2019年高考数学一轮复习:函数的奇偶性与周期性.pdf
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1、2019 年高考数学一轮复习:函数的奇偶性与周期性 函数的奇偶性与周期性 1奇、偶函数的概念 (1)偶函数 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个 x, 都有,那么函数 f(x)就叫做偶函数 (2)奇函数 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个 x, 都有,那么函数 f(x)就叫做奇函数 2奇、偶函数的图象特征 偶函数的图象关于对称;奇函数 的图象关于对称 3具有奇偶性函数的定义域的特点 具有奇偶性函数的定义域关于, 即 “定义域关于”是“一个函数具有奇 偶性”的条件 4周期函数的概念 (1)周期、周期函数 对于函数f(x),如果存在一个T, 使得当x 取定义域内的值时,都 有
2、,那么函数f(x)就叫做周期函数T 叫做这个函数的周期 (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_ 的正数, 那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期 5函数奇偶性与单调性之间的关系 (1)若函数 f(x)为奇函数,且在a,b上为增 (减)函 数,则 f(x)在b, a上为; (2)若函数 f(x)为偶函数,且在a,b上为增 (减)函 数,则 f(x)在b, a上为 6奇、偶函数的 “运算 ”(共同定义域上 ) 奇 奇 , 偶 偶 ,奇奇,偶偶 ,奇偶. 7函数的对称性 如果函数f(x),x D,满足 ? xD,恒有 f(a x) f(bx),那么函数的图象有对称轴x a
3、b 2 ;如果 函数 f(x),xD,满足 ? xD,恒有 f(ax) f(b x),那么函数的图象有对称中心 ab 2 , 0 . 8函数的对称性与周期性的关系 (1)如果函数f(x)(xD)在定义域内有两条对称轴 x a,xb(alog24.122 0.8 , 结 合 函 数 的 单 调 性 有 : f(log25)f(log24.1)f(2 0.8),即 c0 且 a1) 解: (1)定义域要求 1x 1x0,所以 1x1, 所以 f(x)的定义域不关于原点对称, 所以 f(x)不具有奇偶性 (2)解法一 (定义法 ):当x0 时, f(x) x 22x 1, x0,f(x)(x) 22
4、( x) 1x22x1 f(x); 当 x0 时, f(x)x 22x1, x0, f(x)(x) 22(x)1x2 2x1f(x) 所以 f(x)为奇函数 解法二 (图象法 ):作出函数f(x)的图象, 由图象关 于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数 (3)由 4x 20 , |x3|30 得 2 x2 且 x 0. 所以 f(x)的定义域为 2,0) (0, 2,关于原点 对称 所以 f(x) 4x 2 ( x3) 3 4 x 2 x . 所以 f(x) f( x),所以 f(x)是奇函数 (4)由 9x 20 , x 290 得 x 3. 所以 f(x)的定义域为 3,3 ,关于原点对
5、称 又 f(3)f(3)0,f(3)f(3)0. 所以 f(x) f(x) 所以 f(x)既是奇函数,又是偶函数 (5)因为函数的定义域为R, 又因为 f(x)f(x) logax ( x) 21log a(xx 21) loga( x 21x)log a(x 21x) loga( x 21 x)( x21 x) loga(x2 1x2)loga10. 即 f(x) f(x),所以 f(x)为奇函数 【点拨】 (1)判断函数奇偶性的步骤是:求函数 定义域,看定义域是否关于原点对称,若不对称,则 既不是奇函数,也不是偶函数;验证f(x)是否等 于 f(x), 或验证其等价形式f(x)f(x)0
6、或f( x) f(x) 1(f(x)0)是否成立 (2)对于分段函数的奇偶性应 分段验证,但比较繁琐,且容易判断错误,通常是用 图象法来判断(3)对于含有x 的对数式或指数式的函 数常用 “ f(x)f(x)0”来判断 (1)(2015 安徽模拟 )若函数 f(x) k2 x 1k 2 x 在定义域上为奇函数,则实数k_. 解: 因为 f(x) k2 x 1k 2 x k2 x1 2 xk ,所以 f(x)f(x) (k2x)( 2x k)( k 2x 1)( 1k 2x) ( 1k 2x)( 2x k) (k21)( 22x1) (1k 2x)( 2 x k). 由 f(x)f(x) 0 对
7、定义域中的x 均成立可得k2 1,所以 k 1.故填 1. (2)已知函数f(x)ln 1x 1x.判断函数的奇偶性 解: 由 1 x 1 x 0,得 1x1,即 f(x)ln 1x 1x的 定义域为 (1,1)又f(x)ln 1x 1xln 1x 1x 1 ln1x 1x f(x),故 f(x)为奇函数 (3)已知函数f(x)ln(19x 23x)1.判断函数 的奇偶性 解: 令19x23x0,得 xR,故函数 f(x)的 定义域为R. f(x)f(x)ln(19x 2 3x)1ln( 19x2 3x)12,故 f(x)不是奇函数; f(x)f(x)ln(19x 2 3x)1ln( 19x2
8、 3x)1ln(19x 23x)2,不恒为 0,故 f(x)不是偶函 数 综上得 f(x)不具有奇偶性 (4)已知函数f(x) lg(4x 2) |x 2| |x4|.判断函数的奇偶 性 解: 由 4x 20, |x2|x4|0, 得 2 x2,即函 数 f(x)的定义域是 x|2x2 又 f(x) lg(4x 2) |x2|x4| lg(4x 2) 2x x4 1 6lg(4x 2), 所以 f(x) 1 6lg4(x) 21 6lg(4x 2)f(x),故 函数 f(x)是偶函数 (5)已知函数f(x) x 2 x,x0, x 2x,x0. 判断函数的 奇偶性 解: 当 x0 时, f(x
9、)x 2x, x0, f(x) (x) 2x x2x f(x); 当 x0 时, f(x) x 2x, x0, f(x)(x) 2xx2x f(x)所以 f(x)是奇 函数 另解 :作图 类型二利用函数性质求解析式 已知函数f(x)满足 f(x) f(x2)13. (1)求证: f(x)是周期函数; (2)若 f(1)2,求 f(99)的值; (3)若当 x0,2时, f(x)x,试求x4,8时 函数 f(x)的解析式 解: (1)证明:由题意知f(x)0, 则 f(x2) 13 f(x) . 用 x2 代替 x 得 f(x4) 13 f(x2) f(x),故 f(x)为 周期函数,且4 为
10、f(x)的周期 (2)若 f(1) 2, 则 f(99)f(24 43)f(3) 13 f(1) 13 2 . (3)当 x4,6时, x40, 2,则 f(x4)x 4,又周期为4,所以 f(x)f(x4)x4. 当 x(6,8时,x6(0,2,则 f(x6) x6, 根据周期为4,则 f(x2) f(x6)x 6. 又 f(x) f(x2)13, 所以 f(x) 13 f(x2) 13 x6. 所以解析式为f(x) x4,4x6, 13 x6,6x8. 【点拨】 本题存在规律性:若f(xa) f(x)b(常 数),则 2a 为 f(x)的周期 (a0);同理, f(xa) f(x) 或 f
11、(xa) 1 f(x) 或 f(xa) 1 f(x) ,均可推得2a 为 f(x)的周期 (a 0) 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数, 且它的图象关于直线x1 对称 (1)求证: f(x)是周期为 4 的周期函数; (2)若 f(x)x(0bcBcbaCcabDacb 解: 由已知得, f(x)在0, )上为增函数,b f(2)f(2),而 1ba.故选 B. 6已知 g(x)是 R 上的奇函数,当xf(x),则实数 x 的取值范围是 () A(, 1)(2, ) B(, 2)(1, ) C(1,2) D(2, 1) 解: 设 x0,则 xf(x),得 2 x 2x,解得 2f(2x1
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- 2019 年高 数学 一轮 复习 函数 奇偶性 周期性
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