初中数学乘法公式.pdf
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1、第 1 页 共 16 页 乘法公式 概念总汇 1、平方差公式 平方差公式:两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差,即 (a+b) (a-b)=a 2 - b 2 说明: (1)几何解释平方差公式 如右图所示:边长a 的大正方形中有一个边长为b 的小正方形。 第一种:用正方形的面积公式计算:a 2b2; 第二种:将阴影部分拼成一个长方形,这个长方形长为(ab) ,宽为( ab) , 它的面积是:(ab) (ab) 结论:第一种和第二种相等,因为表示的是同一块阴影部分的面积。 所以: a 2b2( ab) (ab) 。 (2)在进行运算时,关键是要观察所给多项式的特点,是否符合平方差公
2、式的形式,即只 有当这两个多项式它们的一部分完全相同,而另一部分只有符合不同,才能够运用平方差公 式。平方差公式的a 和 b,可以表示单项式,也可以表示多项式,还可以表示数。应用平方 差公式可以进行简便的多项式乘法运算,同时也可以简化一些数字乘法的运算 2、完全平方公式 完全平方公式:两个数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们积的两 倍,即 (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 , (a-b) 2 =a 2 - 2ab+b 2 这两个公式叫做完全平方公式。平方差公式和完全平方公式也叫做乘法公式 说明: (1)几何解释完全平方(和)公式 如图用多种形式计算右图的面积 第一
3、种:把图形当做一个正方形来看,所以 它的面积就是: ( ab) 2 第二种:把图形分割成由2 个正方形和2 个相同的 a b a b a b b a 第 2 页 共 16 页 长方形来看,其中大正方形的的边长是a,小正方形 的边长是b,长方形的长是a,宽是 b,所以 它的面积就是:a 2ababb2 a2 2abb2 结论:第一种和第二种相等,因为表示的是同一个图形的面积 所以: (ab) 2a22abb2 (2)几何解释完全平方(差)公式 如图用多种形式计算阴影部分的面积 第一种:把阴影部分当做一个正方形来看,所以 它的面积就是: ( a-b) 2 第二种:把图形分割成由2 个正方形和2 个
4、相同的 长方形来看, 长方形小正方形大正方形阴影 SSSS2- 其中大正方形的的边长是a,小正方形的边长是b,长方形的长是(a-b) ,宽是 b,所以 它的面积就是: 2222 22bababbaba 结论:第一种和第二种相等,因为表示的是同一个图形的面积 所以: 222 2bababa (3)在进行运算时,防止出现以下错误:(a+b) 2 =a 2 +b 2 , (a-b) 2 =a 2 -b 2 。要注意符号 的处理, 不同的处理方法就有不同的解法,注意完全平方公式的变形的运用。完全平方公式 的 a 和 b,可以表示任意的数或代数式,因此公式的使用就不必限于两个二项式相乘,而可 以扩大到两
5、个多项式相乘,但要注意在表示成完全平方公式的形式才能运用公式,完全平方 公式有着广泛的应用,尤其要注意完全平方公式和平方差公式的综合应用 方法引导 1、乘法公式的基本计算 例 1利用平方差公式计算: (1) (3x5y) (3x 5y) ; (2) (0.5ba) (-0.5ba) (3) (-mn) (-mn) 难度等级: A 第 3 页 共 16 页 解: (1)(3x5y)(3x5y)(3x) 2(5y)29x225y2 (a b) (a b)a 2 b2 (2) (0.5ba) (-0.5b a)( a0.5b) (a 0.5b) a 20.25b2 ( ab) (ab) a 2 b2
6、 (3) (mn) (mn)(m) 2n2m2n2 (ab) (ab) a 2 b2 【知识体验】 仔细观察例题, 看出两个多项式之间的相同点和不同点,找到两个多项式 的第一项相同, 而第二项互为相反数,符合运用平方差公式的条件,利用公式解题,得出结 果 【解题技巧】 平方差公式的基本在于找到两个多项式的相同项和不同项,相同项就是a, 不同项就是b 和- b,所以多项式中项的位置颠倒时,可以先调换位置,再运用平方差公式 【搭配练习】 用平方差公式计算 (1) (0.25xy) (0.25xy) (2) (2x3y) (2x3y) (3) (2x5) (2x5)( 2x1) ( 2x1) 例 2
7、利用完全平方公式计算 (1) (2a3) 2 (2) (0.5m0.2n) 2 (3) (-2x3y) 2 (4) (13x) (3x-1) 难度等级: A 解: (1)91243322232 2222 aaaaa (ab) 2 a2 2abb2 (2) 22 222 04.02.025.02.02.05 .025.02.05.0nmnmnnmmnm 第 4 页 共 16 页 2 ba 2 aab2 2 b (3)第一种解法: 22222 91243322232yxyxyyxxyx 2 ba 2 aab2 2 b 第二种解法: 2222222 912433222323232yxyxyyxxyx
8、yxyx (ab) 2 a 2 2abb 2 (4)13131331xxxx 1691691132313 22222 xxxxxxx 2 ba 2 aab2 2 b 【知识体验】 仔细观察例题, 题目都应该符合完全平方的形式,然后根据公式写出结果。 第一步确定首尾,分别平方;第二步确定中间项的系数和符号,得出结论。 【解题技巧】 第三题给出了两种解法,第二解法实质上是利用了乘方的性质,利用互为 相反数的幂可以互相转化,改变了原本的形式,便于后续利用完全平方和的公式写出结果, 第一种虽然也可以得出正确结果,但涉及到符号问题较多,容易出现错误。 第四题表面上看 上去不可以用乘法公式,但仔细观察可以
9、发现,这两个多项式的每一项只有符号不同,其他 都相同, 那么也可以利用乘方的性质,把式子进行转化,后续得出的就是一个带有负号的完 全平方式,但有一点还要注意的是 2 13x中,应该先按照完全平方公式展开,再去掉负 号 【搭配练习】 第 5 页 共 16 页 利用完全平方公式计算 (1) 2 23a(2) 2 34cb (2) 2 3 .01.0qp(4)mnnm5775 2、简便计算 例 3利用平方差公式简便计算 (1)10397( 2)59.8 60.2 难度等级: A 解: (1)10397( 1003) ( 1003) 1002321000099991 (2)59.8 60.2( 600
10、.2) ( 600.2) 60 20.223600 0.043599.96 【知识体验】既然是简便计算,就有巧算的变法,把两个因数分别进行改写,写成相同 的两个数的和与差相乘的形式,利用平方差公式求解。 【解题技巧】如果可以利用公式,那么103 和 97 就分别是相同的两个数的和与差,那 么(103+97)2 得到的就是第一个数,即公式中的a, (103- 97)2 得到的就是第二个数, 即公式中的b 【搭配练习】 利用平方差公式简便计算 (1)8999011 (2)982 (3) 8 7 13 8 1 14 例 4利用乘法公式简便计算 (1) 2 997( 2) 2 1009(3)99101
11、94 2 难度等级: A 解: (1) 9940099600010000003310002100031000997 2222 (2) 101808181180001000000819100021000910001009 2 2 2 第 6 页 共 16 页 (3)1100110061009910194 2 2 1163 1361200 1100361200100 1100661002100 22 2222 【知识体验】 解题时要注意区分使用哪一种公式,平方差公式一定要是两数和与两数差 乘积的形式,完全平方公式一定是两数和或差的平方形式 【解题技巧】 平方差公式是两个不同的数或式子相乘,完全平方
12、公式是一个数或式子平 方的形式,当这两种公式混合在一起的时候要注意区别,分清属于哪一种 【搭配练习】 利用乘法公式简便计算 99721001 999 例题讲解 (一)题型分类全析 例 1:下列计算正确的是() A.xxxxxx41281324 232 B. 3322 yxyxyx C. 2 1611414aaaD. 22 2 422yxyxyx 难度等级: A 【思维直现】根据单项式与多项式的乘法法则,(- 4x) (2x 2+3x- 1)=- 8x3- 12x2+4x,所 以 A 错;利用多项式乘法法则,计算(x+y)(x 2+y2),得 x3+xy2+x2y+y3,所以 B 也不对; 利用
13、平方差公式,有(-4a-1) (4a-1)=(-1-4a)(-1+4a)=(-1)2-(4a)2=1-16a2,所以 C 是正确的; 由完全 平方公式,得 (x-2y)2=x2-4y+4y2,所以 D 错. 因此,选C. 解: C 【阅读笔记】 整式的乘法包括幂的乘法,单项式与单项式的乘法,单项式与多项式的乘 法,多项式与多项式的乘法,乘法公式;在解决问题时,要对号入住,看到题目,就要想到 用什么样的法则。 【题评解说】 本题是常规题, 都是考察学生的基本概念和基本法则。在做题时可以每道 都做一遍,验证正确或错误的选项。 第 7 页 共 16 页 【建议】 如果遇到无法确定的时候,就说明知识点
14、没有掌握清楚,此时的做题原则,就 是排除法,先选出与待选答案相反结论的选项,在排查剩余选项。 【搭配练习】 1、下列关系式中,正确的是( ) A.( ab) 2=a2- b2 B.( a+b)( a - b)= a 2-b2 C. (a+b)2= a 2+b2 D. (a+b) 2= a2-2ab+b2 2、下列计算正确的是( ) A.( a+3b)( a- 3b)= a2- 3b2 B.(- a+3b)( a- 3b)=- a2- 9b2 C.(- a- 3b)( a- 3b)=- a2+9b2D.(- a- 3b)( a+3b)=a2- 9b2 例 2:多项式14 2 x加上一个单项式后,
15、使它能成为一个整式的完全平方,则加上的 多项式可以是(填上你认为正确的一个即可,不必考虑所有的可能情况) 难度等级: B 【思维直现】根据完全平方公式(ab)2=a 22ab+b2 的特点,若14 2 x表示了 a 2+b2 的 话,则有 a=2x,b=1,所以, 缺少的一项为2ab=2(2x) 1=4x,此时,14 2 x4x=(2x 1)2;如果认为14 2 x表示了 2ab+b 2 的话,则有 a=2x2,b=1,所以,缺少的一项为a 2= (2x) 2= 4x4,此时, 4x4+ 14 2 x=(2x 2+1)2,从另外一个角度考虑, “一个整式的完全平方”中所 指的“整式”既可以是上
16、面所提到的多项式,也可以是单项式. 注意到 4x2=(2x)2,1=12,所 以,保留二项式 14 2 x中的任何一项,都是“一个整式的完全平方”,故所加单项式还可 以是 -1 或者- 4x 2,此时有 14 2 x-1=4x 2=(2x)2,或者 14 2 x-4x 2=12. 综上分析,可知所加 上的单项式可以是. 解: 4x、4x 4、-1 或 - 4x2 【阅读笔记】 成为一个整式的完全平方,并不一定指的是多项式形式的完全平方,还有 可能是单项式的完全平方。因为整式是单项式和多项式的统称。虽然经常见到的多项式形式 的完全平方,但单项式的完全平方也是成立的 【题评解说】 本题是开放性的题
17、目,主要考察学生对于完全平方公式的熟悉程度。如果 能把所有的情况都想清楚,当然更好。 【建议】题目的要求一定要看清楚,只要填写正确的一个即可,其他情况不做强制要求。 【搭配练习】 第 8 页 共 16 页 若一个多项式的平方的结果为4a2+12ab+m2, 则m=( ) A. 9b2B.3b2C. 3bD. 3b 例 3 计算: (1) 2 1 4 1 2 1 2 aaa (2)zyxzyxzyxzyx (3) 2 23cba 难度等级: B 【思维直现】 仔细观察式子, 都可以利用平方差公式和完全平方公式。在使用之前,要 运用乘法的交换律和加法的结合律,还需要用到添括号法则,把式子变成符合公
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