2020年高考数学一轮复习《指数与指数函数》.pdf
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1、2020 年高考数学一轮复习指数与指数函数第 1 页 共 18 页 2020 年高考数学一轮复习指数与指数函数 考纲解读 1. 了解指数函数模型的实际背景. 2. 理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算及性质. 3. 理解指数函数的概念和单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点. 4. 认识到指数函数是一类重要的函数模型. 命题趋势探究 指数函数是中学数学中基本初等函数之一,这部分内容在高考中处于重要的地位.高考中往 往以基础知识为主,主要考查指数函数的性质及应用,一般以选择题和填空题的形式出现, 例如数值的计算、函数值的求法、数值大小的比较等,但有时也与函数的基本性质、二次
2、函数、方程、不等式、导数等内容结合起来编制综合题.近几年高考中有加强考查的趋势. 知识点精讲 一、指数的运算性质 当 a0,b0 时,有 (1)a man=am+n(m,n R);(2) m m n n a a a ( m,n R) (3)(a m)n=amn(m,n R); (4)(ab) m=ambm(m R); (5) p p a a 1 (p Q) (6) m mn n aa(m,n N +) 二、指数函数 (1)一般地,形如y=a x(a0 且 a 1)的函数叫做指数函数; (2)指数函数y=a x(a0 且 a 1)的图像和性质如表 2-6 所示 . y=a x a1 00 y=1
3、x=0 y1x1x0 题型归纳及思路提示 题型 23 指数运算及指数方程、指数不等式 思路提示 利用指数的运算性质解题.对于形如 ( )f x a b , ( )fx a b , ( )fx ab 的形式常用 “ 化同底 ” 转化, 再 利 用 指 数 函 数 单 调 性 解 决 ; 或 用 “ 取 对 数 ” 的 方 法 求 解 .形 如a2x+Bax+C=0 或 a 2x+Bax+C 0( 0)的形式,可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解 . 一、指数运算 例 2.48 化简并求值 . 2020 年高考数学一轮复习指数与指数函数第 2 页 共 18 页 (1)若 a=2,b=4, ()
4、()aa bbab abb 2233 333 11 的值; (2)若xx 11 22 3, xx xx 33 22 22 3 2 的值; (3)设 nn a 11 20142014 2 (nN +),求 () n aa 2 1 的值 . 分析:利用指数运算性质解题. 解析: ()() ()() aa bbababa bab abbb ab bab 22223333 3333 23 33 111 ()()() ()() abaabbabab b ab bab 2233 333333 3 2333 1 ()() ()() ababa bb babbabb 22 33333 33 222333 33
5、 11 . 当 a=2,b=4,原式 33 33 221 2 162 2 . (2)先对所给条件作等价变形: ()xxxx 11 122 22 2327, ()()xxxxxx 3311 1 2222 13 618, x 2+x-2=(x+x-1)2-2=72-2=47. 故 xx xx 33 22 22 31831 24723 . (3)因为 nn a 11 20142014 2 ,所以() nn a 11 2220142014 1 2 , 所以 nnnn n aa 1111 1 22 2014201420142014 12014 22 . 所以() n aa 21 12014. 变式 1
6、设 2a=5 b=m,且 ab 11 2,则 m=( ). A. 10B. 10 C. 20 D. 100 2020 年高考数学一轮复习指数与指数函数第 3 页 共 18 页 解析 解法一: 2 111111 ,55,22mmmmmmmm babab b a a 10),0(1052 2 mmm。 解法二:由m a 2得mma b 5,log2得mb 5 log, 则25log2log log 1 log 111 52 mm mmba , 即,210logm10m。故选 A。 二、指数方程 例 2.49 解下列方程 (1)9 x-4 3x+3=0;(2) ( )( ) xx 2964 3827
7、 ; 分析:对于 (1)方程,将其化简为统一的底数,9x=(3 x)2;对于 ( )( ) xx 29 38 ,对其底进行化简运 算. 解析: (1)9 x-4 3x+3=0 (3 x)2-4 3x+3=0,令 t=3x(t0),则原方程变形为 t 2-4t+3=0 , 得 t1=1,t2=3,即 x1 31或 x2 33 ,故 x1=0,x2=1.故原方程的解为 x1=0,x2=1. (2)由( )( ) xx 2964 3827 ,可得() x 3 3 294 38 3 即( )() x 3 34 43 ,所以( )() x 3 33 44 ,得 x=-3. 故原方程的解为x=-3. 变式
8、 1 方程 9x-6 3x-7=0 的解是 _. 解析0736)3(07369 2xxxx ,令03 x t,则原方程变形为 076 2 tt,得1,7 21 tt(舍) ,即73 x ,7log3x,故原方程的解是 7log3x。 变式 2 关于 x的方程( ) xa a 323 25 有负实数根,则a 的取值范围是_. 解析 关于 x的方程 a ax 5 32 ) 2 3 (有负实数解,则)1 ,0() 2 3 ( x ,将方程转化为不 等式,则1 5 32 0 a a ,解得 4 3 3 2 a, 故 a的取值范围是 4 3 3 2 |aa。 三、指数不等式 例 2.50 若对 x1,2
9、,不等式 x m 22恒成立,求实数 m 的取值范围 . 分析:利用指数函数的单调性转化不等式. 解析: 因为函数 y=2 x是 R 上的增函数, 又因为 x 1,2, 不等式 x m 22 恒成立,即对x 1,2, 2020 年高考数学一轮复习指数与指数函数第 4 页 共 18 页 不等式 x+m1 恒成立函数 y=x+m 在1,2上的最小值大于1, 而 y=x+m 在1,2上是增函数, 其最小值是1+m,所以 1+m1,即 m0. 所以实数m 的取值范围是m|m0. 变式 1 已知对任意x R,不等式( ) xmx m xx 2 2 2411 2 2 恒成立,求m 的取值范围 . 分析求解
10、指数不等式,可将其化为同底的形式,利用单调性求解。 解析原不等式化为 42 22 ) 2 1 () 2 1 ( mmxxxx 因为指数函数 x y) 2 1 (是 R 上的减函 数。 所以42 22 mmxxxx,即04)1( 2 mxmx,因为原不等式对 Rx恒成立,所以对Rx恒成立;所以0)4(4)1( 2 mm,解得 53m, 所以 m 的取值范围是53|mm。 变式 2 函数( ) x f x x 2 1 的定义域为集合A, 关于 x 的不等式 axax2 22(x R)的解集为B, 求使 A B=A 的实数 a 的取值范围 . 解析函数 1 2 )( x x xf的定义域21|xxA
11、,由不等式 xaax 22 2 ,得 axaxaax)12(,2, 当012a,即 2 1 a时, 12a a x; 当012a,即 2 1 a时, 12a a x; 当012a,即 2 1 a时,Rx。 由ABA,得BA, 若 2 1 a,则2 12a a ,得 3 2 a,则 3 2 2 1 a; 若 2 1 a, 则1 12a a ,得 2 1 a; 若 2 1 a, 也满足BA, 综上,满足ABA 的实数 a的取值范围是 3 2 |aa。 题型 24 指数函数的图像及性质 思路提示 解决指数函数有关问题,思路是从它们的图像与性质考虑,按照数形结合的思路分析,从 图像与性质找到解题的突破
12、口,但要注意底数对问题的影响. 一、指数函数的图像 例 2.51 函数( ) x b f xa的图象如图2-14 所示,其中a,b 为常数,则下列结论中正确的是 2020 年高考数学一轮复习指数与指数函数第 5 页 共 18 页 ( ). A. a1, b1,b0 C. 00,得 b0 且 a 1)的图像经过第二、三、四象限,则一定有 ( ). A. 00 B. a1 且 b0 C. 01 且 b0,a 1)的图象可能是( ). 解析 当1a时,函数图像与y轴交点的纵坐标应在区间(0,1)内,故排除选 项 A、B;当10a时,函数图像与y轴交点的纵坐标在)0,(,故排除选项 C, 2020 年
13、高考数学一轮复习指数与指数函数第 6 页 共 18 页 故选 D。 变式 3 已知实数a,b 满足 ( )( ) ab 11 23 ,下列 5 个关系式:00 且 a 1)的图像过定点 _. 分析:指数函数的图像恒过定点(0,1),即 a0=1. 解析:因为函数(x)=ax(a0 且 a 1)的图像过定点 (0,1),又函数(x)= x a 1(a0 且 a 1)的图像 是由函数(x)=ax(a0 且 a 1)的图像向左平移一个单位得到的, 故函数(x)= x a 1 (a0 且 a 1) 的图像过定点(-1,1). 变式 1 函数(x)=ax+1(a0 且 a 1)的图像过定点 _. 解析
14、因为函数0(aay x 且)1a的图像过定点( 0,1) ,又函数1)( x axf (10aa且)的图像是由函数 x ay(10aa且)的图像向上平移一个单 位得到的,故函数1)( x axf(10aa且)的图像过定点( 0,2) 。 变式 2 函数(x)=ax+x-2 的图像过定点 _. 解 析因 为函 数 x ay(10aa且) 的 图 像 过定 点 ( 0, 1) , 故 函数 2)(xaxf x 的图像过定点( 0,-1) 。 2020 年高考数学一轮复习指数与指数函数第 7 页 共 18 页 变式 3 (x)= x a 1 (a0 且 a 1)的图像恒过定点A,若点A 在直线mx+
15、ny-1=0(m,n0)上,则 mn 11 的最小值为 _. 分析 把所求中的“ 1”用nymx替换,整理后用基本不等式求解即可。 解析 因为函数) 1, 0( 1 aaay x 的图像恒过定点A(1,1) ,所以有 0111nm,即)0,(1nmnm。 解法一因为函数4222)() 11 ( 11 n m m n n m m n nm nmnm , 当且仅当nm时取“ =” 解法二由上可知 4 1 021mnnmnm,当且仅当nm时取“ =” , 所以442 11 2 11 nmnm ,当且仅当nm时取“=” 。 评注虽然解法二多次使用了均值不等式,但因为取得等号的条件相吻合,故 可以运用均
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