2020版高考数学培优考前练文科通用版练习:3.3 解三角形解答题 Word版含解析.docx
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1、3.3解三角形解答题高考命题规律1.高考的重要考题,常与数列解答题交替在17题位置呈现.2.解答题,12分,中档难度.3.全国高考有2种命题角度,分布如下表.2020年高考必备2015年2016年2017年2018年2019年卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷命题角度1利用正弦定理和余弦定理解三角形1717命题角度2解三角形中的最值与范围问题18命题角度1利用正弦定理和余弦定理解三角形高考真题体验对方向1.(2019北京15)在ABC中,a=3,b-c=2,cos B=-12.(1)求b,c的值;(2)求sin(B+C)的值.解(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得b2=32+c2-
2、23c-12.因为b=c+2,所以(c+2)2=32+c2-23c-12.解得c=5,所以b=7.(2)由cos B=-12得sin B=32.由正弦定理得sin A=absin B=3314.在ABC中,B+C=-A.所以sin(B+C)=sin A=3314.2.(2019天津16)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csin B=4asin C.(1)求cos B的值;(2)求sin2B+6的值.解(1)在ABC中,由正弦定理bsinB=csinC,得bsin C=csin B,又由3csin B=4asin C,得3bsin C=4asin C,即3
3、b=4a.又因为b+c=2a,得到b=43a,c=23a.由余弦定理可得cos B=a2+c2-b22ac=a2+49a2-169a22a23a=-14.(2)由(1)可得sin B=1-cos2B=154,从而sin 2B=2sin Bcos B=-158,cos 2B=cos2B-sin2B=-78,故sin2B+6=sin 2Bcos 6+cos 2Bsin 6=-15832-7812=-35+716.3.(2017山东17)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,ABAC=-6,SABC=3,求A和a.解因为ABAC=-6,所以bccos A=-6,又SABC=3,
4、所以bcsin A=6,因此tan A=-1,又0A.所以A=34.又b=3,所以c=22.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得a2=9+8-2322-22=29,所以a=29.4.(2015全国17)已知a,b,c分别为ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sin Asin C.(1)若a=b,求cos B;(2)设B=90,且a=2,求ABC的面积.解(1)由题设及正弦定理可得b2=2ac.又a=b,可得b=2c,a=2c.由余弦定理可得cos B=a2+c2-b22ac=14.(2)由(1)知b2=2ac.因为B=90,由勾股定理得a2+c2=b2.故a2+c2=2ac,
5、得c=a=2.所以ABC的面积为1.典题演练提能刷高分1.(2019江西南昌外国语学校高三适应性考试)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cosA-2cosCcosB=2c-ab.(1)求sinCsinA的值;(2)若cos B=14,b=2,求ABC的面积.解(1)由正弦定理,得2c-ab=2sinC-sinAsinB,所以cosA-2cosCcosB=2sinC-sinAsinB,即(cos A-2cos C)sin B=(2sin C-sin A)cos B,cos Asin B-2cos Csin B=2sin Ccos B-sin Acos B,cos Asin B
6、+sin Acos B=2sin Ccos B+2cos Csin B.化简得sin(A+B)=2sin(B+C).又A+B+C=,所以sin C=2sin A,因此sinCsinA=2.(2)由sinCsinA=2,得c=2a.由余弦定理b2=a2+c2-2accos B及cos B=14,b=2,得4=a2+4a2-4a214,解得a=1,从而c=2.又因为cos B=14,且0B0,所以b-a=2acos C.根据正弦定理,sin B-sin A=2sin Acos C.因为A+B+C=,即A+C=-B,则sin B=sin Acos C+cos Asin C,所以sin A=sin C
7、cos A-sin Acos C.即sin A=sin(C-A).因为A,C(0,),则C-A(-,),所以C-A=A,或C-A=-A(舍去后者).所以C=2A.(2)因为ABC的面积为a2sin2B,所以a2sin2B=12acsin B,因为a0,sin B0,所以c=2asin B,则sin C=2sin Asin B.因为C=2A,所以2sin Acos A=2sin Asin B,所以sin B=cos A.因为A0,2,所以cos A=sin2-A,即sin B=sin2-A,所以B=2-A或B=2+A.当B=2-A,即A+B=2时,C=2;当B=2+A时,由-3A=2+A,解得A
8、=8,则C=4.综上,C=2或C=4.4.(2019福建厦门高三一模)在平面四边形ABCD中,ABC=3,ADC=2,BC=2.(1)若ABC的面积为332,求AC;(2)若AD=23,ACB=ACD+3,求tan ACD.解(1)在ABC中,因为BC=2,ABC=3,SABC=12ABBCsin ABC=332,所以32AB=332,解得AB=3.在ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos ABC=7,所以AC=7.(2)设ACD=,则ACB=ACD+3=+3.如图.在RtACD中,因为AD=23,所以AC=ADsin=23sin,在ABC中,BAC=-ACB-ABC=
9、3-,由正弦定理,得BCsinBAC=ACsinABC,即2sin(3-)=2332sin,所以2sin3-=sin .所以232cos -12sin =sin ,即3cos =2sin .所以tan =32,即tan ACD=32.5.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=2B.(1)求证:a2=b(b+c);(2)若ABC的面积为14a2,求B的大小.(1)证明由A=2B,可得sin A=sin 2B=2sin Bcos B,又由正、余弦定理得a=2ba2+c2-b22ac,有(c-b)(a2-b2-bc)=0.当bc时,a2-b2-bc=0,即a2=b2+bc=b(b+
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