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1、关于平方差公式的探究运用 白银市平川区共和中学梁沛华730914 关键词:平方差公式 摘要:探究运用 平方差公式是整式的乘除一章的重要内容,也是今后学习 数学的重要工具,要学好这部分知识,应注意:平方差公式既可 正向运用,也可逆向运用,在多项式的乘法;分解因式;分母有 理化等许多方面都有很重要的作用。初一同学在学过平方差公式 之后,对于形式和公式结构相同的多项式乘法运算,运用公式不 会有太大困难,但如果形式稍一变化,就不知如何下手,这里就 此探讨一下应如何正确运用该公式。 一要认清公式的结构特征。 掌握公式的结构特点是正确使用公式的前提。平方差公式: (a+b)(a-b)=a 2-b2 的结构
2、特点是:左边是两个二项式相乘,而且 这两个二项式中有一项完全相同,它就是“a” 。 另一项互为相反数, 不考虑符号它就是“ b” 。右边是相同项“ a” 的平方减去相反项b 的 平方。认清公式结构特征,对于符合公式结构的式子,知道谁作a 谁作 b 就可写出结果如: 例 1:计算( -3-4a) (3-4a) 分析:两个二项式中, -3 与 3 互为相反数, 故 3 是公式中的 b, -4a 是同一数,应是公式中的a,于是有:原式 =(-4a) 2-32=16a2-9。 上式如果按一般作法, 先提出第一个二项式中的负号变为和平 方差公式结构完全相同的形式再运用平方差公式计算,就没有上 面的作法这
3、样简便,再如: 例 2:计算( 2m+3n)(-3n+2m) 分析:两个二项式中都有2m,故 2m 就是 a,3n 与-3n 互为相反 数,故 3n就是 b,所以有:原式 =(2m) 2-(3n)2=4m2-9n2。 例 3: 计算: 分析:此题是两个二项式相乘, 且这两个二项式中各有一完全 相同的项,就是 a,另外一项与互为相反数,就是b,符 合平方差公式的结构特点,因此,可用平方差公式进行计算。解: 原式 二注意公式中字母的意义。 乘法公式中的字母既可以代表任意的数,又可以代表代数式, 只有注意到字母所表示的意义的广泛性,就能扩大乘法公式的应 用范围。公式中的a,b既可表示数字,也可表示单
4、项式或多项式。 当 a,b表示为多项式时, 一定要搞清谁是 a谁是 b, 然后对号入座 .。 例 4:计算: (m+3n-2)(m-3n-2) 分析:两多项式中的m,-2,完全相同,因此,把(m-2)看作 a 而 3n 与-3n 互为相反数,因而3n就是 b。 原式=(m-2) 2-(3n)2=m2-4m+4-9n2 例 5:计算: (2x-3y+2) (2x+3y-2) 分析:2x 是 a,-3y 与 3y,2 与-2 互为相反数,并且 -3y+2=- (3y-2)所以( 3y-2)是 b 原式=2x-(3y-2)2x+(3y-2) =(2x) 2-(3y-2)2 =4x 2-(9y2-12
5、y+4) =4x 2-9y2+12y-4 例 6:计算: (a-b+c-d)(-a-b-c-d) 分析:两多项式中,都有 -b-d 因次 a 就是 (-b-d) 而 a 与-a,c与-c 互为相反数,因此就是(a+c) 原式=(-b-d)+(a+c)(-b-d)-(a+c) =(-b-d) 2-(a+c)2 =b 2+2bd+d2-a2-2ac-c2 三计算中注意创造条件灵活使用公式。 有些题目,不能直接套用公式,但是对原题目进行适当变形, 使之具备公式的结构特点后,便可利用公式解。 例 7:计算: 分析:这道题项数较多,数值较大,各个括号逐一计算,比较 麻烦,令人望而生畏,而逆用平方差公式,
6、将各括号展开交错约 分可使问题巧妙获解。 原式= = 例 8:计算: 分析: 若先算平方,再求差,则复杂繁琐,而将看作, 将看作,逆用平方差公式,则问题化繁为简,事半功倍。 = 例 9:计算: 分析:先算平方和积,再求差,比较麻烦,而将变 形为,再运用平方差公式,则问题迅速获解 = 例 10: 计算: 分析:本题中的两个因式不符合乘法公式的特点,因而不能应 用平方差公式来解。但若将本题两个因式中的项分别进行拆项完 形:将前一因式的“”拆成“”,将后一因式的“ 5”拆 成“3+2”,便可用平方差公式来计算。 解:原式 四注意乘法公式的逆用。 不仅要掌握乘法公式的正向应用,还要注意掌握公式的逆向应
7、 用,乘法公式均可逆用,乘法公式的逆用常用的是因式分解,可 以巧妙地解决许多非负数问题。 例 11:计算: 分析:本题为两个三项式的平方差,如果先去括号,再计算, 则较繁 . 仔细观察可以发现两个多项式,若逆用公式,则有的项相 消,则可简化计算 . 解: 五注意容易出现错误的地方。 如果公式应用不好会引起诸多方面的错误,下面就同学们在学 习的运用的过程中出现的问题举例说明。 .平方差与完全平方公式混淆。 1、( x 3y) 2 = x2 - 9y2 2、( 2x + 3y) 2 = 4x2 + 9y2 错因:这两个式子都是完全平方公式,应等于它们的平方和, 加上(或减去)它们的积的2 倍。 正
8、确解法: 1、 2、 . 平方差公式结构特点模糊。 ( m + 3n ) ( -m - 3n ) = m 2 - 9n2 错因:平方差公式左边必须是两式中一项相同,一项互为相反 数。m+ 3n与-m - 3n两项都互为相反数,此题不能用 平方差公式。应用完全平方公式。 正确解法: . 公式计算中项的概念不够明确,漏掉系数。 ( 2x + y ) ( 2x y ) = 2x 2 - y2 错因:式子在计算中都没有明确“项”的概念,包括字母前 面的系数,因此在平方时漏掉了系数。应是2x 与 y 这两项的平方 差。 正确解法: 六注意多看多做例题。 例 1:已 知 下 列 计 算 : (x-y)(-
9、x-y); (-x+y)(x-y); (-x-y)(x+y);(x-y)(y-x).其中能利用公式 (a+b)(a-b)=a 2-b2 计 算的有 _. 【错误】能利用公式计算的有: . 【分析】公式为 :(a+b)(a-b)=a 2-b2, 即两个数的和与两个数的差的 积, 等于这两个数的平方差 . 如果两个多项式相乘能利用公式 (a+b)(a-b)=a 2-b2, 则必须符合公式的特征 . 已知中的 -y 相当公 式中的 a, x 相当于公式中的b, 所以可以利用公式 , 而、都不 符合公式的特征,即不是两个数的和与两个数的差的形式,所以 不能利用公式 (a+b)(a-b)=a 2-b2.
10、 【正确】填 . 例 2 计算:(2x-3y)(2x+3y). 【错】 (2x-3y)(2x+3y)=2x 2-3y2. 【分析】 公式(a+b)(a-b)=a 2-b2 中的 a、b 可以是一个具体的数字 或字母,也可以是一个单项式或多项式. 已知式子中的 2x 和 3y 都 是单项式,相当于公式中的a、b,所以在计算时应用括号括起来. 【正确】 (2x-3y)(2x+3y)=(2x) 2-(3y)2=2x2-9y2. 例 3 运用公式计算 : (-x-3y)(x-3y). 【错误】 (-x-3y)(x-3y)=(-x) 2-(3y)2=x2-9y2. 【分析】利用公式 (a+b)(a-b)
11、=a 2-b2 计算一定要“对号入座”即找 准公式中的 a、b,这里的 -3y 相当公式中的 a,而 x 则相当于公式 中的 b. 错解在把 a、b 的位置颠倒了 . 【正确】 (-x-3y)(x-3y)=(-3y-x)(-3y+x)=(-3y) 2-x2=9y2-x2. 例 4 计算:(3x+4)(3x-4)-(x+2)(x-2). 【错误】 (3x+4)(3x-4)-(x+2)(x-2)=9x 2-4-x2-2=8x2-6. 【分析】在错解中有三处错误 : (1)计算(3x+4)(3x-4)时, 没能正 确地使用公式 , 结果没有将 4 平方,(2) 计算(x+2)(x-2)时也没有将 数
12、字 2 平方;(3) 出现符号错误 . 【正确】 (3x+4)(3x-4)-(x+2)(x-2)=(3x) 2-42-(x2-22) =9x 2-16-x2+4=9x2-12. 例 5 计算 (-x 2+5y)(-x2-5y). 【错误】 (-x 2+5y)(-x2-5y)=-(x2)2-(5y)2=-x4-25y2. 【分析】错解在将 x 2 当成了公式中的 a, 实际上是 -x 2 相当于公式 中的 a. 【正确】 (-x 2+5y)(-x2-5y)=(-x2)2-(5y)2=x4-25y2. 例 6 计算(2x+y+z)(2x-y-z). 【错误】 (2x+y+z)(2x-y-z)=(2
13、x+y)+z(2x-y)-z =(2x) 2-y2-z2=4x2-y2-z2. 【分析】本题错解在分组中, 将前两项分成一组 , 误认为可以利用 公式(a+b)(a-b)=a 2-b2, 而实际上 (2x+y)+z(2x-y)-z 并不满足 公式(a+b)(a-b)=a 2-b2. 所以这种分组是错误的 . 【正确】 (2x+y+z)(2x-y-z)=2x+(y+z)2x-(y+z) =(2x) 2-(y+z)2=4x2-(y2+2yz+z2)=4x2-y2-2yz-z2. 总之,认清公式结构是正确运用公式的关键。对于形式是两 个多项式的乘积,且两个多项式中一部分完全相同,剩余部分可 化为互为相反数的关系的多项式乘法,就可运用平方差公式直接 写出计算结果。在运用公式时,一定要认真观察分析,搞清公式 结构,掌握含义,创造条件灵活应用公式,多做练习,注意公式 逆用,多看例题,防止出错。这样才能正确灵活地运用公式给计 算带来方便,且为今后继续学习运用公式打好坚实的基础。 联系电话: 13893011435 作者:梁沛华2013/11/18
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