2019中考数学题型专项研究第8讲:平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定与性质.pdf
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1、2019 年中考数学题型专项研究 第 8 讲:平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定与性质 1简单的应用平行四边形、 矩形、菱形、正方形的性质或判定解答证明题 2 四边形动态问题 旋转变换类、平移变换类、折叠变换类 ,运动问题 类,利用折叠 (翻折)、轴对称解答最值问题 3平行四边形的存在性问题 4四边形与二次函数的综合题 1折叠、轴对称及特殊平行四边形的性质应用出错 2平行四边形的存在性问题中解有遗漏 3很难解答四边形与二次函数的综合题,无从下手 1四边形是几何知识中非常重要的一块内容,因其“变化多端”更是成为 中考数学考试的一个热门考点 近几年随着新课改的不断深入,中考题更加考查 学生思维能
2、力 ,如出现一些图形折叠、翻转等问题这类问题的实践性强,要利 用图形变化前后线段、角的对应相等关系,构造一些特殊三角形等知识来求解 2中考还常把四边形与平面直角坐标系结合起来考查,这类题目不仅仅把 “数”与“形”联系起来思考,更提高同学们综合运用知识的能力数形结合题 目可以考查学生对“新事物”“新知识”的接受和理解能力 ,也考查学生运用所 学知识来解决“新事物”“新知识”的能力 3四边形作为特殊的四边形 ,一直是中考试题中的主角尤其是在综合了 函数知识后动态研究它的存在性问题,对学生分析问题和解决问题的要求较 高此类题目主要考查平行四边形的判定与性质、函数解析式的确定与性质 ,考 查识图作图、
3、运算求解、数学表达等能力 ,数形结合、分类讨论、函数与方程等 数学思想 1简单的应用平行四边形、 矩形、菱形、正方形的性质或判定解答证明题: 平行四边形具有对边平行且相等、对角相等、 对角线互相平分等性质 ,它们在计 算、证明中都有广泛的应用:(1)求角的度数; (2)求线段的长; (3)求周长; (4)求 第三边的取值范围 2四边形动态问题 旋转变换类、平移变换类、折叠变换类,运动问题 类,利用折叠 (翻折)、轴对称解答最值问题:有关矩形纸片折叠的问题,通过动 手操作去发现解决问题的方法 其规律为利用折叠前后线段、 角的对应相等关系 , 构造直角三角形 ,利用勾股定理来求解折叠问题数学思想:
4、(1)思考问题的逆 向(反方向 ),(2)转化与化归思想; (3)归纳与分类的思想; (4)从变寻不变性的思 想 3综合了函数知识后动态研究平行四边形的存在性问题:此类题目主要考 查平行四边形的判定与性质、 函数解析式的确定与性质,考查识图作图、 运算求 解、数学表达等能力 ,数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想学生在处 理问题的时候 ,往往不能正确分类 ,导致漏解此外 ,在解题时一般需要添设辅 助线,利用平行四边形的性质 ,转化为全等进行计算 ,学生顺利完成的难度就更 大如何才能让他们有目的的进行分类、简单明了的给出解答 ,从而减轻学习负 担呢?借助平行四边形的对角线性质 ,来探究平行四
5、边形的存在性问题就是一个 很好的途径 4四边形与二次函数的综合题是压轴题:综合考查了二次函数,一次函数 ,尺 规作图 ,勾股定理 ,平面直角坐标系 ,一元二次方程 ,轴对称 翻折,最值问 题读懂题目、准确作图、熟悉二次函数及其图象是解题的关键解决压轴题关 键是找准切入点 ,如添辅助线 ,构造定理所需的图形或基本图形;紧扣不变量, 并善于使用前题所采用的方法或结论;深度挖掘题干 ,反复认真的审题 ,在题目 中寻找多解的信息 ,等等压轴题牵涉到的知识点较多,知识转化的难度较高 , 除了要熟知各类知识外 ,平时要多练 ,提高知识运用和转化的能力 【典例解析】 【例题 1】(2017 广西河池)如图,
6、在 ?ABCD中,用直尺和圆规作 BAD的平分 线 AG,若 AD=5,DE=6 ,则 AG的长是() A6 B8 C 10 D12 【考点】 N2:作图 基本作图; L5:平行四边形的性质 【分析】连接 EG ,由作图可知 AD=AE ,根据等腰三角形的性质可知AG是 DE的 垂直平分线, 由平行四边形的性质可得出CD AB,故可得出 2=3,据此可知 AD=DG ,由等腰三角形的性质可知OA=AG,利用勾股定理求出 OA的长即可 【解答】解:连接EG , 由作图可知 AD=AE ,AG是BAD的平分线, 1=2, AG DE,OD=DE=3 四边形 ABCD是平行四边形, CD AB, 2
7、=3, 1=3, AD=DG AG DE, OA=AG 在 RtAOD中,OA=4, AG=2AO=8 故选 B 【例题 2】( 2017 江苏徐州) 如图,在 ?ABCD中,点 O 是边 BC的中点,连接 DO并延长,交 AB延长线于点 E,连接 BD,EC (1)求证:四边形 BECD是平行四边形; (2)若 A=50 ,则当 BOD=100 时,四边形 BECD是矩形 【考点】 LC :矩形的判定; L7:平行四边形的判定与性质 【分析】 (1)由 AAS证明 BOE COD ,得出 OE=OD ,即可得出结论; (2) 由平行四边形的性质得出BCD= A=50 , 由三角形的外角性质求
8、出ODC= BCD ,得出 OC=OD ,证出 DE=BC ,即可得出结论 【解答】 (1)证明:四边形ABCD为平行四边形, ABDC ,AB=CD , OEB= ODC , 又O为 BC的中点, BO=CO , 在BOE和COD中, BOE COD (AAS) ; OE=OD , 四边形 BECD是平行四边形; (2)解:若 A=50 ,则当 BOD=100 时,四边形 BECD是矩形理由如下: 四边形 ABCD是平行四边形, BCD= A=50 , BOD= BCD +ODC , ODC=100 50 =50 =BCD , OC=OD , BO=CO ,OD=OE , DE=BC , 四
9、边形 BECD是平行四边形, 四边形 BECD是矩形; 故答案为: 100 【例题 3】定义:有一组邻边相等,并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰 直角四边形 (1)如图 1,等腰直角四边形ABCD ,AB=BC ,ABC=90 , 若 AB=CD=1 ,ABCD,求对角线 BD的长 若 ACBD,求证: AD=CD , (2) 如图 2, 在矩形 ABCD中, AB=5, BC=9 , 点 P是对角线 BD上一点,且 BP=2PD , 过点 P作直线分别交边AD,BC于点 E,F,使四边形 ABFE是等腰直角四边形, 求 AE的长 【考点】 LO :四边形综合题 【分析】 (1)只要证明四
10、边形ABCD是正方形即可解决问题; 只要证明 ABD CBD ,即可解决问题; (2)若 EF BC ,则 AEEF ,BFEF ,推出四边形 ABFE表示等腰直角四边形, 不符合条件若 EF与 BC不垂直,当 AE=AB时,如图 2 中,此时四边形 ABFE 是等腰直角四边形,当BF=AB时,如图 3 中,此时四边形 ABFE是等腰直角四 边形,分别求解即可; 【解答】 解: (1)AB=AC=1 ,ABCD, S四边形 ABCD是平行四边形, AB=BC , 四边形 ABCD是菱形, ABC=90 , 四边形 ABCD是正方形, BD=AC= (2)如图 1 中,连接 AC、BD AB=B
11、C ,ACBD, ABD= CBD , BD=BD , ABD CBD , AD=CD (2)若 EF BC ,则 AEEF ,BFEF , 四边形 ABFE表示等腰直角四边形,不符合条件 若 EF与 BC不垂直, 当 AE=AB时,如图 2 中,此时四边形 ABFE是等腰直角四边形, AE=AB=5 当 BF=AB时,如图 3 中,此时四边形 ABFE是等腰直角四边形, BF=AB=5 , DE BF, DE :BF=PD :PB=1 :2, DE=2.5 , AE=9 2.5=6.5, 综上所述,满足条件的AE的长为 5 或 6.5 【例题 4】(2017 浙江衢州) 在直角坐标系中, 过
12、原点 O 及点 A(8,0) ,C (0, 6)作矩形 OABC 、连结 OB ,点 D为 OB的中点,点 E是线段 AB上的动点,连结 DE,作 DF DE,交 OA于点 F,连结 EF 已知点 E从 A 点出发,以每秒1 个单 位长度的速度在线段AB上移动,设移动时间为t 秒 (1)如图 1,当 t=3 时,求 DF的长 (2)如图 2,当点 E在线段 AB上移动的过程中, DEF的大小是否发生变化? 如果变化,请说明理由;如果不变,请求出tanDEF的值 (3)连结 AD,当 AD 将DEF分成的两部分的面积之比为1:2 时,求相应的 t 的值 【考点】 LO :四边形综合题 【分析】
13、(1)当 t=3 时,点 E为 AB的中点,由三角形中位线定理得出DE OA, DE=OA=4,再由矩形的性质证出DE AB,得出 OAB= DEA=90 ,证出四边形 DFAE是矩形,得出 DF=AE=3 即可; (2) 作 DMOA于 M, DNAB于 N, 证明四边形 DMAN是矩形, 得出 MDN=90, DMAB,DNOA,由平行线得出比例式,=,由三角形中位线 定理得出 DM=AB=3,DN=OA=4,证明 DMFDNE ,得出=,再 由三角函数定义即可得出答案; (3)作作 DMOA于 M,DNAB于 N,若 AD将DEF的面积分成 1:2 的两 部分,设 AD交 EF于点 G,
14、则点 G为 EF的三等分点; 当点 E到达中点之前时, NE=3t,由 DMFDNE得:MF=(3t) ,求 出 AF=4+MF=t+,得出 G(,t) ,求出直线 AD 的解析式为 y= x+6,把 G(,t)代入即可求出 t 的值; 当点 E越过中点之后, NE=t3,由 DMFDNE得:MF=(t3) ,求出 AF=4 MF= t+ , 得出 G (,t) , 代入直线 AD的解析式 y=x+6 求出 t 的值即可 【解答】 解: (1)当 t=3 时,点 E为 AB的中点, A(8,0) ,C(0,6) , OA=8,OC=6 , 点 D 为 OB的中点, DE OA,DE=OA=4,
15、 四边形 OABC是矩形, OAAB, DE AB, OAB= DEA=90 , 又DF DE , EDF=90 , 四边形 DFAE是矩形, DF=AE=3 ; (2)DEF的大小不变;理由如下: 作 DMOA于 M,DNAB于 N,如图 2 所示: 四边形 OABC是矩形, OAAB, 四边形 DMAN 是矩形, MDN=90,DMAB,DNOA, ,=, 点 D 为 OB的中点, M、N 分别是 OA、AB的中点, DM=AB=3,DN=OA=4, EDF=90 , FDM=EDN, 又 DMF=DNE=90 , DMFDNE , =, EDF=90 , tanDEF=; (3)作 DM
16、OA于 M,DNAB于 N, 若 AD将DEF的面积分成 1:2 的两部分, 设 AD交 EF于点 G,则点 G为 EF的三等分点; 当点 E到达中点之前时,如图3 所示, NE=3 t, 由DMFDNE得:MF=(3t) , AF=4 +MF=t+, 点 G为 EF的三等分点, G(,t) , 设直线 AD的解析式为 y=kx+b, 把 A(8,0) ,D(4,3)代入得:, 解得:, 直线 AD的解析式为 y=x+6, 把 G(,t)代入得: t=; 当点 E越过中点之后,如图4 所示, NE=t3, 由DMFDNE得:MF=(t3) , AF=4 MF=t+, 点 G为 EF的三等分点,
17、 G(,t) , 代入直线 AD的解析式 y=x+6 得:t=; 综上所述,当 AD将DEF分成的两部分的面积之比为1: 2 时, t 的值为或 【专项训练】 一、选择题: 1. (2017? 黑龙江)在平行四边形ABCD 中, A 的平分线把 BC 边分成长度是 3 和 4 的两部分,则平行四边形ABCD 周长是() A22 B20 C22或 20 D18 【考点】 L5:平行四边形的性质 【分析】根据 AE 平分 BAD 及 ADBC 可得出 AB=BE,BC=BE+EC,从而根 据 AB、AD 的长可求出平行四边形的周长 【解答】解:在平行四边形ABCD 中,ADBC,则 DAE=AEB
18、 AE 平分 BAD, BAE=DAE, BAE=BEA, AB=BE,BC=BE+EC, 当 BE=3,EC=4 时, 平行四边形 ABCD 的周长为: 2(AB+AD )=2(3+3+4)=20 当 BE=4,EC=3 时, 平行四边形 ABCD 的周长为: 2(AB+AD )=2(4+4+3)=22 故选: C 【点评】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定;根据题意判断出 AB=BE 是解答本题的关键 2. (2017 贵州安顺) 如图,矩形纸片 ABCD中,AD=4cm,把纸片沿直线 AC折 叠,点 B落在 E处,AE交 DC于点 O,若 AO=5cm,则 AB的长为() A6c
19、m B7cm C 8cm D9cm 【考点】 PB :翻折变换(折叠问题) ;LB :矩形的性质 【分析】根据折叠前后角相等可证AO=CO ,在直角三角形ADO中,运用勾股定 理求得 DO,再根据线段的和差关系求解即可 【解答】解:根据折叠前后角相等可知BAC= EAC , 四边形 ABCD是矩形, ABCD , BAC= ACD , EAC= EAC , AO=CO=5cm , 在直角三角形 ADO中,DO=3cm, AB=CD=DO +CO=3 +5=8cm 故选: C 3. 如图,在正方形 ABCD中,BPC是等边三角形, BP、CP的延长线分别交 AD 于点 E、F,连接 BD、DP
20、,BD与 CF相交于点 H,给出下列结论: BE=2AE ; DFP BPH ; PFD PDB ;DP 2=PHPC 其中正确的是() AB CD 【分析】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质,即可得出结论 【解答】解: BPC是等边三角形, BP=PC=BC,PBC= PCB= BPC=60 , 在正方形 ABCD中, AB=BC=CD ,A=ADC= BCD=90 ABE= DCF=30 , BE=2AE ;故正确; PC=CD ,PCD=30 , PDC=75 , FDP=15 , DBA=45 , PBD=15 , FDP= PBD , DFP= BPC=60 , DFP BPH
21、;故正确; FDP= PBD=15 ,ADB=45 , PDB=30 ,而DFP=60 , PFD PDB , PFD与PDB不会相似;故错误; PDH= PCD=30 ,DPH= DPC , DPH CPD , , DP 2=PHPC ,故正确; 故选 C 【点评】本题考查的正方形的性质, 等边三角形的性质以及相似三角形的判定和 性质,解答此题的关键是熟练掌握性质和定理 4. (2017 呼和浩特)如图,四边形ABCD是边长为 1 的正方形, E,F 为 BD 所 在直线上的两点,若AE=,EAF=135 ,则下列结论正确的是() ADE=1 BtanAFO= CAF= D 四边形 AFCE
22、 的面积为 【考点】 LE :正方形的性质; T7:解直角三角形 【分析】根据正方形的性质求出AO 的长,用勾股定理求出EO的长,然后由 MAN=135 及BAD=90 可以得到相似三角形,根据相似三角形的性质求出BF的 长,再一一计算即可判断 【解答】解:四边形ABCD是正方形, AB=CB=CD=AD=1,ACBD,ADO=ABO=45 , OD=OB=OA=,ABF= ADE=135 , 在 RtAEO中,EO=, DE=,故 A 错误 EAF=135 ,BAD=90 , BAF +DAE=45 , ADO= DAE +AED=45 , BAF= AED , ABF EDA , =, =
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