九年级数学圆和圆的位置关系例题讲解.pdf
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1、第 1 页 共 3 页 九年级数学圆和圆的位置关系例题讲解 知识点、重点、难点 两圆的位置关系可以是两圆相交、两圆相切(内切或外切)、两圆相离、两圆内含。 设两个圆为 1 O、 2 O,半径分别为 1 R、 2 R,且 1 R 2 R, 1 O与 2 O的距离为d,那么, 12 dRR两圆相离4 条公切线 (2 条外公切线,2 条内公切线 ); 12 dRR两圆外切3 条公切线 (2 条外公切线,1 条内公切线 ); 1212 RRdRR两圆相交2 条公切线 (2 条外公切线,无内公切线); 12 dRR两圆内切条公切线 (1 条外公切线,无内公切线); 1 dRR两圆内含无公切线。 两圆的内
2、(外)公切线的长为 22 12 ()ldRR 内 ; 22 12 () .ldRR 外 由圆的对称性知: 若两圆相交,则两圆的连心线垂直平分公共弦。 若两圆有两条外(内)公切线,那么这两条外(内)公切线长相等。若两条外(内)公切线相交,那么交点在 连心线上,并且连心线平分两公切线所夹的角。 例题精讲 例 1:如图,过 O 外一点 P 作 O 的切线 PN,N 为切点。令PN 的中点为M,过 PM 的圆与 O 交于 A、B,BA 的延长线与PM 交于点 Q,求证: PM=3MQ 解 因 PN 为切线,由切割线定理知 NQ 2 = QA QB = QM QP. 设 QM=x,QN=y,于是 MP
3、= MN=xy(x0,y0),故 QPx(xy )= 2xy, 所以 2 y= x(2x+ y), 即 22 2xxyy=0.由此得 (xy )(2xy)=0, 故 2x = y或 x=y(舍去) , MP= xy = 3x = 3MQ. 例 2:如图, ABC 的内切圆切BC 边于 D,求证 ABD 和 ACD 的内切圆相外切。 解 设 E、F 为 ABC 内切圆与 AC、AB 的切点, 1 T、 2 T分别为 1 O、 2 O与 AD 的切点,于是BF = BD ,CE=CD. 1 22 ABBDABABBDAFBF DT . 2 ADAF 同理 2 . 2 ADAE DT又 AE = A
4、F,所以 12 DTDT,即 1 T与 2 T重合所以 1 O与 2 O切于 1 T点。 例 3:如图, 1 O和 2 O相离,引它们的一条外公切线切 1 O于 A,切 2 O于 C.引它们的一条内公切线 1 O于 B,切 2 O于 D,求证:直线AB 和 CD 的交点在两圆的连心线上。 证明设 AB 和 CD 的交点为K,AC 和 BD 的交点为E,则 AB 1 O E, CD 2 O E,且 1 O E平分 AEB, 2 O E平分 CED ,所以 1 O E 2 O E,得 AB CD. 于是 K 为分别以AC 和 BD 为直径的两圆 1 S和 2 S的交点,故K 在圆 1 S和圆 2
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