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1、第 1 页 共 7 页 R C B A O R P d r O O 课题:球(三) 教学目的: 1. 了解球的表面积公式的推导过程,体会其基本思想; 2. 会用球的表面积公式 2 4SR解决有关问题 教学重点: 球的表面积公式及其应用 教学难点: 球的表面积公式及其应用 授课类型: 新授课 课时安排: 1 课时 教具:多媒体、实物投影仪 教学过程 : 一、复习引入: 1 球的概念: 与定点距离等于或小于定长的点的集 合,叫做球体,简称球 定点叫球心,定长叫 球的半径 与定点距离等于定长的点的集合叫做 球面 一个球或球面用表示它的球心的字母表示,例如球 O 2球的截面: 用一平面去截一个球O,
2、设OO是平面的垂线段,O 为垂足,且OOd,所得的截面是以球心在截面 内的射影为圆心,以 22 rRd为半径的一个 第 2 页 共 7 页 O 圆,截面是一个圆面 球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆, 被不经过球心的 平面截得的圆叫做 小圆 3经度、纬度: 经线:球面上从北极到南极的半个大圆; 纬线:与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆; 经度:某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面 与0经线及轴确定的半平面所成的二面角的度数; 纬度:某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角 的度数 O O1 B A R R O 4两点的球面距离: 球面上两点之间的最短距离, 就是经过两点的大
3、圆在这两点 间的一段劣弧的长度, 我们把这个弧长叫做两点的球面距离 5 半球的底面: 已知半径为R的球O, 用过球心的平面去截 第 3 页 共 7 页 球O,球被截面分成大小相等的两个半球,截面圆O(包含 它内部的点),叫做所得 半球的底面 6球的体积公式 : 3 4 3 VR 二、讲解新课: 1 球的表面积: 设球O的半径为R,我们把球面任意分割为一些“小球 面片” ,它们的面积分别用 12 , i SSS表示,则球的表 面积: S 12i SSS 以这些“小球面片”为底,球心为顶点的“小锥体”的体积 和等于求的体积,这些“小锥体”可近似地看成棱锥,“小 锥体”的底面积 i S可近似地等于“
4、小锥体”的底面积,球 的半径 R近似地等于小棱锥的高 i h,因此,第i个小棱锥的 体积 1 3 iii VhS,当“小锥体”的底面非常小时, “小锥体” 的底面几乎是“平的” ,于是球的体积 : 1122 1 ( 3 ) ii VhShShS, 又 i hR,且S 12i SSS 可得 1 3 VR S, 又 34 3 VR, 1 3 R S 34 3 R, 第 4 页 共 7 页 R A C C A O A B C D D C B AO 2 4SR即为球的表面积公式 三、讲解范例: 例 1 已知过球面上,A B C三点的截面和球心的距离为球半 径的一半,且2ABBCCA,求球的表面积 解:
5、设截面圆心为 O,连结O A,设球半径为R, 则 232 3 2 323 O A, 在Rt O OA中, 222 OAO AO O, 222 2 31 () 34 RR, 4 3 R, 264 4 9 SR 例 2半球内有一个内接正方体,正方体的一个面在半球的 底面圆内,若正方体棱长为6,求球的表面积 和体积 解:作轴截面如图所示, 6CC,262 3AC, 设球半径为R, 则 222 ROCCC 22 ( 6)( 3)9 3R, C B A O O 第 5 页 共 7 页 A B C D D C B A O A C C A O 2 436SR 球 , 3 4 36 3 VR 球 例 3表面积
6、为324的球,其内接正四棱柱的 高是14,求这个正四棱柱的表面积 解:设球半径为R,正四棱柱底面边长为a, 则作轴截面如图, 14AA,2ACa, 又 2 4324R,9R, 22 8 2ACACCC,8a, 64 232 14576S表 例 4正四面体ABCD的棱长为a,球O是内切球,球O 1是与 正四面体的三个面和球O都相切的一个小球,求球O1的体 积 分析:正四面体的内切球与各面的切点是面的中心,球心到 各面的距离相等 解:如图,设球O半径为R,球O 1的半径为r, E为CD中点,球O与平面ACD、BCD切于点F、G, 球O1与平面ACD切于点H 由题设 aGEAEAG 3 6 22 第
7、 6 页 共 7 页 AOFAEG a Ra a R 2 3 3 6 6 3 ,得aR 12 6 AO1HAOF R r Ra rRa 3 6 2 3 6 ,得 ar 24 6 3 3 3 1728 6 24 6 3 4 3 4 1 aarV O球 四、课堂练习 : 1球O 1、O2、分别与正方体的各面、各条棱相切,正方体 的各顶点都在球O3的表面上,求三个球的表面积之比 分析:球的表面积之比事实上就是半径之比的平方,故只需 找到球半径之间的关系即可 解:设正方体棱长为a,则三个球的半径依次为 2 a 、a 2 2 , a 2 3 三个球的表面积之比是3:2:1: 321 SSS 五、小结:球的表面积公式的推导及应用;球的内接正方 体、长方体及外切正方体的有关计算“分割求近似和 化为准确和” 的方法,是一种重要的数学思想方法极限 第 7 页 共 7 页 思想,它是今后要学习的微积分部分“定积分”内容的一个 应用;球的体积公式和表面积公式要熟练掌握 六、课后作业 : 七、板书设计 (略) 八、课后记:
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