2018年高考数学总复习随机变量及其分布.pdf
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1、第二节随机变量及其分布 考纲解读 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对于刻画随机现象的重 要性。 2.理解超几何分布及其推导过程,并能进行简单的应用。 3.了解条件概率和两个事件相互独立的概念,理解 n次独立重复实验的模型及二项分布,并 能解决一些简单的实际问题。 4.理解取有限个值的离散型变量均值,方差的概念,能计算简单离散型随机变量的均值、方 差,并能解决一些实际问题。 5.利用实际问题的频率分布直方图,了解正态分布密度曲线的特点及曲线所表示的意义。 命题趋势探究 1.高考命题中,该部分命题形式有选择题、填空题,但更多的是解答题。 2.主要以离散型随机变量分布列
2、为主体命题,计算离散型随机变量的期望和方差,其中二项 分布与超几何分布为重要考点,难度中等以下。 3.有关正态分布的考题多为一道小题。 知识点精讲 一、条件概率与独立事件 (1)在事件 A 发生的条件下,时间 B 发生的概率叫做A 发生时 B 发生的条件概率,记作 P B A ,条件概率公式为 =P B A P AB P A 。 (2)若 =P B AP B( ),即= ( )( )P ABP A P B,称 A与B为相互独立事件。A与B相 互独立,即 A发生与否对B的发生与否无影响,反之亦然。即 ,A B相互独立,则有公式 = ( )( )P ABP A P B 。 (3)在n次独立重复实验
3、中,事件A发生k 0kn次的概率记作 n P k,记A在其 中一次实验中发生的概率为P Ap,则1 n k kk nn PkC pp. 二、离散型随机变量分布列、期望、方差及其性质 (1)离散型随机变量的分布列(如表13-1 所示) . 表 13-1 123n P 1 p 2 p 3 p n p 1 1, i pin iN; 12 1 n ppp . (2)E表示的期望: 1122 =+ nn pppE,反应随机变量的平均水平,若随机变 量,满足=ab,则EaEb. (3)D表示的方差: 222 1122 =- nn EpEpEpD,反映随机变量 取值的波动性。D 越小表明随机变量越稳定,反之
4、越不稳定。若随机变量,满足 =ab,则 2 =Da D 。 三、几种特殊的分布列、期望、方差 (1)两点分布(又称0,1 分布) E=p,D=1pp. 件发生的概率为 p 01p,则 (2)二项分布: 若在一次实验中事 在n次独立重复实验中恰好发生k次概率=pk1 nk kk n C pp 0,1,2,kn, 称服从参数为,n p的二项分布,记作,B n p,E =np,D=1pp. (3)几何分布: 若在一次实验中事件发生的概率为01pp,则在n次独立重复实验 中,在第k次首次发生的概率为 1 1 k p kpp,1,2,k, 1 =E p 。 (4)超几何分布: 总数为N的两类物品, 其中
5、一类为 M 件,从N中取n件恰含M中的m 件,0,1,2,mk,其中k为M与n的较小者,=Pm mn m MNM n N C C C ,称服从参 数为,N M n的超几何分布,记作,HN M n,此时有公式=E nM N 。 四、正态分布 (1)若X是正态随机变量,其概率密度曲线的函数表达式为 2 2 2 1 e 2 x fx, xR(其中,是参数,且0,) 。 0 1 P 1- p p 其图像如图13-7 所示,有以下性质: 曲线在x轴上方,并且关于直线x对称; 曲线在x处处于最高点,并且此处向左右两边延伸时,逐渐降低,呈现“中间高,两 边低”的形状; 曲线的形状由确定,越大,曲线越“矮胖”
6、 ,越小,曲线越“高瘦” ; fx图像与x轴之间的面积为1. (2)E =,D= 2 ,记作 2 ,N. 当0,1时,服从标准正态分布,记作0,1N. (3) 2 ,N,则在 ,,2 ,2,3,3上 取值的概率分别为68.3%,95.4%,99.7%,这叫做正态分布的3原则。 题型归纳及思路提示 题型 178 概率的计算 思路提示 要分析题中事件是独立事件、互斥事件还是对立事件,然后考虑用相应的概率公式计算,若 A , B为 独 立 事 件 , 则 有PA BPAPB, 若A,B为 互 斥 事 件 , 则 P ABP AP B,若 A,B为对立事件,则1P AP B,如果为条件概 率,则需选用
7、条件概率公式 =P B A P AB P A 计算(其中 A,B为两个事件,P B A 表示在事件A 发生的条件下,事件B 发生的概率)。 例 13.7 甲乙两人进行一次围棋比赛,约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利,比赛结束, 假 设在一局中,甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立。已知前2 局中,甲乙各胜1 局。 (1)求再赛2 局结束这次比赛的概率; (2)求甲获得这次比赛胜利的概率。 分析:前 2 局中甲乙各胜1 局是已发生的事情,计算其后的概率不考虑已发生的情况。 解析: (1)一局中甲胜记为A,则再赛 2 局比赛结束,意味着甲或乙连胜2 局,故此事件可 表
8、 示A AA A , 由 AA与AA互 斥 , 并 考 虑 比 赛 结 果 互 斥 , 所 以 有 22 ()()()0.60.40.52.P AAAAP AAP AA (2 )甲获胜可表 示为AAAAAAAA,从而P(甲获胜) 22 =0.6 +0.40.62=0.648P AAP AAAP AAA. 评注: 只要分析清楚比赛的可能进程,将问题“大化小”,即将问题划分为若干个彼此互斥 的事件,然后利用概率的加法公式和乘法公式来求解,在运用概率的加法公式与乘法公式时, 要注意正确运用事件的互斥性、独立性等,即可按顺序完成解答。 变式 1 甲乙丙射手击中目标的概率分别为0.6,0.7,0.8,求
9、: (1)甲乙丙3 人各射击一次,恰一人击中目标的概率; (2)3 人各射击一次,至少一次击中目标的概率; (3)每人射击3 次,甲乙丙击中次数依次为1、2、3 次的概率(甲乙丙每次击中目标与否 相互独立)。 变式 2 甲乙丙三人参加一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约,甲表示只要面试合 格就签约, 乙丙则约定: 两人面试都合格就一周签约,否则两人都不签约,设每人面试合格 的概率都是 1 2 ,且面试是否合格互不影响,求: (1)至少一人面试合格的概率; (2)没人签约的概率。 例 13.8 如图 13-8 所示, EFGH是以 O 为圆心, 半径为 1 的圆的内接正方形,将一颗豆子随 机
10、地扔到该圆内,用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH内” ,B 表示事件“豆子落在扇形 OHE(阴影部分)内” 。则( 1)P A=_;( 2)P B A=_. 解析:(1)由题意可得,事件A 发生的概率为 1 4 . (2)事件AB表示“豆子落在EOH内”,则 1(AB)1 =(B| A) 2(A)4 EOH O P P ABP P S S圆 ,故。 变式 1 从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,事件A 表示“取到的两个数之和为偶数”, 事件 B 表示“取到的2 个数均为偶数” ,则 P B A=() A. 1 8 B. 1 4 C. 2 5 D. 1 2 变式 2 甲罐中有5
11、个红球、 2 个白球和3 个黑球,乙罐中有4 个红球、 3 个白球和 3 个黑 球,先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以 123 ,A AA表示由甲罐中取出的球是红球、 白球和黑球的事件,再从乙罐中随机取出一球,以B 表示从乙罐中取出的球是红球的事件, 则下列结论中正确的是_. (1) 2 5 P B; (2) 1 5 11 P B A; 2)这 6 个点中随机选取3 个点,将这 3 个点及原点O 两两相连构成一个“立体”,记该“立 体”的体积为随机变量V( 如果选取的3 个点与原点在同一个平面内,此时“立体”的体积 V=0)。 (1) 求 V=0 的概率; (2) 求 V 的分布列及数学期
12、望EV。 变式 2 某市公租房的房源位于A、B、C 三个片区。设每位申请人只申请其中一个片区 的房源,且申请其中任一个片区的房源是等可能的。求该市的任意4 位申请人中: (1) 恰有 2 人申请 A 片区房源的概率; (2) 申请的房源所在片区的个数的分布列和期望。 例 13.10(2013北京理 16) 如图 13-10 所示是某市3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100 表示空气质量优良,空气质量指数大于200 表示空气重度污染,某人随机选择3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该市,并停留2 天。 (1) 求此人到达当日空气重度污染的概率; (2)
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- 2018 年高 数学 复习 随机变量 及其 分布
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