圆周角定理拓展之角度问题的辅助圆构造.pdf
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1、第 1 页 共 7 页 九年级上半期专题课角度问题中的辅助圆构造教案 科 目数学课题专题:构造辅助圆 教 师周韧班级初三( 15)班时间2016.1110 学情分析 在本节专题课前,学生已经完整学习了圆的所有基本知识,掌握了圆的有关性质,而角度问 题是初中数学压轴题中一类比较困难的题型,本学段的学生对于直线形中常见的几何问 题形成了一些基本的解题策略,而利用辅助圆进行角度的转化是优于其他方式的,所以从 这个新的视角解决角度问题需要我们帮助学生进行归纳总结提升,而本节课想要达到的 目的 ,就是引导学生学会发现模型,利用模型构造辅助圆,并初步形成构造曲线形辅助线的 意识 . 教学目标 1、进一步巩
2、固圆的定义和性质以及圆周角定理; 2、感受利用辅助圆解决角度问题的优势; 3、能够从圆的“集合”定义出发,发现构造辅助圆的基本模型,发展到在图形中发现模 型从而构造辅助圆; 4、逐步建立从圆的观点看问题的意识,能够多角度认识事物,全面还原事物的本质. 教学重点利用辅助圆解决角度间的转化问题 教学难点回归圆的“集合”定义,发现图形中构造圆的模型 教学方法变式延伸,讲练结合、教师启发下的学生自主探究 教学用具几何画板,圆规,直尺 教学设计 教学过程设计说明 一、寻根溯源 我们先来看看这道我们熟悉的题目,引例(课本P88 习题) 如图, OA,OB,OC 都是 O 的半径, AOB=2BOC, 求证
3、: ACB=2BAC 1、学生完成证明后,画板中展示解答; 证明: OA,OB,OC 都是圆 O 的半径, 又弧 AB=弧 AB,弧 BC=弧 BC, AOB= 2ACB, BOC= 2BAC, 又 AOB= 2BOC, ACB= 2BAC. 一、 这是一道学生熟悉的题目,以此让 学生体会利用圆周角定理可以进 行角度转化, 并让学生初步感受圆 这一工具在转化角度时的方便与 准确。 C B A O 第 2 页 共 7 页 2、提问:在这道证明题中,证明的过程中用到了什么定理?而圆在这个 问题中发挥了怎样的作用?思路是怎样的? 生答:用到了圆周角定理,圆为本题提供了转化角的可能与便捷,思路是 利用
4、圆周角定理,将圆心角的条件转化为圆周角的结论从而得证。 二、启发思路 如图, OA=OB=OC , AOB=2BOC, 求证: ACB= 2BAC 1、提问:图形中有几个等腰三角形?分别是哪三个? 生答 :3 个, AOB, BOC, AOC; 2、思路引导:AOB 和 BOC 是两个等腰三角形的顶角,而ACB 和 BAC 又与 AOB 和 BOC 的底角有关,所以可以考虑利用顶角与底角 的关系来解决本题,请同学们完成证明; 3、三分钟后画板展示证明过程; 证明: OA=OB , OAB= OBA OAB= 180 2 AOB , 同理 OCA= OAC= 180 2 AOC , OCB= 1
5、80 2 BOC ACB= OCB-OCA= 2 AOCBOC = 2 AOB BAC= OAB-OAC= 2 AOCAOB = 2 BOC 又 AOB= 2BOC, ACB= 2BAC 4、提问:这个证明过程是不是稍微显得有些复杂呢?那么我们再来想想 有没有别的什么办法:再来看看这个图形与引例的图形,你有什么发现 吗? 生答 :比习题中少了个圆; 如果有这个圆, 这道题是不是就能像引例一样利用圆周角定理更快捷的解 决了呢?那根据这道题的条件我们可以让这个圆出现吗? 生答 :可以,因为OA=OB=OC ,所以 A,B,C 三点在以O 为圆心, OA 为半径的圆上; 请同学们添出辅助圆,并完成证
6、明; 证明: OA=OB=OC , A,B,C 在以 O 为圆心, OA 为半径的圆上, 弧 AB=弧 AB,弧 BC=弧 BC, AOB= 2ACB, BOC= 2BAC, 又 AOB= 2BOC, ACB= 2BAC. 5、引导:我们经常添加辅助线来解题,并且,以前所做的辅助线都是直 二、 本题可从两个方面入手解决:1.利 用等边对等角; 2.利用构造辅助圆 将问题转化为圆中圆周角与圆心 角的关系 . 设计本题期望达到的效果是:学生 习惯于利用前者, 但是前者的证明 方法繁杂且理解不易,而在引导之 后让学生有了引例中的方法意识, 让学生在权衡两种方法的优劣之 后感受图形中出现了可以构造辅
7、助圆的基本模型时, 利用圆的定义 构造辅助圆在角度转化问题的优 势,便捷且易于理解;初步让学生 尝到新方法的甜头.从而强化辅助 圆的意识 . 设置问题的目的在于引导学生还 原图形,并初步认识这个可以构造 辅助圆的基本模型; O A B C 第 3 页 共 7 页 线形,而通过这道题,我们发现,所添加的辅助线也可以是曲线形,初中 阶段,构造辅助圆就是曲线形辅助线的代表,请同学们尝试总结一下在图 形中发现了怎样的模型时可以构造辅助圆? 6、图形中出现了三条(及以上)有公共端点的相等线段这种模型时可以 构造圆,因为圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 7、为什么要构造辅助圆? 利用辅助圆可以方便的将
8、角的条件进行转化,将其转化至可以我们需要的 位置并解决问题. 三、思路应用 师:利用辅助圆解决角度问题在这两年的大型考试中屡有出现,我们选择 一些题目再来深化我们对于这种模型的理解与应用; 1、几何画板展示例题 (2016 屏东模拟) 已知 ABC 中,点 D 是点 A 绕着点 B 顺时针旋转60 得到的,过点D 作直线 DP,点 A 关于直线DP 的对称点为E,连接 AE, BE. (1)依题意补全图; (2)把直线 DP 绕着点 D 旋转一周, 求 AEB 的度数 . 师:请同学们用三角板和圆规在学案上将图形补充完整;巡视后通过画板 展示; 2、提问:问题(2)依然是求角度的问题,那么请大
9、家观察一下图形,图 中隐藏着相等长度的线段吗? 生答 :根据图形中的旋转和翻折,容易发现连接DE , DB后, DE=DA=DB , 所以由此我们能发现图形中的基本模型吗? 生答 :A,E,B 三点在以点D 为圆心, DA 为半径的圆上; 提问:这个辅助圆可以帮助我们转化角度吗? 设计本段小结的目的在于帮助学 生总结基本模型, 为什么可以利用 该模型构造辅助圆, 以及加强学生 在使用该模型的目的,为接下来顺 利的引入更复杂问题做好模型的 铺垫与准备。 设计本题的目的有两个:1、现阶 段的教学中对于学生的作图能力 提出了更高要求, 教学过程中需要 培养学生的作图能力;2、图形中 的基本模型并不是
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- 圆周角 定理 拓展 角度 问题 辅助 构造
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