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1、第 1 页 共 6 页 全国卷一专用 2019 年高考理科数学总复习 解三角形 一、基础巩固组 1.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,b=2,A=60, 则c=() A. B.1 C. D.2 2.在ABC中, 已知acos A=bcos B, 则ABC的形状是() A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 3.已知ABC的三个内角A,B,C依次成等差数列,BC边上的中线AD=,AB=2, 则SABC=() A.3 B.2 C.3 D.6 4.在ABC中,B=,BC边上的高等于BC, 则 cos A=() A.B. C.-D.- 5.
2、在ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c, 若bcos A+acos B=c 2, a=b=2, 则ABC的周长为 () A.7.5 B.7 C.6 D.5 6.已知ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 且满足=sin A-sin B, 则 C= . 7.在ABC中, 角A,B,C的对边分别为a,b,c, 且 2ccos B=2a+b, 若ABC的面积为S= c, 则ab的 最小值为. 8.如图所示 , 长为 3.5 m 的木棒AB斜靠在石堤旁 , 木棒的一端A在离堤足C处 1.4 m 的地面上 , 另 一端B在离堤足C处 2.8 m 的石堤上 ,石堤的倾斜角为, 则坡度值
3、tan =. 9.(2017 全国, 理 17) ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知 sin A+cos A=0,a=2,b=2. (1) 求c; (2) 设D为BC边上一点 , 且ADAC, 求ABD的面积. 第 2 页 共 6 页 10.已知岛A南偏西 38方向 , 距岛A 3 n mile的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10 n mile/h的速度向岛北偏西22方向行驶 , 问缉私艇朝何方向以多大速度行驶, 恰好用 0.5 h 能截 住该走私船 ? 二、综合提升组 11.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知 sin B+sin A(sin C-co
4、s C)=0,a=2,c=, 则C= () A.B.C.D. 12.在ABC中,D为BC边上的一点 ,AD=BD=5,DC=4, BAD=DAC, 则AC=() A.9 B.8 C.7 D.6 13.如图 , 为测量山高MN, 选择A和另一座山的山顶C为测量观测点 , 从点A测得点M的仰角 MAN=60, 点C的仰角CAB=45以及MAC=75; 从点C测得MCA=60.已知山高BC=100 m, 则 山高MN= m. 14.(2017 河南郑州一中质检一,理 17) 已知ABC外接圆直径为, 角A,B,C所对的边分别为 a,b,c,C=60. (1) 求的值 ; (2) 若a+b=ab, 求
5、ABC的面积. 三、创新应用组 15.(2018 福建泉州期末 , 理 10) 已知点P是函数f(x)=Asin( x+)( 0)图象上的一个最高 点,B,C是与P相邻的两个最低点.若 cosBPC=, 则f(x) 的图象的对称中心可以是() A.(0,0) B.(1,0) C.(2,0) D.(3,0) 16.(2017 宁夏银川九中二模, 理 17) 已知函数f(x)=sin x-2sin 2 +m( 0) 的最小正周期为 3, 当x0, 时, 函数f(x) 的最小值为0. (1) 求函数f(x) 的表达式 ; (2) 在ABC中, 若f(C)=1, 且 2sin 2B= cos B+co
6、s(A-C), 求 sin A的值. 第 3 页 共 6 页 解三角形 1.B由已知及余弦定理, 得 3=4+c 2- 22c, 整理 , 得c 2- 2c+1=0, 解得c=1.故选 B. 2.Dacos A=bcos B, sin Acos A=sin Bcos B, sin 2A=sin 2B, A=B,或 2A+2B=180, 即A+B=90, ABC为等腰三角形或直角三角形.故选 D. 3.CA,B,C成等差数列 ,B=60.在ABD中, 由余弦定理 , 得AD 2=AB2+BD2- 2AB BD cos B, 即 7=4+BD 2- 2BD,BD=3 或-1( 舍去 ), 可得BC
7、=6, SABC=AB BC sin B=26=3 4.C( 方法一 ) 设BC边上的高为AD, 则BC=3AD. 结合题意知BD=AD,DC=2AD, 所以AC=AD,AB=AD.由余弦定理 , 得 cos A= =-, 故选 C. ( 方法二 ) 如图 ,在ABC中,AD为BC边上的高 , 由题意知BAD= 设DAC=, 则BAC=+ BC=3AD,BD=AD. DC=2AD,AC=AD. sin =,cos =cosBAC=cos=cos cos- sin sin(cos -sin )=-, 故选 C. 5.Dbcos A+acos B=c 2, a=b=2, 由余弦定理可得b+a=c
8、2, 整理可得 2c 2=2c3, 解得c=1, 则ABC的周长为a+b+c=2+2+1=5.故选 D. 6在ABC中, =sin A-sin B, =a-b, a 2+b2-c2=ab ,cos C=,C= 7.12在ABC中, 由条件并结合正弦定理可得2sin Ccos B=2sin A+sin B=2sin(B+C)+sin B, 即 2sin Ccos B=2sin Bcos C+2sin Ccos B+sin B,2sin Bcos C+sin B=0,cos C=- ,C= 由于ABC的面积为S=absin C=ab=c,c=ab. 再由余弦定理可得c 2=a2+b2- 2abco
9、s C, 整理可得a 2b2=a2+b2+ab 3ab, 当 且仅当a=b时,取等号 , 第 4 页 共 6 页 ab12, 故答案为12. 8在ABC中,AB=3.5 m,AC=1.4 m,BC=2.8 m, 且 +ACB=. 由余弦定理 , 可得AB 2=AC2+BC2- 2AC BC cosACB, 即 3.5 2=1. 4 2+2. 8 2- 21.42.8cos( -), 解得 cos =, 则 sin =, 所以 tan = 9.解 (1) 由已知可得tan A=-, 所以A= 在ABC中, 由余弦定理得28=4+c 2 -4ccos, 即c 2+2c- 24=0. 解得c=-6(
10、 舍去 ),c=4. (2) 由题设可得CAD=, 所以BAD=BAC-CAD=故ABD面积与ACD面积的比值为=1. 又ABC的面积为42sin BAC=2, 所以ABD的面积为 10. 解 设缉私艇在C处截住走私船 ,D为岛A正南方向上的一点, 缉私艇的速度为x n mile/h,则 BC=0.5x n mile,AC=5 n mile,依题意 , BAC=180-38-22=120, 由余弦定理可得 BC 2 =AB 2+AC2- 2AB ACcos 120 , 解得BC 2=49, BC=0.5x=7, 解得x=14. 又由正弦定理得sin ABC=, 所以ABC=38. 又BAD=3
11、8, 所以BCAD. 故缉私艇以14 n mile/h的速度向正北方向行驶, 恰好用 0.5 h 截住该走私船. 11.B由题意结合三角形的内角和, 可 得 sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0, 整理得 sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0, 则 sin C(sin A+cos A)=0, 因为 sin C0, 所以 sin A+cos A=0, 即 tan A=-1, 因为A (0, ), 所以A=由正弦定理, 得, 即 sin C=, 所以C=, 故选 B. 12.D设B=, 则ADC=2, 在ADC中, 由,
12、所以AC=8cos , 在ABC中, 由, 可得, 所以 16cos 2 =9, 可得 cos =, 所以AC=8=6.故选 D. 第 5 页 共 6 页 13.150在 RtABC中, CAB=45,BC=100 m, 所以AC=100 m. 在AMC中, MAC=75, MCA=60, 从而AMC=45, 由正弦定理, 得, 因 此AM=100 m. 在 RtMNA中 ,AM=100 m, MAN=60, 由=sin 60 , 得MN=100=150(m). 14.解 (1)由正弦定理可得=2R=, =2R= (2) 由正弦定理可得, c=2. 由余弦定理可得2 2=a2+b2- 2abc
13、os 60 , 化为a 2+b2-ab=4. 又a+b=ab, (a+b) 2- 3ab=a 2b2- 3ab=4, 解得ab=4. ABC的面积S=absin C=4sin 60 = 15.C 如图 , 取BC的中点D, 连接PD, 则PD=4.设BD=x, 则PB=P C=由余弦定理可 得,(2x) 2=( )+() 2- 2() 2cos BPC, 解得x=3( 负值舍去 ).则B -,- 2 ,C,-2, 故BP,CP的中点都是f(x) 图象的对称中心. 16.解 (1)f(x)=sin x-2sin 2 +m=sin x-1+cos x+m =2sin-1+m. 依题意=3, =, 所以f(x)=2sin-1+m. 当x0, 时,sin1, 所以f(x) 的最小值为m. 依题意 ,m=0. 所以f(x)=2sin-1. (2) 因为f(C)=2sin-1=1, 所以 sin=1. 而, 所以解得C= 第 6 页 共 6 页 在 RtABC中 ,因为A+B=,2sin 2B= cos B+cos(A-C), 所以 2cos 2A-sin A-sin A=0, 解得 sin A= 因为 0sin A1, 所以 sin A=
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