2019中考数学题型专项研究第12讲:解直角三角形的实际应用(1).pdf
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1、2019 年中考数学题型专项研究 第 12 讲解直角三角形的实际应用 1锐角三角函数的概念的应用 2特殊三角函数值 3 解直角三角形的应用 特殊三角函数容易混淆;不会构造直角三角形 准确理解与掌握三角函数的定义,熟记特殊三角函数值,会构造直角三角形并应用直 角三角形和三角函数来解题 熟记几个特殊的三角函数值 三角函数 角 sin costan 30 1 2 3 2 3 3 45 2 2 2 2 1 60 3 2 1 2 3 从表中不难得出: sin 230cos2301, sin30 cos30tan30 sin 245cos2451, sin45 cos45tan45 sin 260cos2
2、601, sin60 cos60tan60 那么,对于任意锐角 A,是否存在 sin2Acos 2B1, sinA cosAtanA 呢? 事实上,同角的三角函数之间 ,具有三个基本关系: 如图,在 RtABC,C90,A,B,C 所对的边依次为a,b,c 则sin2Acos 2A1(平方关系 ) tanA sinA cosA,cotA cosA sinA(商的关系 ) tanAcotA1(倒数关系 ) 【典例解析】 【例题 1】 (2017日照)在 RtABC中,C=90 ,AB=13,AC=5 ,则 sinA的值为() A B C D 【考点】 T1:锐角三角函数的定义 【分析】根据勾股定
3、理求出BC,根据正弦的概念计算即可 【解答】解:在 RtABC中,由勾股定理得, BC=12, sinA=, 故选: B 【例题 2】(2017 重庆 B)如图,已知点 C与某建筑物底端B相距 306 米(点 C与点 B 在同一水平面上),某同学从点 C出发,沿同一剖面的斜坡CD行走 195 米至坡顶 D 处, 斜坡 CD的坡度(或坡比) i=1:2.4,在 D 处测得该建筑物顶端A 的俯视角为 20 ,则建 筑物 AB的高度约为(精确到0.1 米,参考数据: sin20 0.342,cos20 0.940,tan20 0.364) () A29.1 米 B31.9 米C45.9 米 D95.
4、9 米 【分析】根据坡度,勾股定理,可得DE的长,再根据平行线的性质,可得1,根据同 角三角函数关系,可得1 的坡度,根据坡度,可得DF 的长,根据线段的和差,可得 答案 【解答】解: 作 DE AB于 E点, 作 AFDE于 F点, 如图, 设 DE=xm ,CE=2.4xm ,由勾股定理,得 x2+(2.4x) 2=1952, 解得 x75m, DE=75m ,CE=2.4x=180m , EB=BC CE=306 180=126m AF DG, 1=ADG=20 , tan1=tanADG=0.364 AF=EB=126m , tan1=0.364, DF=0.364AF=0.364 1
5、26=45.9, AB=FE=DE DF=75 45.929.1m, 故选: A 【点评】本题考查了解直角三角形,利用坡度及勾股定理得出DE ,CE的长是解题关键 【例题 3】(2017 湖北荆州)如图,某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度,沿旗 杆正前方 2米处的点 C出发,沿斜面坡度 i=1:的斜坡 CD前进 4 米到达点 D,在点 D处安置测角仪, 测得旗杆顶部 A 的仰角为 37 , 量得仪器的高 DE为 1.5 米已知 A、B、 C、D、E在同一平面内, ABBC ,ABDE求旗杆 AB的高度 (参考数据: sin37 , cos37,tan37 计算结果保留根号) 【考点】 TA
6、:解直角三角形的应用仰角俯角问题;T9:解直角三角形的应用坡度坡 角问题 【分析】 延长 ED交 BC延长线于点 F, 则CFD=90 , RtCDF中求得 CF=CDcos DCF=2、 DF= CD=2 , 作 EG AB, 可得 GE=BF=4 、 GB=EF=3.5 , 再求出 AG=GEtan AEG=4?tan37 可得答案 【解答】解:如图,延长ED交 BC延长线于点 F,则 CFD=90 , tanDCF=i= = , DCF=30 , CD=4 , DF= CD=2 ,CF=CDcos DCF=4 =2, BF=BC +CF=2+2=4, 过点 E作 EG AB于点 G, 则
7、 GE=BF=4 ,GB=EF=ED +DF=1.5 +2=3.5, 又 AED=37 , AG=GEtan AEG=4?tan37 , 则 AB=AG +BG=4?tan37+3.5=3+3.5, 故旗杆 AB的高度为( 3+3.5)米 【例题 4】(2017 山东聊城)耸立在临清市城北大运河东岸的舍利宝塔,是“ 运河四大 名塔”之一(如图 1) 数学兴趣小组的小亮同学在塔上观景点P处,利用测角仪测得运 河两岸上的 A,B 两点的俯角分别为17.9,22 ,并测得塔底点C到点 B 的距离为 142 米(A、B、C在同一直线上, 如图 2) ,求运河两岸上的 A、B 两点的距离 (精确到 1
8、米) (参考数据: sin22 0.37,cos220.93,tan22 0.40,sin17.9 0.31,cos17.9 0.95, tan17.9 0.32) 【考点】 TA:解直角三角形的应用仰角俯角问题 【分析】在 RtPBC中,求出 BC ,在 RtPAC中,求出 AC ,根据 AB=AC BC计算即可 【解答】解:根据题意,BC=142米, PBC=22 ,PAC=17.9 , 在 RtPBC中,tanPBC=, PC=BCtan PBC=142? tan22 , 在 RtPAC中,tanPAC=, AC=177.5, AB=AC BC=177.5 14236 米 答:运河两岸上
9、的A、B两点的距离为 36 米 【专项训练】 一、选择题: 1. (2017?温州)如图,一辆小车沿倾斜角为的斜坡向上行驶 13 米,已知 cos= 错误! 未找到引用源。,则小车上升的高度是() A5 米 B 6 米 C 6.5 米D12 米 【考点】 T9:解直角三角形的应用坡度坡角问题 【分析】在 RtABC中,先求出 AB,再利用勾股定理求出BC即可 【解答】解:如图AC=13 ,作 CB AB, cos= 错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。 , AB=12 , BC= 错误!未找到引用源。 =13 2122=5, 小车上升的高度是5m 故选 A 【点评】此题主要考查解直角三
10、角形,锐角三角函数,勾股定理等知识,解题的关键是 学会构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型 2. (2017 绥化) 某楼梯的侧面如图所示,已测得BC的长约为 3.5 米, BCA约为 29 , 则该楼梯的高度 AB可表示为() A3.5sin29 米 B3.5cos29 米 C 3.5tan29 米 D米 【考点】 T9:解直角三角形的应用坡度坡角问题 【分析】由 sinACB=得 AB=BCsin ACB=3.5sin29 【解答】解:在 RtABC中, sinACB=, AB=BCsin ACB=3.5sin29, 故选: A 3. (2017 湖北宜昌 )ABC在网格中的位置如图所
11、示(每个小正方形边长为1) ,ADBC 于 D,下列选项中,错误的是() Asin =cosBtanC=2 Csin =cosDtan =1 【考点】 T1:锐角三角函数的定义 【分析】观察图象可知, ADB是等腰直角三角形, BD=AD=2 ,AB=2,AD=2,CD=1 , AC=,利用锐角三角函数一一计算即可判断 【解答】解:观察图象可知,ADB 是等腰直角三角形, BD=AD=2 ,AB=2,AD=2, CD=1,AC= , sin =cos=,故正确, tanC=2,故正确, tan =1,故 D正确, sin =,cos=, sin cos ,故 C错误 故选 C 4. (2017
12、 深圳)如图,学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树 AB的高度,他们先在 点 C处测得树顶 B的仰角为 60 ,然后在坡顶 D 测得树顶 B 的仰角为 30 ,已知斜坡 CD 的长度为 20m,DE的长为 10cm,则树 AB的高度是()m A20B30 C30D40 【考点】 TA:解直角三角形的应用仰角俯角问题 【分析】先根据 CD=20米, DE=10m得出 DCE=30 , 故可得出 DCB=90 , 再由 BDF=30 可知 DBE=60 ,由 DF AE可得出 BGF= BCA=60 ,故 GBF=30 ,所以 DBC=30 , 再由锐角三角函数的定义即可得出结论 【解答】解:在
13、RtCDE中, CD=20m ,DE=10m, sinDCE=, DCE=30 ACB=60 ,DF AE, BGF=60 ABC=30 ,DCB=90 BDF=30 , DBF=60 , DBC=30 , BC=20m, AB=BC?sin60 =20 =30m 故选 B 5. (2017?益阳)如图,电线杆 CD的高度为 h,两根拉线 AC与 BC相互垂直,CAB= , 则拉线 BC的长度为( A、D、B在同一条直线上)() A错误!未找到引用源。B错误!未找到引用源。C 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 Dh?cos 【考点】 T8:解直角三角形的应用 【分析】根据同角的余角相等得
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