初中数学三角形的“四心”例题讲解.pdf
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1、第1 / 4页 初中数学三角形的“四心”例题讲解 知识点、重点、难点 三角形的外心、内心、重心及垂心(以下简称“四心”)是新颁发的初中数学竞赛大纲特别加强的内容,是初 中数学竞赛的热点。 1.外心 三角形三条垂直平分线的交点叫三角形的外心,即该三角形外接圆的圆心, ABC 的外心通常用字母O 表示。 它具有如下性质: (1)外心到三角形三顶点的距离相等这个距离就是外接圆的半径; (2)在 ABC 中,若 A 是锐角,则BOC=2A;若 A 是钝角,则 BOC360 2A. 2.内心 三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心,即是该三角形内切圆的圆心,ABC 的内心一般用字母I 表 示它具有如下
2、性质: (1)内心在 ABC 三边距离相等,这个相等的距离是ABC 内切圆的半径; (2)若 I 是 ABC 的内心,则 111 90,90,90 222 BICACIABAIBC; (3)若 I 是 ABC 的内心, AI 延长线交 ABC 外接圆于D,则有 DI = DBDC,即 D 为 BCI 的外心。 3.重心 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心,它具有如下性质: (1)重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2 倍; (2)若 G 是 ABC 的重点,则 1 3 GBCGCAGABABC SSSS; (3)重心是到三角形三顶点的距离的平方和最小的点。 4.垂心 三角形三条高所在直线的交
3、点叫做三角形的垂心“如图”,它具有如下性质: (1)图中有六组四点共圆(如A、F、H、E;A、B、D、E 等)及三组(每组四个)相似 直角三角形;特别的AHHD=BHHE=CHFH; (2)垂心 H 关于三边的对称点均在ABC 的外接圆上; (3) H、A、B、C 中任一点是另三点连成的三角形的垂心; (4) ABC 的内接三角形(即顶点在ABC 的边上)中,以垂足DEF 的周长最短。 例题精讲 例 1:如图,在ABC 中, AB=AC,延长 CA 到 P,再延长AB 到 Q,使 AP = BQ,求证: ABC 的外心 O 与 A、 P、Q 四点共圆。 分析一连结 AO、CO、PO、QO,要证
4、 O、A、P、Q 四点共圆,显然只要证P=Q.在 AQO 和 CPO 中,由 AB=AC,BQ=AP,得 AQCP,又 O 点是 ABC 的外心,故OAOC, OCP OAC.由于等腰三角形的外心必 在顶角的平分线上,所以 OAC OAQ.从而 OCP OAQ,故 AQO CPO,可得 CPO AQO.因此 O、 A、P、Q 四点共圆。 分析二O 是 ABC 的外心, 作 ABC 的外接圆O,并作 OH AB 于 H,OGAC 于 G,连结 OP、OQ(图略) 易 知 OH OG,BH = AG,从而 RtOQHRtOPG,于是 P=Q,故 O、P、A、Q 四点共圆。 第2 / 4页 例 2:
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