2020版高考数学大二轮专题突破理科通用版专题突破练:9 利用导数证明问题及讨论零点个数 Word版含解析.docx
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1、专题突破练9利用导数证明问题及讨论零点个数1.设函数f(x)=e2x-aln x.(1)讨论f(x)的导函数f(x)零点的个数;(2)证明:当a0时,f(x)2a+aln2a.2.(2019福建漳州质检二,理21)已知函数f(x)=xln x.(1)若函数g(x)=f(x)x2-1x,求g(x)的极值;(2)证明:f(x)+1ex-x2.(参考数据:ln 20.69,ln 31.10,e324.48,e27.39)3.(2019河南洛阳三模,理21)已知函数f(x)=ln x-kx,其中kR为常数.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个相异零点x1,x2(x12-ln x1.4
2、.(2019四川成都二模,理21)已知函数f(x)=ln x+a1x-1,aR.(1)若f(x)0,求实数a取值的集合;(2)证明:ex+1x2-ln x+x2+(e-2)x.5.设函数f(x)=ln x-x+1.(1)讨论f(x)的单调性;(2)证明当x(1,+)时,1x-1lnx1,证明当x(0,1)时,1+(c-1)xcx.6.已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.(1)求a的取值范围;(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x22.7.(2019天津卷,理20)设函数f(x)=excos x,g(x)为f(x)的导函数.(1)求f(x)的单调区间;(2
3、)当x4,2时,证明f(x)+g(x)2-x0;(3)设xn为函数u(x)=f(x)-1在区间2n+4,2n+2内的零点,其中nN,证明2n+2-xn0).当a0时,f(x)0,f(x)没有零点,当a0时,因为e2x单调递增,-ax单调递增,所以f(x)在(0,+)单调递增.又f(a)0,当b满足0ba4且b14时,f(b)0时,f(x)存在唯一零点.(2)由(1),可设f(x)在(0,+)的唯一零点为x0,当x(0,x0)时,f(x)0.故f(x)在(0,x0)单调递减,在(x0,+)单调递增,所以当x=x0时,f(x)取得最小值,最小值为f(x0).因为2e2x0-ax0=0,所以f(x0
4、)=a2x0+2ax0+aln2a2a+aln2a.故当a0时,f(x)2a+aln2a.2.(1)解 g(x)=lnx-1x(x0),g(x)=2-lnxx2.令g(x)0,解得0xe2.令g(x)e2,故g(x)在(0,e2)内递增,在(e2,+)内递减,故g(x)的极大值为g(e2)=1e2,没有极小值.(2)证明 要证f(x)+10.先证明ln xx-1,取h(x)=ln x-x+1,则h(x)=1-xx,易知h(x)在(0,1)内递增,在(1,+)内递减,所以h(x)h(1)=0,即ln xx-1,当且仅当x=1时,取“=”,故xln xx(x-1),ex-x2-xln x-1ex-
5、2x2+x-1,故只需证明当x0时,ex-2x2+x-10恒成立.令k(x)=ex-2x2+x-1(x0),则k(x)=ex-4x+1.令F(x)=k(x),则F(x)=ex-4,令F(x)=0,解得x=2ln 2.F(x)递增,当x(0,2ln 2时,F(x)0,F(x)递减,即k(x)递减,当x(2ln 2,+)时,F(x)0,F(x)递增,即k(x)递增,且k(2ln 2)=5-8ln 20,k(2)=e2-8+10,由零点存在定理,可知x1(0,2ln 2),x2(2ln 2,2),使得k(x1)=k(x2)=0,故0xx2时,k(x)0,k(x)递增,当x1xx2时,k(x)0,故当
6、x0时,k(x)0,原不等式成立.3.(1)解 f(x)=1x-k=1-kxx(x0),当k0时,f(x)0,f(x)在区间(0,+)内递增,当k0时,由f(x)0,得0xx20,f(x1)=0,f(x2)=0,ln x1-kx1=0,ln x2-kx2=0,ln x1-ln x2=k(x1-x2),ln x1+ln x2=k(x1+x2),要证明ln x22-ln x1,即证明ln x1+ln x22,故k(x1+x2)2,即ln x1-ln x2x1-x22x1+x2,即lnx1x22(x1-x2)x1+x2,设t=x1x21,上式转化为ln t2(t-1)t+1(t1).设g(t)=ln
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