六年级奥数总复习-教师版(一……六讲).pdf
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1、六年级奥数讲义 第 1 页 共 104 页 第一讲分数的速算与巧算 教学目标 本讲知识点属于计算大板块内容,分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型. 1、 裂项: 是计算中需要发现规律、利用公式的过程,裂项与通项归纳是密不可分的,本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找 通项进行解题的能力 2、 换元: 让学生能够掌握等量代换的概念,通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。 3、 循环小数与分数拆分:掌握循环小数与分数的互化,循环小数之间简单的加、减运算,涉及循环小数与分数的主要利 用运算定律进行简算的问题 4、通项归纳法 通项归纳法也要借助于代数,将算式化简,但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并
2、参与计算,使计算过程更加简 便,而通项归纳法能将“形似”的复杂算式,用字母表示后化简为常见的一般形式 知识点拨 一、裂项综合 (一)、 “裂差”型运算 (1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数,即 1 ab 形式的,这里我们把较小的数写在前面,即ab,那么有 1111 () abba ab (2) 对于分母上为3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数,即: 1 (1)(2)nnn , 1 (1)(2)(3)nnnn 形式的,我们有: 1111 (1)(2)2(1)(1)(2)nnnnnnn 1111 (1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)nnnnnnnnnn 裂差型裂项的三大关键
3、特征: (1)分子全部相同,最简单形式为都是1 的,复杂形式可为都是x(x 为任意自然数 ) 的,但是只要将x 提取出来即可转 化为分子都是1 的运算。 (2)分母上均为几个自然数的乘积形式,并且满足相邻2 个分母上的因数“首尾相接” (3)分母上几个因数间的差是一个定值。 (二)、 “裂和”型运算: 常见的裂和型运算主要有以下两种形式: (1) 11abab abababba (2) 2222 ababab abababba 裂和型运算与裂差型运算的对比: 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”,裂和型运算的题目不仅有“两两抵消” 型的,同时还有转化为 “分 数凑整”型的,以达到简
4、化目的。 三、整数裂项 (1) 122334.(1)nn 1 (1)(1) 3 nnn (2) 1 123234345.(2)(1)(2)(1) (1) 4 nnnnnn n 二、换元 解数学题时,把某个式子看成一个整体,用另一个量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法换元的实质是转 化,将复杂的式子化繁为简 三、循环小数化分数 1、循环小数化分数结论: 纯循环小数混循环小数 分子循环节中的数字所组成的数 循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不循环部分数字 所组成的数的差 六年级奥数讲义 第 2 页 共 104 页 分母n 个 9,其中 n 等于循环节所含的数字个数 按循环位数添9,不循环
5、位数添0,组成分母,其中9 在 0 的左侧 0. 9 a a; 0. 99 ab ab; 1 0.0 9910990 abab ab; 0. 990 abca abc,, 2、单位分数的拆分: 例: 1 10 = 11 2020 = 11 = 11 = 11 = 11 分析:分数单位的拆分,主要方法是: 从分母 N的约数中任意找出两个m和 n, 有: 11() ()()() mnmn NN mnN mnN mn = 11 AB 本题 10 的约数有 :1,10,2,5.。 例如:选 1 和 2,有: 11(12)1211 1010(12)10(12)10(12)3015 本题具体的解有: 11
6、1111111 1011110126014351530 例题精讲 模块一、 分数裂项 【例1】 11111 123423453456678978910 【解析】原式 1111111 312323423434578989 10 111 312389 10 119 2160 【巩固】 333 1234234517181920 【解析】原式 1111111 3(.) 3123234234345171819181920 113 192011139 1231819201819206840 【例2】计算: 5719 1232348910 【解析】如果式子中每一项的分子都相同,那么就是一道很常见的分数裂项的
7、题目但是本题中分子不相同,而是成等差 数列,且等差数列的公差为2相比较于2,4,6,, 这一公差为2 的等差数列 ( 该数列的第 n个数恰好为n的 2 倍) ,原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3,所以可以先把原式中每一项的分子都分成3 与另一个的和 再进行计算 原式 3234316 1232348910 111128 32 1 2323489 1012323489 10 1111111111 32 212232334899102334910 311111111 2 2129 102334910 31111 2 2290210 711 4605 23 15 也 可 以 直 接 进 行 通
8、项 归 纳 根 据 等 差 数 列 的 性 质 , 可 知 分 子 的 通 项 公 式 为23n, 所 以 六年级奥数讲义 第 3 页 共 104 页 2323 121212 n nnnnnnnn ,再 将每 一项 的 2 12nn 与 3 12nnn 分别加在一起进行裂项后面的过程与前面的方法相同 【巩固】计算: 571719 1155 234345891091011 () 【解析】本题的重点在于计算括号内的算式: 571719 23434589 109 1011 这个算式不同于我们 常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列,而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情 况所以应当
9、对分子进行适当的变形,使之转化成我们熟悉的形式 观察可知523,734,, 即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和,所以 571719 23434589 1091011 2334910 23434591011 111111 342445351 01 191 1 111111 3445101124359 11 11111111111111111 344510112243546810911 1111111 3112210311 8128 332533 31 55 所以原式 31 1155651 55 【巩固】计算: 34512 1245235634671011 13 14 【解析】观察可知原式每
10、一项的分母中如果补上分子中的数,就会是 5 个连续自然数的乘积,所以可以先将每一项的分子、 分母都乘以分子中的数即: 原式 2222 34512 1234523 45 63456710 11 12 13 14 现在进行裂项的话无法全部相消,需要对分子进行分拆,考虑到每一项中分子、分母的对称性,可以用平方差公 式: 2 3154, 2 4264, 2 5374, 【解析】原式 2222 34512 123452345 63456710 11 12 13 14 15426437410144 1234523456345671011 121314 1111 23434545611 1213 4444
11、1234523456345671011 121314 1111111 22334344511 121213 111111 12342345234534561011 121311 121314 11111 2231213123411 1213 14 1111 122 12132411121314 1771 811 121314 11 8211 14 1175 8308616 六年级奥数讲义 第 4 页 共 104 页 【例3】 12349 223234234523410 【解析】原式 12349 223234234523410 213141101 22323423410 1111111 1 22
12、23232342349234910 13628799 1 2349 103628800 【例4】 1111 11212312100 【解析】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单的项开始入手, 通过公式的运算寻找规律。从第一项开始,对分母进行等差数列求和运算公式的代入有 112 (1 1)1 112 2 , 112 (12)2 1223 2 ,, , 原式 2222120099 2(1)1 122334100101101101101 【巩固】 23450 1(12)(12)(123)(123)(1234)(12349)(12350) 原式 2 13
13、 3 36 4 6 10 5 1015 , 50 12251275 ( 1 1 1 3 )( 1 3 1 6 )( 1 6 1 10 )( 1 1225 1 1275 ) 1274 1275 【巩固】 234100 1(12)(12)(123)(123)(1234)(1299)(12100) 【解析】 211 1(12)112 , 311 (12)(123)12123 ,, , 10011 (1299)(12100)129912100 ,所以 原式 1 1 12100 15049 1 50505050 【巩固】 2310 1 112(12)(123)(1239)(12310)() 【解析】原式
14、 23410 1() 13366 104555 1111111 11 3366104555 1 11 55 1 55 【例5】 222222 111111 31517191111131 . 【解析】这题是利用平方差公式进行裂项: 22 ()()ababab, 六年级奥数讲义 第 5 页 共 104 页 原式 111111 ()()()()()() 2446688 1010121214 1111111111111 () 244668810101212142 1113 () 214214 【巩固】计算: 22222222 35715 12233478 【解析】原式 22222222 2222222
15、2 21324387 12233478 2222222 1111111 1 2233478 2 1 1 8 63 64 【巩固】计算: 22222 22222 3151711993119951 3151711993119951 【解析】原式 22222 22222 11111 3151711993119951 222 997 244619941996 111111 997 244619941996 11 997 21996 997 997 1996 【巩固】计算: 2222 12350 133 55799 101 【解析】式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大,但是如果将其中的分母根据平方差
16、公式分别变为 2 21, 2 41, 2 61,, , 2 1001,可以发现如果分母都加上1,那么恰好都是分子的4 倍,所以可以先将原式乘以4 后 进行计算,得出结果后除以4 就得到原式的值了 原式 2222 2222 1246100 42141611001 2222 11111 1111 42141611001 11111 50 41 3355799101 111111111 501 423355799101 111 501 42101 150 50 4101 63 12 101 【巩固】 224466881010 1 3355779911 【解析】(法 1) :可先找通项 2 22 11
17、 11 11(1)(1) n n a nnnn 原式 11111 (1)(1)(1)(1)(1) 13355779911 1155 5(1)55 2111111 (法 2) :原式 288181832325050 (2)()()()() 3355779911 六年级奥数讲义 第 6 页 共 104 页 61014185065 21045 3579111111 【例6】 111 319992 111111 1(1)(1)(1)(1)(1) 223231999 【解析】 11 211 11 2() 1112 (1)(2)12 (1)(1)(1) 2312 nn n nnnn n 原式 111111
18、11 ()()()()2 23344519992000 1000 999 1000 1 1 【巩固】计算: 111 1 12123122007 【解析】先找通项公式 1211 2() 12(1)1 n a nnnnn 原式 111 1 2(21)3(31)2007(20071) 222 2222 12233420072008 2007 2 2008 2007 1004 【巩固】 1111 33535735721 【解析】先找通项: 111 1 35212 213 2 na nn n nn , 原式 111111 132435469 111012 111111 1 33591124461012
19、111111 21112212 175 264 【例7】 12123123412350 2232342350 【解析】找通项 (1) (1) 2 (1) (1)2 1 2 n nn nn a nn nn 原式 2334455623344556 410182814253647 , 通过试写我们又发现数列存在以上规律,这样我们就可以轻松写出全部的项,所以有 原式 23344556484949505051 14253647475048514952 35023 2 15226 【例8】 2222222222222 3333333333333 11212312341226 11212312341226
20、【解析】 222 22333 (1)(21) 12221211 6 () (1)123(1)31 4 n nnn nn a nnnnnnn 原式 = 211111111 ()()()() 31223342627 = 2152 (1) 32781 六年级奥数讲义 第 7 页 共 104 页 【巩固】 222 111 111 2131991 【解析】 22 22 1(1)(1) 1 (1)1(1)1(2) n nn a nnnn 原式 223398989999 (21)(21)(31)(31)(981)(981)(991)(991) 223344559898999929949 1 3 142536
21、4999710098110050 【例9】计算: 222 222 2399 2131991 【解析】通项公式: 22 11 11112 n nn a nnn n , 原式 22334498989999 (21)(21)(31)(31)(41)(41)(981)(981)(991)(991) 2233445598989999 3 1425364999710098 22334498989999 132435979998100 29999 110050 【巩固】计算: 222 222 1299 11005000220050009999005000 【解析】本 题 的 通 项 公 式 为 2 2 1
22、0 05 0 0 0 n nn , 没 办 法 进 行 裂 项 之 类 的 处 理 注 意 到 分 母 2 100500050001005000100100100nnnnnn , 可 以 看 出 如 果 把 n 换 成 100n的 话 分 母 的 值 不 变 , 所 以 可 以 把 原 式 子 中 的 分 数 两 两 组 合 起 来 , 最 后 单 独 剩 下 一 个 2 2 50 5050005000 将项数和为100 的两项相加,得 22 2 22 2222 100100220010000 2 100500010050001005000 100100 1005000 nnnnnn nnnn
23、nn nn , 所以原式249199 (或者,可得原式中99 项的平均数为1,所以原式19999) 【例 10 】 222222 1021 1 21 1 1 1 2120 1 54 1 32 1 24 【解析】虽然很容易看出 32 1 3 1 2 1 , 54 1 5 1 4 1 , , 可是再仔细一看,并没有什么效果,因为这不象分数裂项 那 样 能 消 去 很 多 项 我 们 再 来 看 后 面 的 式 子 , 每 一 项 的 分 母 容 易 让 我 们 想 到 公 式, 于 是 我 们 又 有 )12() 1( 6 321 1 2222 nnnn 减号前面括号里的式子有10 项,减号后面括
24、号里的式子 也恰好有 10 项,是不是“一个对一个”呢? 222222 1021 1 21 1 1 1 2120 1 54 1 32 1 24 211110 1 532 1 321 1 6 2120 1 54 1 32 1 24 212220 1 564 1 342 1 24 2120 1 54 1 32 1 24 212220 1 2120 1 564 1 54 1 342 1 32 1 24 2220 1 64 1 42 1 24 1110 1 32 1 21 1 6 11 1 16 11 60 六年级奥数讲义 第 8 页 共 104 页 模块二、换元与公式应用 【例11】计算: 3333
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