方程的根与函数的零点练习题及答案解析.pdf
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1、1 方程的根与函数的零点练习题及答案解析 王学忠山东省临沂市沂水县第一中学 教材版本:普通高中课程标准实验教科书 数学 1 必修 A 版 ,人民教育出版社,2007年 1 月 第二版 课题: 3.1.1 方程的根与函数的零点 教学目标: 【知识与技能】 了解函数零点的概念,理解方程的根与函数的零点的关系;理解图象连 续的函数存在零点的判定方法,并能进行简单的应用。 【过程与方法】 在探究方程的根与函数的零点的关系,图象连续的函数存在零点的判定 方法中体会数形结合、函数与方程的数学思想,从特殊到一般的归纳思想。 【情感态度与价值观】在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值;在 教学中
2、让学生体验探究的过程、发现的乐趣,培养学生的辨证思维。 教学重点:方程的根与函数的零点的关系;图象连续的函数存在零点的判定方法及应用。 教学难点:图象连续的函数存在零点的判定方法的理解。 教具准备:直尺Powerpoint 2003 课件几何画板 4.07 课件 学具准备:计算器 教学方法:问题探究法 教学过程设计: 一、创设情境: 问题引入: 求方程0153 2 xx的实数根。变式:求方程0153 5 xx的实数根。 数学史上, 人们曾希望得到一般的五次以上代数方程的根式解,但经过长期的努力仍无 结果, 1824 年挪威年仅22 岁的数学家阿贝尔(N.H.Abel,1802-1829)成功地
3、证明了五次以 上一般方程没有根式解。五次以上的高次方程不能用代数运算来求解,我们就必须寻求新的 角度 函数来解决这个方程的问题。 设计意图: 从学生的认知冲突中,引发学生的好奇心和求知欲,推动问题进一步的探究。 通过对数学史的讲解,培养学生学习数学的兴趣,开门见山地提出利用函数思想解决方程根 的问题。 二、新知探究: 1零点的概念: 问题 1:求方程032 2 xx的实数根,并画出函数32 2 xxy的图象。 1,3具有多重角色, 它能够使这个方程成立,也能够使这个函数的函数值为0,它又 是函数图象与x轴两个交点的横坐标。这样1,3就把函数与方程联系到一起了,在方程 里, 1,3叫做方程的实数
4、根,在函数里,它能够使得函数值为 0,我们就称它为函数的零 点。 对 于 函 数)(xfy, 我们 把 使0)(xf的 实 数 x 叫 做 函数)(xfy的 零 点 ( zero point) 。 设计意图: 以学生熟悉一元二次方程和二次函数图象为平台,观察方程和函数形式上的 联系,得出函数零点的概念。 问题 2:求函数12 2 xxy和函数32 2 xxy的零点。 结论:函数)( xfy的零点是个实数,是方程0)(xf实数根,是函数)( xfy的图 象与 x 轴交点的横坐标(学生可能认为零点是个点,在这里要强调)。 问 题3: 探 究 一 元 二 次 方 程)0(0 2 acbxax的 实
5、数 根 和 对 应 的 二 次 函 数 )0()( 2 acbxaxxf的零点及图象与x轴交点的关系。 (填下面表格) 2 acb4 2 000 方程的实数根 a acbb x 2 4 2 1 a acbb x 2 4 2 2 a b xx 2 21无实数根 函数图象与x轴的交点 )0,( 1 x,)0,( 2 x)0, 2 ( a b 无交点 函数的零点 1 x, 2 x a b 2 无零点 结论:方程 0)(xf 有实数根 0 x函数)( xfy的图象与x轴有交点)0,( 0 x函数 )( xfy有零点 0 x。 设计意图: 通过对一般形式一元二次方程和对应的二次函数的研究,进一步理解方程
6、的 根与函数的零点的关系。 练习: 1求下列函数的零点: (1) 32xy (2)12 x y(3)8 3 xy 2已知函数)(xfy的图象如下图所示,则函数)( xfy的零点为。 答案: 1 (1) 2 3 (2)0(3)223,1 ,2。 设计意图: 通过练习, 使学生进一步理解函数零点的概念,强调求函数的零点可转化为 求方程的根或求函数图象与x轴的交点。 2函数零点的判定: 问题 4:观察下列两组画面,请你推断一下在他的徒步行程中是否一定趟过这条小溪? 第( 1)组说明他的徒步行程中一定趟过这条小溪,第(2)组中不一定趟过这条小溪。 问题 5:满足什么条件, 才能使函数)( xfy在)(
7、,(),(,(bfbBafaA间的图象与x轴一 定有交点? 将小溪抽象成x轴,将前后的两个位置视为 A、B两点。请问当A、B与x轴怎样的位 置关系时,AB间的一段函数图象与x轴一定会有交点? A、B两点在x轴的两侧。如何用数学符号(式子)来表示?0)()(bfaf。 2 1 3O x y (1) (2) 3 并且函数图象必须是一条连续不断的曲线。 设计意图: 从现实生活中的问题,让学生体会动与静的关系,整体与局部的关系。将现 实生活中的问题抽象成数学模型,由图形语言转化为数学语言,培养学生的观察能力和提取 有效信息的能力。 问题 6: 观察二次函数32)( 2 xxxf的图象,在区间1 ,2上
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