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1、数学试卷第 1 页(共 6 页) 2 0 1 4 年 科 学 素 养 测 试 数 学 试 题 【卷首语】 亲爱的同学们, 欢迎参加一六八中学自主招生考试,希望你们凝神静气,考出水平! 开放的一六八中学热忱欢迎你们!本学科满分为150分,共 21 题;用时 120 分钟。 一、选择题(本大题共8 小题,每小题5 分,共 40 分) 1. 设非零实数x、y、z满足 042 032 zyx zyx ,则 xzyzxy zyx 222 的值为() A. 2 B. 2 1 C. 2 D. 1 2. 已知两直线kxkykkxy) 1(, 1 21 (k为正整数),设这两条直线与x轴所围 成三角形面积为 k
2、 s,则 2014321 ssss的值是() A. 2014 2013 B. 2015 2014 C. 2013 2014 D. 2015 1007 3. 有一正方体,六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、 6,有三个人从不同的角度观察的 结果如图所示 ,如果记 6 的对面的数字为 m, 2 的对面的数字为n, 那么nm2 的值为() A. 2B. 7 C. 4D. 6 4. 如图,已知 ABC 的面积为 36,点 D 在线段 AC 上,点 F 在 线段 BC 的延长线上,且4BCCF,四边形 DCFE 是平行四边 形,则图中阴影部分的面积为() A. 8 B. 6 C. 9 D. 12 5
3、. 设yx,max表示yx,两个数中的最大值,例如107,10max, 33 , 0max,则函数 第 4 题图 数学试卷第 2 页(共 6 页) 2,2maxxxy可以表示为() A. xy2B. )2(2 )2(2 xx xx y C. 2xyD. )2(2 )2(2 xx xx y 6. 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 作OMN, 其 中 三 个 顶 点 分 别 是O(0,0) , M(1,1) , N(x,y)22,22(yx,x,y 的值均为整数) ,则所作OMN不是直角三角形的概率 为() A. 5 2 B. 4 3 C. 5 3 D. 6 5 7. 如图,以半圆的一条弦BC(
4、非直径)为对称轴将弧BC折叠后与 直径AB交于点D,若 3 2 DB AD ,且10AB,则CB的长为 () A. 54B. 34C. 24D. 4 8. 矩形 ABCD 中,8cm6cmADAB,动点 E 从点 C 开始沿 CB 以 2cm/s 的速度 运动至 B 点停止,动点F 从点 C 同时出发沿CD 以 1cm/s 的速度运动至点D 停止如图 可得到矩形CFHE ,设运动时间为x(单位: s) ,此时矩形ABCD 去 掉矩形CFHE 后剩余部分的面积为y(单位: 2 cm),则能大致反映y 与 x 之间的函数关系的图象是下图中的() O y (cm 2) x(s) 48 16 4 6
5、A O y (cm 2) x(s) 48 16 4 6 B O y (cm 2) x(s) 48 16 4 6 C O y (cm 2) x(s) 48 16 4 6 D A D F C E H B (第 8 题图) OD C B A 第 7 题图 数学试卷第 3 页(共 6 页) 第 9 题图 二、填空题(本大题共7 小题,每小题5 分,共 35 分) 9. 如图,在梯形 ABCD 中, AD/BC,CE 是BCD的平分线,且ABCE,E 为垂足,BE=2AE, 若四边形AECD 的面积为 1,则梯形ABCD 的面积为 _; 10. 分解因式: 22 22nnmmnm_; 11. 已知ba,
6、为有理数,且满足ba33 4 21 ,则 b a=_; 12. 已知抛物线bxxy 2 2 1 经过点 A(4,0) ,设点 C(1,3) ,请在抛物线的对称轴上确 定一点 D,使得CDAD的值最大,则D 点的坐标为 _; 13. 若)(, 2121 xxxx是方程)( 1)(nmnxmx的两个根,则实数nmxx, 21 的大 小关系为 _; 14. 如图,点 D,E 分别是 ABC 的边 AC,AB 上的点,直线 BD 与 CE 交于点 F, 已知 CDF,BFE,BCF 的面积分别是 3,4,5,则四边形 AEFD 的面积是 _; 15. 如图,在ABC中,ABC和ACB的平分线相交于点O
7、,过点O作EFBC交 AB于E,交 AC于F,过点O作ODAC于D下列四个结论: 1 90 2 BOCA+; 以E为圆心、BE为半径的圆与以 F为圆心、 CF为半径的圆外切; 设ODmAEAFn,则mnS AEF 2 1 ; EF不能成为ABC的中位线 其中正确的结论是_ (把你认为正 确结论的序号都填上) E D B C A A D F C 第 15 题图 第 14题图 数学试卷第 4 页(共 6 页) 三、解答题(本大题共6 小题,共75 分) 16. ( 12 分) (1)已知y为实数,且2)3( 3 32 2 yy yy ,求23 2 yy的值; (2)babambamba199199
8、32253,求m的值。 17. ( 12 分) 已知三角形的三边长为三个连续的正整数,并且有一个内角为另一个内角的2 倍,求这个 三角形的三边长。 18. ( 12 分) 如图, 在直角三角形ABC 中, 30,35,90CBCB,点 D 从点 C 出发, 沿 CA 方向以每秒2 个单位的速度向点A 匀速运动,同时,点E 从点 A 出发沿 AB 方向以每 秒 1 个单位长的速度向B 匀速运动, 当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动。 设点 D、 E 运动的时间是t秒)0(t,过点 D 作BCDF于点 F,连接 DE、EF。 (1)四边形AEFD 能够为菱形吗?如果能,求出相应t的值;
9、如果不能,说明理由。 (2)当t为何值时,DEF为直角三角形?请说明理由。 第 18 题图 D C F B E A 数学试卷第 5 页(共 6 页) 19. ( 13 分) 如图 (1),在矩形ABCD 中,将矩形折叠,使点B 落在 AD (含端点)上,落点记为E,这 时,折痕与边BC 或边 CD(含端点)交与点F,然后再展开铺平,则以点B、 E、F 为顶 点的BEF称为矩形ABCD 的“ 折痕三角形 ” 。 (1)如图 (2),在矩形 ABCD 中,AB=2 ,BC=4 ,当它的 “ 折痕BEF” 的顶点位于边AD 的 中点时,画出 “ 折痕BEF” ,并求出点F 的坐标; (2) 如图 (
10、3), 在矩形 ABCD 中,AB=2 , BC=4, 该矩形是否存在面积最大的“ 折痕BEF” ? 若存在,求出点E 的坐标,若不存在,说明理由。 x y E C F D (B) O A (3) F x y E C D (B) O A (2) x y E C F D (B) O A (1) 数学试卷第 6 页(共 6 页) 20. ( 13 分) 某县城一楼盘一楼是车库(暂不销售),二楼至二十三楼均为商品房(对外销售),商 品房售价方案如下:第八层售价为3000 元 /米 2,从第八层起每上升一层,每平方米的售价 增加 40 元;反之,从第八层起楼层每下降一层,每平方米的售价减少20 元,已
11、知商品房 每套面积均为120 平方米,开发商为购买者制定了两种购房方案。 方案一:购买者先缴纳首付金额(商品房总价的30%) ,再办理分期付款(即贷款); 方案二:购买者若一次性付清所有房款则享受8%的优惠,并免收五年物业管理费(已知每 月物业管理费为a元) (1)请写出每平方米售价y(元 /米 2)与楼层 xxx,232(是正整数)之间的函数解析 式; (2)小王已筹到120000 元,若用方案一购房,他可以购买哪些楼层的商品房? (3)有人建议老李使用方案二购买第十六层,但他认为此方案还不如不免收物业管理费而 直接享受9%的优惠划算,你认为老李的说法正确吗?请说明理由。 21. ( 13 分) 如图,已知抛物线)0(3 2 acaxaxy与y轴交于点C,与x轴交与 A、B 两点, 点 A 在点 B 左侧,点 B 的坐标为( 1,0) ,OC=3OB 。 (1)求抛物线的解析式; (2)若点 D 是线段 AC 下方抛物线上的动点,求四边形ABCD 面积的最大值; (3)若点 E 在x轴上,点P 在抛物线上,是否存在以A、C、E、P 为顶点且以AC 为一边 的平行四边形?若存在,求点P的坐标,若不存在,请说明理由。 第 21 题图
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