2020年高考数学一轮复习《解三角形》.pdf
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1、1 2020 年高考数学一轮复习解三角形第 1 页 共 22 页 2020 年高考数学一轮复习解三角形 考纲解读 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关 的实际问题 . 命题趋势探究 1. 本节为高考的必考和重点考查内容,在选择题、填空题和解答题中都有出现, 并越来越成为三角函数部分的核心考点. 2. 题型有三:一是解三角形出现边角互化求角、求边;二是三角形形状判定; 三是最值问题 . 题型和分值较稳定,且有逐渐上升趋势,属中等难度. 知识点精讲 在 ABC中,角,A B C所对边依次为, , .a b c
2、 1. 角的关系 180 ,sinsin()ABCABC coscos(),tantan(),ABCABC sincos,cossin. 2222 ABCABC 2. 正弦定理 2 (2 sinsinsin abc RR ABC 为ABC的外接圆的直径) . 正弦定理的应用: 已知两角及一边求解三角形. 已知两边及其中一边的对角,求另一对角: 若 ab,已知角求角 . 1, sin1, 2 1, BB 无解 ; 两解(一锐角、一钝角) 若 ab, 已知角求角,一解(锐角). 3. 余弦定理 222 2coscababC(已知两边 a,b 及夹角求第三边c) 222 cos 2 abc C ab
3、 (已知三边求角) . 余弦定理的应用: 已知两边及夹角求解第三边; 已知三边求角; 已知两边及一边对角不熟第三边. 4. 三角形面积公式 2 2020 年高考数学一轮复习解三角形第 2 页 共 22 页 1111 sinsinsin. 2222 ABC SahabCbcAacB 题型归纳及思路提示 题型 67 正弦定理的应用 思路提示 (1)已知两角及一边求解三角形; (2)已知两边一对角; . sin1 sin sin1 A A A 大角求小角一解(锐) 两解(一锐角、一钝角) 小角求大角一解1(直角) 无解 (3)两边一对角,求第三边. 一、利用正弦定理解三角形 例 4.39 已知 AB
4、C 中, 53 cos,sin,1 135 ABa 求cosC及边长 c 分析已知两角及一边用正弦定理. 解析因为 ,A B C为ABC的内角,所以有 coscos()cos()CABABcoscossinsin.ABAB 因为 (0,),A且 5 cos0, 13 A 所以 (0,), 2 A 12 sin 13 A . 由此知 sinsin0,AB据正弦定理得 ab所以 ,AB 因此 (0,), 2 B 且 3 sin, 5 B 得 4 cos, 5 B 故 5412316 cos. 13513565 C 因此 63 sin. 65 C 由正弦定理得, sinsin ca CA 得 63
5、1 sin21 65 . 12 sin20 13 aC c A 评注本题已知两角及一边,用正弦定理:在 ABC 中, sinsin.ABabAB 变式 1 在 ABC中,角,A B C所对边依次为 , , ,2,2,a b c ab sincos2,BB则角的大小为. 分析已知两边一对角求另一对角,利用正弦定理。 解析由sincos2BB得,2 sin2 4 B ,即sin1 4 B ,又 0,B故 424 BB,又,ab故AB 3 2020 年高考数学一轮复习解三角形第 3 页 共 22 页 221 ,sin,0, sinsinsin2262 2 ab AAA ABA 例 4.40 在 AB
6、C 中,角 ,A B C所对边依次为, , ,30 ,6,a b cBc 记 ( ).bf a 若函数 ( )( )(g af ak k 是常数)只有一个零点, 则实数k的取值范围是() . .03A kk或 6k.36Bkk.6Ck k.6Dk k 或 3k 分析三角形问题首先根据题意画出三角形, 的最小值为边的垂线段, 再根据零点的意义及函数求解. 解析由 ( )( )0,g af ak 且 ( ).bf a ,得 ( ),kf ab 如图 434 所示,由 30 ,6,Bc知边和的最小值为 sin3,cB 唯一的 ()aBC 符合 ( )f ak 即若 3,k 则 ( )3,f ab 此
7、时存在函数 ( )g a 有唯一零点,若 36k 时,则 ( )(3,6),f ab 此时以点为圆心, b 边为半径的圆与边及延长线有两个交 点 12 ,C C , 如 图4 34 所 示 , 则 存 在 两 个a值 1122 (,),aBC aBC使 得 ( )( )g af ak有两个零点 . 若6k 时,则 ( )6,f ab 则以点为圆心, b 边为 半径的圆与边及延长线(除点外)只 有一个交点 3 C ,使得 3 aBC ,故函数( )g a有 唯一零点 . 综上, 实数 k 的取值范围为 3k 或 6.k故选 . 评注三角形问题一般先根据题意作出图 形,抓住已知量,充分想到三角形的
8、边角关系及正弦定理,并尽可能转化和构 造 直角三角形 . 变式 1 (1)在 ABC 中,已知角 ,A B C所对的边分别为, , ,a b c 且3 2,2,ba 如果三角形有解,则角A的取值范围是 ; 解 析( 1 ) 解 法 一 : 在ABC中 , 由 正 弦 定 理 得 sinsin ab AB , 得 asin2 sinsin 2 B AB b ,又sin0,1B,故 2 sin, 2 Ao ,且AB , 则角 的取值范围是, 4 o 解法二: (图像法)由题意 2 2,2ACBC 先固定好边AC, 则点必在为圆心, 半径2r 4 2020 年高考数学一轮复习解三角形第 4 页 共
9、22 页 的圆周上(如图4-52(a)所示),有A, B,C构成三角形,B不在AC所在的直线上,则 AB边所在的临界位置如图4-52(a)所示,此时 11 ABBC且 4 A,再结合对称性, 角的取值范围是, 4 o 。 (2) 在 ABC 中, 已知角 ,A B C所对的边分别为, , ,a b c且1,2,ba 如果三角形 有解,则角 B的取值范围是 ; 如( 1)中解法二知,由题意2,1BCAC,先固定好长边BC,则点A必在以C为圆 心,AC1为半径的圆上,如图4-52(b)所示,此时 11 ABA C且 6 B,再结合 对称性,角的取值范围是0, 6 . (3)在 ABC 中,已知角
10、,A B C所对的边分别为, , ,a b c 且2 3,3,ac如果三 角形有解,则角 C的取值范围是 . 由题意知2 3,3BCAB , 先固定好长边,则点必在以为圆心, 3 为半径的圆上,如图 4-52()所示, 且点不在所在的直线上, 则边的临界位置如图4-52(), 此时CBBA 11 , 且 3 C, 再结合对称性,角的取值范围是 3 ,0 。 (b) (a) B A C B1 A1 C B A 5 2020 年高考数学一轮复习解三角形第 5 页 共 22 页 (c) C A1 B A 图 4-52 变式 2在ABC中,内角,A B C的对边分别是, ,a b c,若2ca, 1
11、sinsinsin 2 bBaAaC,则sin B为() A 7 4 B 3 4 C 7 3 D 1 3 因为 1 sinsinsin 2 bBaAaC, 所以由正弦定理可得: 22 1 2 baac,又 222221 2 ,43, 2 caacbaaca利用余弦定理可 得: 2222 33 cos, 2224 acba B acaa 由于0B, 解 得: 2 97 sin1cos1 164 BB, 故选 A. 二、利用正弦定理进行边角转化 例 4.41 在 ABC 中,若 A=2B ,则 a b 的取值范围为(). A . (1 , 2 ) . (1,3 )BC .(2 , 2 )D . (
12、2 ,3 ) 分析题中有边与角的关系及角的范围,可考虑用正弦定理转化为角的关系, 再由角的范围来定边的范围. 解析由正弦定理知 s i ns i n 2 2 c o s B , s i ns i n B aAB bB 且( )( 0 ,)AB 即0 3B 得 0 3 B ,因此 1 c o s(, 1 ) , 2 B 所以 (1 , 2 ) . a b 故选 A. 评注在 ABC中, 利用正弦定理2 si nsi ns i n abc R ABC , 进行边与角的转化, 在条件中有边也有角时,一般考虑统一成边或角的形式,再由两角和与差的公 式来求解 . 6 2020 年高考数学一轮复习解三角形
13、第 6 页 共 22 页 变式 1 (1)若在锐角 ABC中,若 A=2B ,则 a b 的取值范围为 ; (2)若在直角 ABC 中,若 A=2B ,则 a b 的取值集合为 ; (3)若在钝角 ABC 中,若 A=2B ,则 a b 的取值集合为 . 解析由正弦定理知B B B B A b a c o s2 si n 2s i n s i n s i n (1)若ABC为锐角三角形,则, 2 0B, 2 )(0BA 因此, 2 30 2 0 2 20 B B B , 46 B 2 3 , 2 2 c o s B 所以 b a 的取值范围为3,2. (2)若ABC为直角三角形,则 2 , 2
14、 CA或 若 2 A,则 4 B2co s2B b a 若 2 C则 6 B3c o s2B b a 所以 b a 的取值集合为 3,2 (3) 若ABC为钝角三角形,则角为钝角或角为钝角。 若角为钝角,则, 2 A即,2 2 B, 2 )(0BA 得, 34 B 2 2 , 2 1 c o s B所以 2, 1c o s2B b a 若角为钝角,则,)( 2 BA且, 2 0A因此,3 2 B , 2 30B所以, 6 0B因此1 , 2 3 c o s B所以 a 2 c o s B3 , 2 b 所以 b a 的取值范围为 1 ,23 , 2. 变式 2 在 ABC中, 60 ,3BAC
15、,则 AB+2BC 的最大值为 . 解析由正弦定理知, sin60sin 3 sinA BC C AB 所以 ,s i n2,s i n2ABCCAB 又 1 2 0CA 7 2020 年高考数学一轮复习解三角形第 7 页 共 22 页 所以 .722)1200( , 2 3 tan),sin(72)cos3sin2(2 )sincos3(sin2)120sin(4sin22 的最大值为,因此, 是第一象限角其中 BCABC CCC CCCCCBCAB 变 式3 已 知 , , ,a b c 分 别 为 ABC 三 个 内 角 ,A B C 的 对 边 , cos3 sin0aCacbc, (
16、1)求 A;(2)若 2a , ABC 的面积为3,求 ,b c. 解析(1)由0sin3coscbCaCa及正弦定理得 0sinsinsinsin3cossinCBCACA 因为AB 所以 30 331 sin AsinCsin Acos Csin( AC )sinC, sin AsinCcos AsinCsinC,sin Acos A,所以 3 0 2 1 ) 6 sin(AAA故又 (2) ABC的面积 4,3 4 3 sin 2 1 bcbcAbcS故 28c o s2 2222222 cbcbbccbAbccba解得故而 变 式4 在 ABC 中 , 角 ,A B C 的 对 边 分
17、 别 为 , , ,a b c 已 知 4 A , sin()sin(), 44 bCcBa (1)求证: ; 2 BC (2)若2a,求 ABC 的面积 . (1)证明由正弦定理得 , 2 2 sin) 4 sin(sin) 4 sin(sinABCCB 2 )0(, , 1)sin(, 1sincoscossin CBCB CBCBCB 故,又 所以 (2)由 35 4488 BC,BCBC,得, ,sinsinsin2sin)sin2)(sin2( 2 1 sin 2 12 CBARACRBRAbcS 8 2020 年高考数学一轮复习解三角形第 8 页 共 22 页 , 1,2 2 2
18、2 sin 2R A a R , 2 1 4 sin 2 2 8 cos 8 sin2 8 sin 8 5 sin 2 2 2ABCS 题型 68 余弦定理的应用 思路提示 (1) 已知两边一夹角或两边及一对角,求第三边. (2) 已知三边求角或已知三边判断三角形的形状,先求最大角的余弦值, 若余弦值 0,ABC 0,ABC. 0,ABC 则为锐角三角形 则为直角三角形 则为钝角三角形 一、利用余弦定理解三角形 例 4.42 在 ABC 中, 2 1,3, 3 bcC ,则 a= . _.B 分析 已知两边一对角,求第三边用余弦定理,求另一对角用正弦定理. 解析由余弦定理得, 222 2cos
19、cababC,得 21 312() 2 aa ,即 2 20aa,且0a,故1.a 由正弦定理得, sinsin bc BC ,即 13 sin3 2 B ,得 1 sin 2 B ,又 bcBC,则 30B 变式 1 在 ABC 中,3,2 6,2,abBA, (1) 求 cos A的值; (2)求c的值. 解析( 1) 由正弦定理知, sinsinB b A a 即 , 62 3 cossin2 sin 2sin sin sin sin AA A A A B A b a 所以3 6 cos, 3 62 cos2AA (2)已知两边及一边的对角,求解第三边,利用余弦定理得 9 2020 年高
20、考数学一轮复习解三角形第 9 页 共 22 页 53, 3 6 622249cos2 2222 ccccAbccba或解得得 又 0 3 1 1 3 2 21cos22coscos 2 AAB , 所以 5,4 3 6 62cos), 2 ,0(cAbcB故因此 变式 2 在 ABC 中,若 1 2,7,cos 4, abcB ,则 _.b 解析在ABC中,由Baccabcos2 222 及+=7 知, ) 4 1 ()7(22)7(4 22 bbb 整理得 15-60=0,所以 =4. 例 4.42 变式 3 解析依题意不妨设ABC的三边长分别为 )0(2,2,aaaa 那么最大角的余弦值为
21、 . 4 2 22 42 222 aa aaa 变式 3 已知 ABC 的三边长成公比为2的等比数列,则其最大角的余弦值 为 . 解析依题意不妨设ABC的三边长分别为)0(2,2,aaaa那么最大角的余弦值为 . 4 2 22 42 222 aa aaa 例 4.43 在 ABC 中,角 ,A B C所对边的长分别为, , ,a b c 若 2 22 2abc ,则 cosC的最小值为(). 3 . 2 A 2 . 2 B 1 . 2 C 1 . 2 D 解析因为2 222222 2 2 1 cos 2222 abcccc C ababc ab 当且仅当 ab时取“=” , 所以 cosC 的
22、最小值为 1 . 2 故选 C. 变式 1 在 ABC中,角,A B C所对边分别为, , ,a b c 若1.30acB,求b的 取值范围 . 10 2020 年高考数学一轮复习解三角形第 10 页 共 22 页 解析由余弦定理得 . 2 1 2 cos 222 ac bca B 知acbca 222 , 所以 22222ac1 bacac(ac)3ac13ac,ac() 24 且 所以 21 b,b0, 4 又得b的取值范围为 1 ,1 . 2 或 又, 4 1 2 1 3)1 (3131 2 2 aaaacb 1 , 2 1 , 1 2 1 , 1 4 1 ),1 ,0( 2 bbba得
23、所以 变式 2 在 ABC 中,角 ,A B C所对边分别为, , ,a b c 若4.60 ,bB,求ABC S 的 最大值 . 解析 13 S ABCacsin Bac, 24 又 Baccabcos2 222 = )“(2 22 “时取”当且仅当“caacacacacca 所以 故,16ac 3 S ABC164 3 4 ,故 ABCS 的最大值为34 二、利用余弦定理进行边角转化 例 4.44 在 ABC中, 角,A B C所对边分别为, , ,a b c 若 222 ()tan3,acbBac 则 角 B的值为(). . 6 A. 3 B. 6 C 或 5 6 . 3 D 或 2 3
24、 解析 (边化角)已知等式可变化为 222 3 tan, 22 acb B ac 则 sin3 cos, cos2 B B B 得 3 sin,(0,), 2 BB所以 3 B 或 2 3 . 故选 D. 变式1在 ABC 中, 角 ,A B C 所对边分别为 , , ,a b c 且 2 sin(2)sin(2)sin.aAbcBcbC (1)求 A的值; (2)求 sin+sinBC 的最大值 . 解析(1)bccba2222 222 即bccba 222 , 11 2020 年高考数学一轮复习解三角形第 11 页 共 22 页 120),180,0( , 2 1 22 cos, 222
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