九年级数学几何不等式例题讲解.pdf
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1、第 1 页 共 5 页 九年级数学几何不等式例题讲解 知识点、重点、难点 所谓几何不等式,指不等关系出现在几何问题之中,它将几何的论证与不等式的技巧有机结合在一起,其综合 性与难度都较高。 有关几何不等关系的性质和定理如下: 1.三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。 2.三角形的外角大于任一不相邻内角。 3.同一三角形中大角对大边,大边对大角。 4.两点之间直线段最短。 5.两边对应相等的两个三角形中,所夹的角越大,则第三边越大。 6.两边对应相等的两个三角形中,第三边越大,则它所对的角越大。 7.直角三角形的斜边大于任一直角边。 8.同圆或等圆中,弧长越长,所对的圆心角以及圆周角越
2、大。 9.同圆或等圆中,直径大于任何一条非直径的弦。 可以看到, 几何不等式的基础大多数源于三角形中,所以三角形中的不等式是占绝大多数的,而很多包括四边 形、圆的问题都可以化为三角形中的不等关系,因此三角形中的各种不等式是我们讨论的一个重点。 要注意到, 很多几何不等式实际上是代数不等式,还有相当一部分几何不等式的证明过程中用到了经典的代数 不等式,其中最常用到的是均值不等式和柯西不等式。 柯西不等式:设 1212 , nn x xxy yyR 则 2222222 12121122 ()()() . nnnn xxxyyyx yx yx y 当且仅当 i i x y (为常数,1,in)时,等
3、号成立。 均值不等式:设 12 ,0, n x xx则 12 12 . n n n xxx x xx n 例 1:已知 AD 是 ABC 的 A 的平分线,过A 作直线 PQAD,M 是 PQ 上任一点,求证:MBMC ABAC. 分析欲证 MBMC ABAC,如能适当地进行变换将MB、MC、AB、AC 集中到一个三角形内,问题就好解决了。 因为 PQAD,则 PQ 平分 BAC 的外角 BAC,如以 PQ 为轴将 AMB 翻转 180,AB 将落在 AF 上。设 B 的对 应点为 B,则 MB 落到 MB位置,在 MBC 中可证得本题结论。 证明如图所示,在CA 延长线上取AB=AB,连结
4、MB 因为 PQAD ,而 AD 平分 BAC,所以 PQ 平分 BAB, 所以 BAM=BAM.又 AM=AM,所以 BAM BAM,因此 MB =MB在 MBC 中, MBMCBC,即 MB MCBC=ABAC=ABAC 第 2 页 共 5 页 例 2:如图,已知凸四边形ABCD 中, AC 交 BD 于 O , AOB 的面积为 1 A, COD 的面积为 2 A,凸四边形面 积为 A. 求证:12 .AAA 分析利用等高的两个三角形的而积比等于对应底的比,由比例把四个三角形面积联系起来。 证 明设 34 ,. AODBOC SA SA因 为 A O D S 与 AOB S 有 等 高
5、, 所 以 1 3 . A O B A O D SAOB SODA 同 理 4 2 AOB ODA , 即 1234 A AA A.又因为 2 343434 ()02,AAAAA A所以 1212 2AAA A 12341234 2AAA AAAAAA,即 2 12 ().AAA 两边开方得 12.AAA 说明此题用到了不等式的放大,利用了公式 222 ()02.ababab 例 3:如图,设O 为 ABC 内一点,且AOB=BOC=COA= 120, P 为任意一点(不是O) 求证: PAPBPCOAOBOC. 证明如图,过 ABC 的顶点 A、B、C 分别引 OA、OB、OC 的垂线,设这
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