变力做功的计算分析.pdf
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1、变力做功的计算 公式适用于恒力功的计算,对于变力做功的计算,一般有以下几种方法。 一、微元法 对于变力做功,不能直接用进行计算,但是我们可以把运动过程分成很 多小段,每一小段内可认为F 是恒力,用求出每一小段内力F 所做的功,然 后累加起来就得到整个过程中变力所做的功。这种处理问题的方法称为微元法,这种方法具 有普遍的适用性。 但在高中阶段主要用于解决大小不变、方向总与运动方向相同或相反的变 力的做功问题。 例 1. 用水平拉力, 拉着滑块沿半径为R的水平圆轨道运动一周,如图 1 所示,已知物 块的质量为m ,物块与轨道间的动摩擦因数为。求此过程中摩擦力所做的功。 图 1 思路点拨:由题可知,
2、物块受的摩擦力在整个运动过程中大小不变,方向 时刻变化,是变力,不能直接用求解;但是我们可以把圆周分成无数小微元 段,如图 2 所示,每一小段可近似成直线,从而摩擦力在每一小段上的方向可认为不变,求 出每一小段上摩擦力做的功,然后再累加起来,便可求得结果。 图 2 正确解答:把圆轨道分成无穷多个微元段,摩擦力在每一段上可 认为是恒力,则每一段上摩擦力做的功分别为, ,摩擦力在一周内所做的功 。 误点警示:对于此题,若不加分析死套功的公式,误认为位移s0,得到 W 0,这是 错误的。必须注意本题中的F 是变力。 小结点评:对于变力做功,一般不能用功的公式直接进行计算,但有时可以根据变力 的特点变
3、通使用功的公式。如力的大小不变而方向总与运动方向相同或相反时,可用 计算该力的功,但式子中的s 不是物体运动的位移,而是物体运动的路程。 发散演习 如图 3 所示,某个力 F10N作用于半径R 1m的转盘的边缘上, 力 F 的大小保持不变, 但方向任何时刻与作用点处的切线方向保持一致。则转动半圆,这个力F 做功多少? 图 3 答案: 31.4J 。 二、图象法 在直角坐标系中, 用纵坐标表示作用在物体上的力F,横坐标表示物体在力的方向上的 位移 s。如果作用在物体上的力是恒力,则其Fs 图象如图4 所示。经过一段时间物体发 生的位移为s0,则图线与坐标轴所围成的面积(阴影面积)在数值上等于力对
4、物体做的功W Fs,s 轴上方的面积表示力对物体做正功(如图4(a)所示), s 轴下方的面积表示力对 物体做负功(如图4(b)所示)。 图 4 如果 Fs 图象是一条曲线(如图5 所示),表示力的大小随位移不断变化,在曲线下 方作阶梯形折线, 则折线下方每个小矩形面积分别表示相应恒力做的功。当阶梯折线越分越 密时,这些小矩形的总面积越趋近于曲线下方的总面积,可见曲线与坐标轴所围成的面积在 数值上等于变力所做的功。由于Fs 图象可以计算功,因此Fs 图象又称为示功图。 图 5 例 2. 子弹以速度射入墙壁,入射深度为h。 若子弹在墙中受到的阻力与深度成正比, 欲使子弹的入射深度为2h,求子弹的
5、速度应增大到多少? 思路点拨:阻力随深度的变化图象如图6 所示,由图象求出子弹克服阻力做的功,再 由动能进行求解。 图 6 正确解答:解法一:设射入深度为h 时,子弹克服阻力做功W1;射入深度为2h 时,子 弹克服阻力做功W2。由图 6 可知 根据动能定理,子弹减少的动能用于克服阻力做功,有 联立求解得。 解法二:设阻力与深度间的比例系数为k,Ffks。由于 Ff随位移是线性变化的,所以 Ff的平均值为 。 根据动能定理,有 联立求解得。 小结点评:若力随位移按一次方函数关系变化时,求功时可用平均作用力来代替这个 变力, 用恒力功的公式求功,也可用 Fs 图象求功; 若力随位移的变化不是一次函
6、数关系, 则可用图象求功,而不能用平均值求功。 发散练习 1. 如图 7 所示,有一劲度系数k500N/m的轻弹簧,左端固定在墙壁上,右端紧靠一 质量 m 2kg 的物块,物块与水平面间的动摩擦因数,弹簧处于自然状态。现缓慢 推动物块使弹簧从B到 A处压缩 10cm,然后由静止释放物块,求(1)弹簧恢复原长时,物 块的动能为多大?(2)在弹簧恢复原长的过程中,物块的最大动能为多大? 图 7 答案:( 1)1.7J ;( 2) 1.764J 。 提示:( 1)从 A到 B的过程,对物体应用动能定理得,其中 。W弹可利用示功图求出,画出弹簧弹力随位移变化的图象(如图8 所示) F1 kx1,弹力做
7、功的值等于OAB的面积,即,所以 。 图 8 (2)放开物体后,物体做的是加速度越来越小的加速运动,当弹簧的弹力等于摩擦力 时,物体有最大的动能。设此时弹簧的压缩量为。由得 。物体的位移。在 这一过程中弹力的功在数值上等于图8 中梯形 OADC 的面积,即, 所以物块的最大动能为 。 2. 用质量为5kg 的均匀铁索从10m深的井中吊起一质量为20kg 的物体,在这个过程 中至少要做多少功?(g 取 10m/s 2) 答案: 2250J 提示:作用在物体和铁索上的力至少应等于物体和铁索的重力,但在拉起铁索的过程 中,铁索长度逐渐缩短,因此拉力也逐渐减小,即拉力是一个随距离变化的变力。从物体在
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