毕业论文-矩阵的特征值与特征向量的相关研究分析.pdf
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1、本科毕业设计(论文) ( 2015届 ) 题目: 矩阵的特征值与特征向量的相关研究 学院: 数理与信息工程学院 专业: 数学与应用数学 学生姓名 : 学号: 指导教师 : 职称: 合作导师 : 职称: 完成时间 : 201 年月日 成绩: 浙江师范大学本科毕业设计( 论文 ) 正文 目录 摘要1 英文摘要1 1 引言1 2 选题背景以及特征值与特征向量的定义与性质2 2. 1 选题背景2 2. 2 特征值与特征向量的定义2 2. 3 特征值与特征向量的性质2 3 矩阵的特征值与特征向量的求解方法3 3. 1 求解数字方阵的特征值与特征向量3 3. 2 已知矩阵 A 的特征值与特征向量 , 求与
2、 A相关的矩阵的特征值7 4 矩阵的特征值与特征向量的反问题的求解7 4. 1 矩阵的全部特征值与全部特征向量, 反求解矩阵 A的方法 7 4. 2 已知实对称矩阵的全部特征值和部分线性无关的特征向量, 反求矩阵 A 的方法 9 5 矩阵的特征值与特征向量的应用9 5. 1 矩阵的特征值与特征向量在线性递推关系上的应用9 5. 2 经济发展和环境污染的增长模型14 6 结论16 参考文献16 1 矩阵的特征值与特征向量的相关研究 摘要 : 矩阵的特征值与特征向量占据了高等数学中的一小块, 但是其重要性无可比拟, 它可以应用在数学和生活上, 尤其是对现在的科学技术领域, 有着至关重要的作用. 本
3、篇论 文主要阐述并归纳了矩阵的特征值与特征向量的概念, 性质 , 解法以及应用 , 通过具体的例 子, 来体现了矩阵的特征值与特征向量的广泛性和实用性, 深刻研究了矩阵的特征值与特 征向量和它相关的应用. 正文总共分为四个大部分. 第一部分 : 阐述了它的概念和性质; 第二部分 : 对于它的求 解方法 , 本篇论文叙述了几种不同的方法, 并且有相关例题的作法; 第三部分 : 关于它的反 问题 , 本篇论文也有相对应的几种不同的求解方法; 第四部分 : 关于它在数学领域和生活上 的应用 . 矩阵 ; 特征值 ; 特征向量 ; 反问题 ; 应用 关键词: Correlation matrix ei
4、genvalues and eigenvecto -rs Mathematical and Information Engineering Mathematics and Applied Mathematics Chen Dong (11170126 ) Instructor: Lvjia Feng (Associate Professor) Abstract: Eigenvalues and eigenvectors occupy the higher mathematics in a small, but its importance is unparalleled, it can be
5、used in mathematics and life, especially in the field of science and technology right now, has a vital role. This paper describes and summarizes the main characteristics and eigenvector matrix concept, nature, solution and applications, through specific examples, to reflect the breadth and practical
6、ity matrix eigenvalues and eigenvectors, profound study of matrix eigenvalues and special Eigenvectors and its related applications. Total body is divided into four parts. The first part: it describes the concept and nature; Part II: For its solution method, this paper describes several different me
7、thods, and relevant examples of practice; Part III: Anti question about it, this papers are also several different corresponding method for solving; part IV: on its application in the field of mathematics and life. Key Words: Matrix; eigenvalues; feature vector; inverse problem; Application 1 引言 在已经
8、有相关深刻探讨的前提下, 本篇论文给出了它的的概念以及它的性 质, 掌握它的性质是研究其求解方法的前提, 所以要先熟悉它的性质, 再对它的 求解方法作详细的步骤和说明. 本篇论文重点介绍了它的求解方法和特它的反 问题以及相关应用 ,展现了它在矩阵运算中的重大作用, 在例题的求解过程中充 分运用某些性质 , 使得问题变得简单 , 运算方面上也更简洁 , 是简化一些有关矩 阵的比较繁琐问题的一种快捷并且有效的途径. 本篇论文通过一些具体的例题 2 详细说明它的求解方法以及其反问题的求解方法, 并且在数学领域以及生活方 面的应用也有其相关的例题来说明矩阵的特征值与特征向量的广泛性以及实用 性. 2
9、特征值与特征向量的选题背景以及其定义与性质 2. 1 选题背景 随着科技的迅猛发展,现在的社会发展的速度日益增加, 高等代数作为一门 大学数学的基础学科已经向所有的领域渗透, 它在所有领域内表现出来的作用 已经越来越明显 . . 物理、化学、经济等的许多问题在数学上都可以看作是求它的问题. 但是通 过特征方程求解它是有一点难度的, 而且在现在的高等数学的教材中用特征方 程求它总是要求解带含有参数的行列式, 而且只有先求解出它才能用方程组求 解之后的问题 . 本篇论文将对它的求解方法、反问题以及相关的应用进行系统性 的归纳 , 并且有相关的例题给予帮助理解. 2. 2 特征值与特征向量的定义 它
10、在高等代数和线性代数课程中占据了一席之地, 在大多数的高 等代数教材中 , 把它拉进来就是为了解析线性空间中线性变换A/的, 它的定义 如下: 定义 1 设A/是数域 P上的线性空间 V 的一个线性变换 , 如果对于数域 P 中的数, 存在一个不是零的向量V, 使得 A/ 那么是矩阵 A的一个特征值 , 向量 x 称作矩阵 A 关于特征值的特征向量 . 在大多数的线性代数的教材中, 它的探讨作为矩阵探讨的一个至关重要 的组成部分 , 它的定义如下所述 : 定义 2 设A是 n 阶的方阵 , 如果存在数字和 n维不是零的向量 x, 使得 xAx 那么就称是 A的特征值 , x 是 A的对应特征值
11、的特征向量 2. 3 特征值与特征向量的性质 (1)如果 i是 A的i r重的特征值 , A所对应的特征值 i就会有i S个线性无 关的特征向量 (2) 如果 21,x x都是矩阵 A的属于特征值 0的特征向量 , 那么当21,k k不全都 是零时 , 2211 xkxk依然是 A的属于特征值 0的特征向量 (3)如果 n ,., 21 是矩阵 A 的互相不一样的特征值 , 而且它所对应的特 征向量分别是 n xxx,., 21 , 那么 n xxx,., 21 线性无关 (4)如果 nn ij aA的特征值是 n ,., 21 , 那么 3 nnn aaa 221121 , A n . 21
12、 . (5) 实对称矩阵 A 的特征值都是实数 , 属于不同的特征值的特征向量正交 (6) 如果 i是实对称矩阵 A的i r重的特征值 , 那么所对应特征值 i刚好有i r 个线性无关的特征向量 (7)假设是矩阵 A 的特征值 , )(xP是多项式的函数 , 那么)(P是矩阵多 项式)(AP的特征值 3. 矩阵的特征值与特征向量的求解方法 3. 1 求解数字方阵的特征值与特征向量 (1)求解特征多项式AEfA. (2)特征方程0AE, 它的全部根 n ,., 21 就是 A 的全部的特征值 (3) 对于任何一个特征值ni i 1, 求解出齐次的方程组0xAE i 的 一个基础解系 irii a
13、aa,., 21 就是 A 的属于ni i 1的线性无关的特征向量. 那 么 A 的属于 i的全部的特征向量是iiiii akakak. 2211 , 其中 i kkk,., 21 是不全 都是零的数 . 求解特征多项式是解决问题的难度所在, 方法一 : 观察特征矩阵的每一行之 和, 如果相等而且都是a, 那么将第 2 列及以后各列都加到第1 列, 提取公因子 , 再作化简 , 而且 a就是其中的一个特征值, T 1,.,1 , 1是 A 的属于特征值 a 的特征 向量方法二 : 将特征矩阵的的两个不是零的常数 (不含参数) 之一化为零 , 如 果有公因子 , 提取出来再作化简 . 从上述可以
14、知道 , 求解它是相当繁琐的这里将阐述一个有效的方法, 只是 需要对原来的矩阵作行列互逆变换就可以同时求解出它, 所以给出如下定义 : 定义: 称矩阵的下列三种变换为行列的互逆变换: (1)互相更换矩阵的i,j 两列, 同时互相更换矩阵的i,j 两行; (2)矩阵的第 i 行乘以不是零的数字k, 同时矩阵的第 i 列乘以 k 1 ; (3)矩阵的第 i 行乘以 k 倍加到矩阵的第 j 行, 同时第 j 列乘以 - k 倍加到 矩阵的第 i 列. 定理: A 为 n 阶的可以对角化的矩阵 , 而且 T DP 一系列行列互逆变换 n T EA, 其 中, n D 1 n T P 1 inii bb
15、1ni, . . . ,1, 那么 n ,., 21 是 A 的全部特征值 , T ii 是 A 的属于 i的特征向量 . 4 证明: 因为 DPAP TTT1 )( 即DDAPP T1 从而 AP=PD 因为 n D 1 n P 1 所以 n nn A 1 11 则 nnn A 111 所以 niA iii , 1),0( 为了运算的简洁 , 约定: (1) ij kaa表示为矩阵的第i 行乘以 k 倍加到第 j 行. (2) ij kaa表示为矩阵的第i 列乘以 -k 倍加到第 j 列. 因为用定理求解题目时 , 总是会遇到一些类似 bc a B 0 或者 b ca C 0 (ba)形式的
16、矩阵的化对角阵的问题, 所以给出对 应的求解方法 : 100 10 10 01 1221 kr-rkrr 2 b ka ba ca EB T,第二行第一行 或 10 010 10 010 2112 krrkrr 2 kb a bc a EC T,第二行第一行 其中, )(ba c k, 所以 T k, 1 1 , T 1 ,0 2 是 B 的分别属于特征值a和 b 的特征向量 . T 0, 1 1 , T k 1 , 2 是 C 的分别属于特征值a和b 的特征向量 . 下面将有3 道例题来说明其求解方法, 第一道例题不使用刚才描述的方法, 则后面两道例题运用 , 以此来说明这个方法的可操作性以
17、及简便性. 5 例 1: 求解矩阵 436 102 111 A的特征值与特征向量 . 解: 100 010 001 436 12 111 3 I A 001 010 100 634 21 111 3, 1 111 010 100 2314 111 001 2 113 12 211 110 100 114 011 001 2 23 所以, 矩阵 A的特征值是1 321 当1时 311 110 100 003 001 001 1 1 P G 于是, 可以知道属于特征值1的特征向量是 TT 3, 1 , 1,1, 1 ,0 21 . 6 例 2: 求解 0111 1011 1101 1110 B的特
18、征值与特征向量 . 解 10000111 01001011 00101101 00011110 )( 4 EB T 11001020 01001110 00112010 00011011 43 21 34 12 rr rr rr rr 11001020 01000110 11110030 00010011 24 42 rr rr 110010230 010001430 11110030 000100431 42 32 12 2 14 1 4 1 rr rr rr 212121211000 414341410100 11110030 414141430001 24 23 12 2 1 4 1 4
19、 1 rr rr rr 11113000 11110100 13110010 11130001 所以特征值分别是 ; 3, 1 4321 特征向量分别是 T 1, 1 , 1 , 3 1 , T 1 , 3, 1, 1 2 , T 1 , 1, 1 , 1 3 , T 1, 1 , 1 , 1 4 . 下面给出上述定理的推广定理: 定理: A 是任意 n 阶的矩阵 , 如果 7 T n T PJEA 一系列行列互逆变换 , 其中)( 1 nr J J J r 是约当矩阵 , ), 1( 1 1 riJ i i i 是约当标准形 , i ir i i r T P P P P 11 , ), 1(
20、ri; nrrr r21 所以 i是 A 的特征值 , T iri i 是 A 的特征值的特 征向量 . 例 3: 求解 312 130 112 B的特征值与特征向量 . 解 100311 010131 001202 3 EA T 100411 010031 101011 13 31 rr rr 111400 111020 101012 再作一系列变换 所以特征值是 ,4,2 321 2 21 的特征向量 T 111 1 ,4 3 的特征向量 T 111 3 . 3. 2 已知矩阵 A 的特征值与特征向量 , 求与 A 相关的矩阵的特征值 此种题目可以运用性质7 来求解计算 , 用定义就可以求
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- 毕业论文 矩阵 特征值 特征向量 相关 研究 分析
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