2019中考数学题型专项研究第10讲:圆的综合应用.pdf
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1、2019 年中考数学题型专项研究 第 10 讲圆的综合应用 1圆的基本性质的研究 2切线性质及其判定的运用研究 3 圆与正多边形的关系研究 4与圆相关的计算研究 学生在解决圆知识问题时往往忽视圆中角边关系等隐藏的条件,及其对辅助线的处理 往往考虑不到位,致使问题缺少条件,对计算问题公式不能熟悉 对圆知识重点在于四个方面的处理,垂径定理、圆周角圆心角关系、切线性质与判定 及其弧线长、扇形面积计算公式的灵活应用 1.垂径定理及其逆定理:根据垂径定理及推论可得出线段相等、角相等、弧相等、三角 形全等等结论;同时利用构造勾股定理列出方程求出圆环的面积; 2. 圆心角与圆周角:当图形中含有直径时,构造直
2、径所对的圆周角是解决问题的重要 思路在证明有关问题中注意90 的圆周角的构造同时注意同弧所对圆周角是圆心角 的一半的关系; 3. 点与圆、直线与圆的位置关系:圆的切线的判定常见方法有两种类型:(1)当已知条 件中已明确给出直线与圆的公共点时,常采用连接这点和圆心这条辅助线,去证明这 个半径垂直于已知直线这种方法简称“ 连半径,证垂直 ” (2)当已知条件中没有明确 给出直线与圆的公共点时,常采用过圆心作直线的垂线段这条辅助线,去证明垂线段 的长度等于圆的半径长这种方法简称“ 作垂直,证半径 ” ; 4、圆的相关计算: (1)扇形的周长等于弧长与经过弧的两个端点的半径的和,千万不要 错误地认为扇
3、形的周长等于扇形的弧长(2)计算圆锥的侧面积时,要注意各量之间的 关系,不要把圆锥底面圆的半径当成扇形的半径,也不要把圆锥的母线长当成扇形的 弧长 5. 与圆有关的综合运用问题:解决动态问题的关键是善于抓住运动变化中暂时静止的 一瞬间,进行观察、猜想,分析 “ 主动”与“被动”,并探索“变”中的“不变”寻找等量关 系式,达到解题的目的; 【典例解析】 【例题 1】(2017 山东临沂) 如图, BAC的平分线交 ABC的外接圆于点 D,ABC 的平分线交 AD于点 E, (1)求证: DE=DB ; (2)若 BAC=90 ,BD=4,求 ABC外接圆的半径 【分析】 (1)由角平分线得出 A
4、BE= CBE , BAE= CAD ,得出,由圆周角定 理得出 DBC= CAD ,证出 DBC= BAE ,再由三角形的外角性质得出DBE= DEB , 即可得出 DE=DB ; (2)由( 1)得:,得出 CD=BD=4 ,由圆周角定理得出BC是直径, BDC=90 , 由勾股定理求出 BC=4,即可得出 ABC外接圆的半径 【解答】 (1)证明: BE平分 BAC ,AD平分 ABC , ABE= CBE ,BAE= CAD , , DBC= CAD , DBC= BAE , DBE= CBE +DBC ,DEB= ABE +BAE , DBE= DEB , DE=DB ; (2)解:
5、连接 CD,如图所示: 由(1)得:, CD=BD=4 , BAC=90 , BC是直径, BDC=90 , BC=4, ABC外接圆的半径 =4=2 【点评】本题考查了三角形的外接圆的性质、圆周角定理、三角形的外角性质、勾股定 理等知识;熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键 【例题 2】如图,在 ABC中,AB=AC ,以 AB为直径的 O 交 BC于点 D,过点 D 作O 的切线 DE,交 AC于点 E ,AC的反向延长线交 O于点 F (1)求证: DEAC; (2)若 DE+EA=8 ,O 的半径为 10,求 AF的长度 【分析】 (1)欲证明 DEAC,只需推知 ODAC即可; (2)
6、如图,过点 O 作 OHAF于点 H,构建矩形 ODEH ,设 AH=x则由矩形的性质推 知:AE=10 x,OH=DE=8 (10x)=x2在 RtAOH中,由勾股定理知: x2+(x2) 2=102,通过解方程得到 AH的长度,结合 OHAF,得到 AF=2AH=2 8=16 【解答】 (1)证明: OB=OD , ABC= ODB , AB=AC , ABC= ACB , ODB= ACB , ODAC DE是O 的切线, OD是半径, DE OD, DE AC; (2)如图,过点 O 作 OHAF于点 H,则 ODE= DEH= OHE=90 , 四边形 ODEH是矩形, OD=EH
7、,OH=DE 设 AH=x DE +AE=8 ,OD=10 , AE=10 x,OH=DE=8 (10x)=x2 在 RtAOH中,由勾股定理知: AH 2+OH2=OA2,即 x2+(x2)2=102, 解得 x1=8,x2=6(不合题意,舍去) AH=8 OHAF , AH=FH= AF, AF=2AH=2 8=16 【点评】本题考查了切线的性质,勾股定理,矩形的判定与性质解题时,利用了方程 思想,属于中档题 【例题 3】(2017?新疆)如图, AC为O 的直径, B 为O 上一点, ACB=30 ,延长 CB至点 D,使得 CB=BD ,过点 D作 DE AC ,垂足 E在 CA的延长
8、线上,连接BE (1)求证: BE是O的切线; (2)当 BE=3时,求图中阴影部分的面积 【考点】 ME:切线的判定与性质; MO:扇形面积的计算 【分析】 (1)连接 BO,根据 OBC和BCE都是等腰三角形,即可得到BEC= OBC= OCB=30 ,再根据三角形内角和即可得到EBO=90 ,进而得出 BE是O的切线; (2)在 RtABC中,根据 ACB=30 ,BC=3 ,即可得到半圆的面积以及RtABC的面积, 进而得到阴影部分的面积 【解答】解:(1)如图所示,连接BO, ACB=30 , OBC= OCB=30 , DE AC,CB=BD , RtDCE中,BE= CD=BC
9、, BEC= BCE=30 , BCE中, EBC=180 BEC BCE=120 , EBO= EBC OBC=120 30 =90 , BE是O的切线; (2)当 BE=3时,BC=3 , AC为O的直径, ABC=90 , 又 ACB=30 , AB=tan30 BC=, AC=2AB=2,AO= , 阴影部分的面积 =半圆的面积 RtABC的面积 = AO 2 ABBC= 3 3= 【点评】本题主要考查了切线的判定以及扇形面积的计算,解题时注意:经过半径的外 端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【例题 4】 (2017 山东烟台)如图,菱形 ABCD中, 对角线 AC, BD相交于点
10、O, AC=12cm , BD=16cm ,动点 N 从点 D出发,沿线段 DB以 2cm/s 的速度向点 B运动,同时动点 M 从 点 B 出发,沿线段 BA以 1cm/s 的速度向点 A 运动,当其中一个动点停止运动时另一个 动点也随之停止,设运动时间为t(s) (t0) ,以点 M 为圆心, MB 长为半径的 M 与 射线 BA,线段 BD分别交于点 E ,F,连接 EN (1)求 BF的长(用含有 t 的代数式表示),并求出 t 的取值范围; (2)当 t 为何值时,线段 EN与M 相切? (3)若 M 与线段 EN只有一个公共点,求t 的取值范围 【考点】 MR:圆的综合题 【分析】
11、 (1)连接 MF只要证明 MFAD,可得=,即=,解方程即可; (2)当线段 EN 与M 相切时,易知 BEN BOA ,可得=,即=,解 方程即可; (3)由题意可知:当0t时, M 与线段 EN只有一个公共点当F与 N 重 合时,则有t+2t=16,解得 t=,观察图象即可解决问题; 【解答】解:(1)连接 MF 四边形 ABCD是菱形, AB=AD ,ACBD,OA=OC=6 ,OB=OD=8 , 在 RtAOB中,AB=10, MB=MF,AB=AD , ABD= ADB= MFB, MFAD, =, =, BF= t(0t8) (2)当线段 EN与M 相切时,易知 BEN BOA
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