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1、第 1 页 共 5 页 九年级奥数:解直角三角形 解读课标 从直角三角形中的已知元素(至少有一条是边)探求其未知的一些元素的问题叫解直角三角 形解直角三角形的关键是合理选用边角关系,它包括勾股定理、直角三角形的两个锐角互 余及锐角三角函数的概念,解直角三角形的应用主要有以下两方面: (1)求线段的长、角的度数 许多几何计算问题都可归结为解直角三角形 (2)解决实际问题 应用三角函数解决的实际问题主要涉及测量、建筑、 工程技术和物理学中,解决问题的关键 是在理解有关名词意义的基础上,把实际问题抽象为几何图形,转化为解直角三角形 问题解决 例 1 如图, 为了测得一铁塔的高度,小明在离铁塔10 米
2、处的点C 测得塔顶A 的仰角为, 小亮在距铁塔25 米处的点 D 测得塔顶 A的仰角为, 则铁塔的高度为_ 例 2 如图,在四边形ABCD 中,AB=4,BC=1,CD=3, B=135, C=90,则 D 等于() A60B67.5C75D不能确定 例 3 如图,已知在山脚的C 处测得山顶A 的仰角为45,沿着坡度为30的斜坡前进400 米到 D 处,测得A 的仰角为60,求山的高度AB 例 4 在某张航海图上,标明了三个观测点的坐标,如图, O(0,0) ,B (6,0) ,C(6,8) , 由三个观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区 90 2 第 2 页 共 5 页 (1)求圆形区域的面
3、积; (2)某时刻海面上出现一渔船A,在观察点O 测得 A 位于北偏东45,同时在观察点B 测得 A 位于北偏东30求观察点B 到 A 船的距离; (3)当渔船A 由( 2)中位置向正西方向航行时,是否会进入海洋生物保护区?通过计算 回答 例 5 如图,山上有一座铁塔,山脚下有一矩形建筑物ABCD,该建筑物周围没有开阔平整 地带该建筑物顶端宽度AD 栅高度 DC 都可直接测得, 从 A、D、C 三点可看到塔顶端H 可 供使用的测量工具有皮尺、测角器 请你根据现有条件,充分利用矩形建筑物,设计一个测量塔顶端到地面高度HG 的方案 具 体要求如下: (1)测量数据尽可能少; (2)在所给图形上。画
4、出你设计的测量平面图,并将应测数据标记在图形上(如果测A、 D 间距离, 用 m 表示; 如果测 D、C 间距离, 用 n 表示;如果测角, 用、等表示 测 角器高度不计) 根据你测量的数据,计算塔顶端到地面的高度HG(用字母表示) 数学冲浪; 知识技能广场 1如图, 在 ABC 中,AC BC,CDAB 于 D,A=30,AC=,则 BC=_, DB=_ 2如图,在 ABC 中, A=30, tanB=,BC=,则 AB=_ 3如图,已知 ABC 中,A=60,B=45,AB=8,那么, ABC 的面积为 _ 6 3 1 3 10 第 3 页 共 5 页 4在高为h 的楼顶 A 处测得另一建
5、筑物底部D 的俯角为,顶部 B 的俯角为,则另一 建筑物的高度BD 是_ 5如图,在等腰RtABC 中, C=90, AC=6,D 是 AC 上一点,若tanDBA= 则 AD 的长为() AB2 C1 D 6如图,在四边形ABCD 中, A=135, B=C=90, BC=,AD=2,则四边形 ABCD 的面积是() : ABC4 D6 7如图,在矩形ABCD 中, DE AC 于 E,设 ADE=,且 cos=,AB=4,则 AD 的 长为() A3 BCD 8如图,为了测量某建筑物AB 的高度,在平地上C 处测得建筑物顶端A 的仰角为30, 沿 CB 方向前进12m 到达 D 处,在 D
6、 处测得建筑物顶端A 的仰角为 45,则建筑物AB 的 高度等于() ABCD 9如图,在电线杆上的C 处引拉线 CE、CF 固定电线杆,拉线CE 和地面成60角,在离 电线杆 6 米的 B 处安置测角仪,在A 处测得电线杆上C 处的仰角为30,已知测角仪AB 高为 1.5 米求拉线CE 的长 (结果保留根号) 10如图,小岛A 在港口 P 的南偏西45方向,距离港口81 海里处甲船从A 出发,沿 AP 方向以 9 海里时的速度驶向港口,乙船从港口P 出发,沿南偏东60方向,以18 海 重时的速度驶离港口现两船同时出发, (1)出发后几小时两船与港口P 的距离相等? (2)出发后几小时乙船在甲
7、船的正东方向? (结果精确到0.1 小时) (参考数据:, 1 5 22 2 2 3 4 24 3 3 5 16 3 20 3 16 5 m)13(6m)13(6m)13(12m) 13(12 21.41 第 4 页 共 5 页 ) 思想方法天地 11如图,已知电线杆AB 直立于地面上,它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面上,如 果 CD 与地面成 45, A=60, CD=4m, BC=m, 则电线杆AB 的长为 _ 12如图,矩形ABCD 是供一辆机动车停放的车位示意图,请你参考图中数据,计算车位 所占街道的宽度EF=_(参考数据:sin400 .64, cos400 77, tan40
8、0 84, 结果精确到0.1m) 13 如图,正方形 ABCD 中,N 是 DC 的中点, M 是 AD 上异于 D 的点,且 NMB=MBC, 则 tanABM =_ 14如图, ABC 为等腰直角三角形,若AD=AC,CE=BC,则 1 和 2 的大小关系 是: 1_2(填“ ”或“一”或“”号 ) 15如图,在正方形ABCD 中, F 是 CD 上一点, AEAF,点 E 在 CB 的延长线上, EF 交 AB 于点 G (1)求证: DF FC=BG EC; (2) 当 tanDAF =时,AEF 的面积为10, 问当 tanDAF =时,AEF 的面积是多少? 31.73 4 62
9、2 1 3 1 3 1 3 2 3 第 5 页 共 5 页 应用探究乐园 16如图,某市郊外景区内一条笔直的公路经过三个景点A、B、C景区管委会又开发 了风景优美的景点D经测量景点D 位于景点A 的北偏东 30方向 8km 处,位于景点 B 的 正北方向,还位于景点C 的北偏西75方向上已知AB=5km (1)景区管委会准备由景点D 向公路口修建一条距离最短的公路,不考虑其他因素,求出 这条公路的长(结果精确到0.1km) ; (2)求景点C 与景点 D 之间的距离(结果精确到1km) (参考数据:=1.73,=2.24,sin53=cos37=0.80,sin37=cos53=0.60,tan53 =1.33,tan37=0.75,sin38=cos52=0.62,sin52 =cos38=0.79,tan38=0.78,tan52 =1.28,sin75=0.97,cos75=0.26。tan75=3.73 ) 35
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