锐角三角函数的应用.pdf
《锐角三角函数的应用.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《锐角三角函数的应用.pdf(21页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、第 1 页 共 21 页 锐角三角函数的应用 【知识回顾】 1请把三个三角函数公式写出来; 2几组特殊角的三角函数值分别是多少? 【新课引入】 一、仰角、俯角的定义 如右图, 从下往上看, 视线与水平线的夹角叫仰角,从上往下 看,视线与水平线的夹角叫做俯角右图中的2 就是仰角,1 就是俯角 二、坡角、坡度的定义 坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比 ),读作 i, 即 i AC BC ,坡度通常用1:m 的形式,例如上图的1:2 的形式。坡面 与水平面的夹角叫做坡角。 从三角函数的概念可以知道,坡度与坡角的关系是itanB。显然,坡度越大,坡角越 大,坡面就越陡。 【总结归纳】 在解答
2、三角函数应用题时,通常都能把它们化归到以下几个几何模型: 通过作高, 把一般三角形或梯形构造出两个直角三角形,在两个三角形中分别运用三角函数 的知识进行解答。 【精选例题】 (一)仰角与俯角 例 1 为了测量停留在空中的气球的高度,小明先站在地面上 某点观测气球,测得仰角为30 ,然后他向气球方向前进了 50m,此时观测气球,测得仰角为45 若小明的眼睛离地面 1.6m ,小明如何计算气球的高度呢(精确到0.01m) 解析: 1、由题目可知道,气球的高度就是CD 的长加上小明的眼睛离地面1.6m 2、假设 CD 为 h m,BD 为 x m,在 Rt ADC 和 Rt BDC 利用正弦列出两个
3、方程求出. 第 2 页 共 21 页 解答:设 CD 为 h m,BD 为 x m, 在 RtADC 中,tan30 50 h x 在 RtBDC 中,tan45 h x 整理、得方程: 3 3 (x+50)=x 解得: h=x= 50 31 68.31 68.31+1.6=69.91 答:气球的高度约为69.91 米。 前思后想: 此题是在两个直角三角形中,运用三角函数列出边角关系,设两个未知数列两个方程求 解的。但是 它也可以设一个未知数,在两个直角三角形中,运用边角关系(三角函数)分别 把 AD 、 BD 用含 h 的代数式表示出来,代入等量关系:AD BD=AB ,得到一个方程,进 行
4、求解。 例 2 坐落在山东省汶上县宝相寺内的太子灵踪塔始建于北宋(公元1112 年) ,为砖彻八角 形十三层楼阁式建筑数学活动小组开展课外实践活动,在一个阳光明媚的上午,他们 去测量太子灵踪塔的高度,携带的测量工具有:测角仪、皮尺、小镜子 (1)小华利用测角仪和皮尺测量塔高图1 为小华测量塔高的示意图她先在塔前的 平地上选择一点 A,用测角仪测出看塔顶( M)的仰角,在点 A和塔之间选择一 点B,测出看塔顶(M)的仰角=45 ,然后用皮尺量出A、B两点间的距离为18.6m, 量出自身的高度为1.6m请你利用上述数据帮助小华计算出塔的高度(tan350.7,结 果保留整数) (2)如果你是活动小
5、组的一员,正准备测量塔高,而此时塔影NP 的长为 am(如图 2) ,你 能否利用这一数据设计一个测量方案?如果能,请回答下列问题: 在你设计的测量方案中,选用的测量工具是:; 要计算出塔的高,你还需要测量哪些数据? 解析: (1)设 CD 的延长线交MN 于 E 点, MN 长为 x,根据题意构造直角三角形,利用其公共 边构造方程求解 B C N M D 图 1 N M 图 2 第 3 页 共 21 页 (2)根据题目中的情景,结合解三角形的知识设计测量方法 解答: (1)设 CD 的延长线交MN 于 E 点, MN 长为 x, 则 ME=x-1.6 =45, DE=ME=x-1.6 CE=
6、x-1.6+18.6=x+17 ME CE =tan =tan35 , 1.6 17 x x =0.7, 解得 x=45 太子灵踪塔(MN )的高度为45m (2)测角仪、皮尺; 站在 P 点看塔顶的仰角、自身的高度 前思后想: 该题是一道关于测量的操作实验题,它一共告诉我们两种测量方法: 当 AN 的长度不能测量时,采用在A、B 两点处进行测量,在两个直角三角形中,运用边 角关系列出方程进行求解; 当 AN 的长度能够测量时,采用在A 点一处进行测量,在一个直角三角形中,运用边角 关系直接求解。 牛刀小试: 1在学习实践科学发展观的活动中,某单位在如图所示的办公楼 迎街的墙面上垂挂一长为30
7、 米的宣传条幅AE,张明同学站在 离办公楼的地面C 处测得条幅顶端A 的仰角为50 ,测得条幅 底端 E 的仰角为30 . 问张明同学是在离该单位办公楼水平距 离多远的地方进行测量?(精确到整数米)(参考数据: sin50 0.77, cos50 0.64, tan50 1.20, sin30 =0.50 , cos30 0.87,tan30 0.58) 2如图,热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部 的仰角为 60 ,看这栋高楼底部的俯角为30 ,热气球与 高楼的水平距离为60 m,这栋高楼有多高?(结果精 确到 0.1 m,参考数据:73.13 ) 3如图所示,小华同学在距离某建筑物6
8、 米的点 A 处测得 C A B A B C D 6 米 52 35 第 4 页 共 21 页 广告牌 B 点、 C 点的仰角分别为52 和 35 ,则广告牌的高度BC 为_米(精确 到 0.1 米) (sin35 0.57, cos350.82, tan350.70; sin52 0.79, cos520.62, tan521.28) 4如图,一艘核潜艇在海面下500 米A点处测得俯角为 30正前方的海底有黑匣子信号发出,继续在同一深度直 线航行 4000 米后再次在B点处测得俯角为60正前方的 海底有黑匣子信号发出,求海底黑匣子C点处距离海面 的深度?(精确到米,参考数据: 21.414
9、, 31.732 , 52.236 ) 答案: 1作 DFAB 于 F点 在 Rt DEF 中,设 EF=x,则 DF=3x 在 Rt ADF 中, tan50 = 30 3 x x 1.20 , 30+x=3x 1.20, x 27.8 , DF=3x48 答:张明同学站在离办公楼约48 米处进行测量的 2如图,过点A 作 AD BC ,垂足为 D 根据题意,可得BAD=60 , CAD=30 ,AD=60 在 Rt ADB 中, BD=AD tan60 =603, 在 Rt ADC 中, CD=AD tan30 =203, BC=CD+BD=603+203=803138.4 答:这栋楼高约
10、为138.4m 3根据题意:在Rt ABD 中,有 BD=AD?tan52 在 Rt ADC 中,有 DC=AD?tan35 则有 BC=BD-CD=6 (1.28-0.70)=3.5(米) 4由 C 点向 AB 作垂线,交AB 的延长线于E 点,并交海面于F 点 已知 AB=4000 (米) , BAC=30 , EBC=60 , BCA= EBCBAC=30 , BAC= BCA BC=BA=4000 (米) 在 Rt BEC 中, EC=BC?sin60 =4000 3 2 =2000 3(米) 3060 B A D C 海面 第 5 页 共 21 页 CF=CE+BF=20003+50
11、03964 (米) 答:海底黑匣子C 点处距离海面的深度约为3964 米 (二)坡度与坡比 例 3 如图,斜坡AC 的坡度(坡比)为1: 3 , AC10 米坡顶 有一旗杆BC,旗杆顶端B 点与 A 点有一条彩带AB 相连, AB14 米试求旗杆BC 的高度 解析: 如果延长 BC 交 AD 于 E 点,则 CEAD ,要求 BC 的高度,就要知道BE 和 CE 的高 度,就要先求出AE 的长度直角三角形ACE 中有坡比,由AC 的长,那么就可求出AE 的长,然后求出BE、CE 的高度, BC=BE CE,即可得出结果 解答:延长BC 交 AD 于 E 点,则 CEAD 在 RtAEC 中,
12、AC=10,由坡比为1:3可知: CAE=30 , CE=AC?sin30 =101 2 =5, AE=AC?cos30 =103 2 =53 在 RtABE 中, BE= 22 ABAE= 22 14(5 3)=11 BE=BC+CE , BC=BE-CE=11-5=6 (米) 答:旗杆的高度为6 米 前思后想: 本题是 由“ 坡度 i=tanCAD=1 :3” 求出 CAE=30 ,再分别在Rt AEC 和 RtAEB 中运 用边角关系和三边关系求解的。 例4 如图,拦水坝的横断面为梯形 ABCD ,坝顶宽BC 为 6m,坝高为 3.2m,为了提高水坝的拦水能力,需 要将水坝加高2m,并且
13、保持坝顶宽度 不变,迎水坡CD?的坡度不变,但是背水坡的坡度由原来的i=1:2 变成 i =1:2.5, (有关 数据在图上已注明) ?求加高后的坝底HD 的长为多少? 解析: 应把所求的HD 进行合理分割 =HN+NF+FD ,可利用Rt MHN 和 RtEFD 中的三角函数来 做 解答: BG=3.2m, 加高后MN=EF=5.2m , ME=NF=6m , 在 RtHMN 和 Rt DEF 中, MN HN = 1 2.5 , EF DF = 1 2 , HN=2.5MN=13m ,DF=2EF=10.4m ,HD=13+6+10.4=29.4m 答:加高后的坝底HD 的长为 29.4m
14、。 第 6 页 共 21 页 前思后想: 此题严格 按照 “ 坡度i= 对边 邻边 ” ,在两个直角三角形中列式计算的,它把梯形分割成了两个直 角三角形和一个矩形。 牛刀小试: 1 如图, 小阳发现电线杆AB 的影子落在土坡的坡面CD 和地面 BC 上, 量得 CD=8 米, BC=20 米, CD 与地面成30o角,且此时测得1 米杆的 影长为 2 米,求电线杆的高度 2城市规划期间,欲拆除一电线杆AB,已知距电线杆AB 水平距离 14m 的 D 处有一大坝,背水坡CD 的坡度i=2:1,坝高 CF 为 2m,在坝顶 C 处测得杆顶A 的仰角为30? ,D、E 之间是 宽为 2m 的人行道试
15、问:在拆除电线杆AB 时,为确保行人 安全, ?是否需要将此人行道封上?请说明理由(在地面上, 以点B 为圆心,以AB ?长为半径的圆形区域为危险区域) (31.732 ,21.414 ) 3同学们对公园的滑梯很熟悉吧?如图,是某公园新增设的 一台滑梯,该滑梯高度AC 2 米,滑梯着地点B 与梯架之间 的距离 BC 4 米 (1)求滑梯AB 的长(精确到0.1 米) ; (2) 若规定滑梯的倾斜角 ( ABC) 不超过 45 , 属于安全 通 过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合要求? 4我市某区为提高某段海堤的防海潮能力,计划将 长 96m 的一堤段(原海堤的横断面如图中的梯形 ABCD )的
16、堤面加宽1.6m,背水坡度由原来的1:1 改成 1:2,已知原背水坡长AD=8.0m ,求完成这一 工程所需的土方,要求保留两个有效数字. (注 :坡度 =坡面与水平面夹角的正切值;提供数 据:21.41, 31.73,52.24) 答案: 1如图,延长AD 交 BC 的延长线于点F,过点 D 作 DEBC 的延长线与点E DCE=30 ,CD=8 , CE=CD?cosDCE=8 3 2 =4 3, 第 7 页 共 21 页 DE=4 , 设 AB=x , EF=y, DEBF,AB BF, DEF ABF , DE AB = EF BF ,即 4 x = 204 3 y y , 1 米杆的
17、影长为2 米,根据同一时间物高与影长成正比可得, 1 2 = 2043 x y , 、联立,解得x=14+23(米) 故答案为: 14+23 2如图:作CM AB 于点 M,则 MBFC 为矩形 BM=CF=2 ,BF=CM 背水坡CD 的坡度为i=2:1, CF DF = 2 1 , DF= 1 2 CF=1 CM=BF=BD+DF=14+1=15 在 Rt AMC 中, tanACM= AM CM , AM=CM?tan ACM=15?tan30 =15 3 3 =5 3 AB=AM+BM=53+210.66 (m) 而 BE=BD-DE=14-2=12 (m) AB BE故不需封闭人行道
18、DE 3 ( 1)由题意AB= 22 ACBC=25 4.5m ,因此滑梯的长约为4.5m ( 2)Rt ABC 中, AC :BC=1:2, tanABC= 1 2 锐角 ABC 27 45 这架滑梯的倾斜角符合要求 4分别作DM AB 交 AB 于 M,ENAB 交 AB 于 N DM AM = 1 1 , DAM=45度 AD=8 , DM=AM=42 又 CDAB , EN=DM=42, DE=MN=1.6 第 8 页 共 21 页 在 Rt FNE 中, EN FN = 1 2 , FN=2EN=82 FA=FN+NM-AM=82+1.6 42=42+1.67.26 S 四边形 AD
19、EF= 1 2 (AF+DE ) ?EN= 1 2 (7.26+1.6)5.6625.07( m2) V 体积=S 四边形 ADEF 96=25.07 96=2.4 10 3(m3) 答:完成这一工程需2.4 103m 3 的土方 (三)方向角 例 5 海船以 5 海里 /小时的速度向正东方向行驶,在A 处看 见灯塔 B 在海船的北偏东60 方向, 2 小时后船行驶到C 处,发现此时灯塔B 在海船的北偏西45 方向,求此时灯 塔 B 到 C 处的距离 解析: 由已知可得 ABC 中 BAC=30 , BCA=45 且 AB=10 海里要求BC 的长,可以过B 作 BDBC 于 D,先求出AD
20、和 CD 的长转化为运用三角函数解直角三角形 解答:如图,过B 点作 BD AC 于 D DAB=90 60 =30 , DCB=90 45 =45 设 BD=x ,在 Rt ABD 中, AD= tan30 x =3x, 在 RtBDC 中, BD=DC=x ,BC=2x, AC=5 2=10, 3x+x=10 得 x=5(31) BC=2?5(31) =5(62) (海里) 答:灯塔B 距 C 处 5(62)海里 前思后想: 解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题,解决的方法就是作高线,构造直 角三角形 牛刀小试: 1如图,在航线l的两侧分别有观测点A 和 B,点 A 到航线l
21、的距离为2km,点 B 位于点 A 北偏东 60 方向且与A 相距 10km 处 现有一轮船从位于点B 南偏西 76 方向 的 C 处,正沿该航线自西向东航行,5min 后该轮船行至点A 的正北方向的D 处 北 东 CD B E A l 60 76 第 9 页 共 21 页 (1)求观测点B 到航线l的距离; (2)求该轮船航行的速度(结果精确到0.1km/h) (参考数据: 31.73 , sin 760.97 , cos760.24 ,tan764.01 ) 2如图,在海面上生产了一股强台风,台风中心(记为点M) 位于海滨城市(记作点A)的南偏西15 ,距离为61 2千米, 且位于临海市(
22、记作点B)正西方向 60 3千米处台风中心 正以 72 千米 /时的速度沿北偏东60 的方向移动(假设台风在 移动过程中的风力保持不变),距离台风中心60 千米的圆形 区域内均会受到此次强台风的侵袭 (1) 滨海市、 临海市是否会受到此次台风的侵袭?请说明理由 (2)若受到此次台风侵袭,该城市受到台风侵袭的持续时间有 多少小时? 3如图, MN 表示某引水工程的一段设计路线,从 M 到 N 的走向为南 偏东 30 ,在 M 的南偏东60 方向上有一点A,以 A 为圆心、 500m 为 半径的圆形区域为居民区取 MN 上的另一点B,测得 BA 的方向为南 偏东 75 已知 MB 400m,通过计
23、算回答,如果不改变方向,输水管 道是否会穿过居民区 4台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围数十千 米范围内形成气旋风暴,有极强的破坏力,如图 11,据气象观 测,距沿海某城市A 的正南方向220 千米 B 处有一台风中心, 其中心最大风力为12 级,每远离台风中心20 千米, 风力就会 减弱一级, 该台风中心现在以15 千米时的速度沿北偏东30 方向往 C 移动,且台风中心风力不变,若城市所受风力达到或 超过四级,则称为受台风影响 (1)该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由 (2)若会受到台风影响,那么台风影响该城市的持续时间有 多长? (3)该城市受到台风影响的最大风力为几级?
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 锐角 三角函数 应用
链接地址:https://www.31doc.com/p-4743950.html