1,z 的共轭复数为1i,z 的虚部为1. 其中的真命题为,pp ,故选C. 变式 1( 2012 年陕西理3)设,a bR i是虚数单位,则“0ab” 是“ 复数 b a i 为纯虚数 ” 的() A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充
6、分也不必要条件 变式 2 sin 21(2 cos1)i是纯虚数,则() A.2() 4 kkZB.2() 4 kkZ C.2() 4 kkZ D. () 24 k kZ 变式 3 复数1,zi z为z的共轭复数,则1zzz() .A2i.Bi.Ci.D2i 例 15.2(2012 安徽理 1)复数z满足25zii,则z为 .A-2-2i .B-2+2i.C2-2i D2+2i 解析令,R,Rzabiab,则212ziiabii 2(1)12ba iba5, 所以 210, 215. ba ab 解得 2 2 a b ,所以22zi.故选D. 变式 1 已知复数1zi,则 2 2 1 zz z
7、 () .A 2i.B2i.C 2 .D 2 变式 2 复数 2 12 i i () .Ai.Bi.C 43 55 i.D 43 55 i 例 15.3 (2012 江苏 3)设abR, 117i i 12i ab ( i 为虚数单位) ,则ab的值为 解析据题i i ii ii i i bia35 5 1525 )21)(21 ( )21)(711( 21 711 ,所以,3, 5 ba从 而8ba.故填 8. 变 式1 ( 2012 重 庆11 ) 若12ii =a+bi, 其 中,a bR i为 虚 数 单 位 , 则 ab . 变式 2若,a bR i是虚数单位,且()ai ibi,则
8、() .A1,1ab.B1,1ab.C1,1ab.D1,1ab 例 15.4(2012 湖北 1)方程 2 6130xx的一个根是 A32iB32iC23iD23i 解析解法一:设xab i,则 2 ()6()130abiabi, 整理,得: 22 (613)(26 )0abaabb i, 所以有 22 6130 260 aba abb ,解得 3 =2 a b ,即-32xi 解法二:用求根公式求解: 2 4 32 2 bacb i xi a ,故选 A. 变式 1 (2012 年上海理15)若i 21是关于x的实系数方程0 2 cbxx的一个复数 根,则() A3,2 cbB3,2 cb
9、C1,2 cbD1,2 cb 题型 190 复数的几何意义 思路提示 复数的几何意义在于复数的实质是复平面上的点,其实部、虚部分别是该点的横坐标、 纵坐标,这是研究复数几何意义的最重要的出发点. 例 15.5(2012 上海春季) 若复数 z 满足|2(zii为虚数单位) ,则 z 在复平面内所对应 的图形的面积为_. 解析设, ,zxyi x yR则有| x(y1) |2i,即 22 (1)2xy,所以 z 在复平 面内所对应的图形为以(0,1)为圆心,2为半径的圆,其面积为2,故填2. 变式 1 已知 35 (,) 44 ,则复数(cossin)(sincos )zi在复平面上对应的 点在
10、() A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 变式 2 02,|azaiz的取值范围为() A(1,3)B(1, 5)C(1,3)D(1,5) 变式 3 已知zC,且|22 | 1zi,则|22 |zi的最小值为() A2B3 C4 D 5 例 15.6(2012 华约联盟试题)若C,且 1 1 的实部为 0,求复数 1 1 在复平面内对 应点的轨迹 . 解析令 22 1 ( ,x0) 1 xyi x yRy,则 11 1,12, xyixyi 所以 11 ()(2)221212 1 xyixyixyi xyi 其实部为0,所以 210()xyR,这就是所求轨迹的方程,它是一条平行于虚轴的直
11、线. 变式 1 设 z 是复数, 1 , 12zR z . (1)求|z及z的实部的取值范围; (2)若 1 1 z u z ,分析 u 是否为纯虚数,并说明理由; (3)求 2 u的最小值 . 最有效训练题58(限时 20 分钟) 1.复数 2 1) 2 i i ( () A1B1CiDi 2.若复数 z满足(2)117 (zii i为虚数单位),则z() A35iB35iC35iD35i 3.设 ,0a bRa“”是“ 复数abi是纯虚数 ” 的() A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4. 复数 z 满足 2 +2=0z,则 3 z() A2 2iB2 2iC2 2D2 2i 5.复数 z 满足(2) i zi,则复数z在复平面上对应的点所在的象限是() A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 6.已知复数 z 2 2 i i ,则 z 的共轭复数z() A 34 55 iB 34 55 iC 4 1 5 iD 4 1 5 i 7.设aR,且 2 ()aii为正实数,则a的值为 _. 8. 1 ( ,) 1 i abi a bR i ,则ab_. 9. 已知复数 z 2 ( 1 i i i 为虚数单位),则|z_. 10.设,| 1zCz,且zi,求 2 1 z z 对应点的轨迹方程是_.
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