2020版高考文科数学大二轮专题复习新方略讲义:2.3导数的简单应用 Word版含解析.doc
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1、第3讲导数的简单应用 考点1导数运算及几何意义1导数公式(1)(sinx)cosx;(2)(cosx)sinx;(3)(ax)axlna(a0);(4)(logax)(a0,且a1)2导数的几何意义函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率,曲线f(x)在点P处的切线的斜率kf(x0),相应的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)例1(1)2019全国卷曲线y3(x2x)ex在点(0,0)处的切线方程为_;(2)2019全国卷已知曲线yaexxln x在点(1,ae)处的切线方程为y2xb,则()Aae,b1 Bae,b1 Cae1,b1 Dae1,b1
2、【解析】(1)本题主要考查导数的几何意义,考查考生的运算求解能力,考查的核心素养是数学运算因为y3(2x1)ex3(x2x)ex3(x23x1)ex,所以曲线在点(0,0)处的切线的斜率ky|x03,所以所求的切线方程为y3x.(2)本题主要考查导数的几何意义,考查的核心素养是数学运算因为yaexln x1,所以y|x1ae1,所以曲线在点(1,ae)处的切线方程为yae(ae1)(x1),即y(ae1)x1,所以解得【答案】(1)y3x(2)D1求曲线yf(x)的切线方程的三种类型及方法(1)已知切点P(x0,y0),求yf(x)过点P的切线方程:求出切线的斜率f(x0),由点斜式写出方程(
3、2)已知切线的斜率为k,求yf(x)的切线方程:设切点P(x0,y0),通过方程kf(x0)解得x0,再由点斜式写出方程(3)已知切线上一点(非切点),求yf(x)的切线方程:设切点P(x0,y0),利用导数求得切线斜率f(x0),然后由斜率公式求得切线斜率,列方程(组)解得x0,再由点斜式或两点式写出方程2警示求曲线的切线方程时,务必分清点P处的切线还是过点P的切线,前者点P为切点,后者点P不一定为切点,求解时应先求出切点坐标.对接训练12019云南师大附中适应性考试曲线yax在x0处的切线方程是xln 2y10,则a()A. B2Cln 2 Dln解析:由题意知,yaxln a,则在x0处
4、,yln a,又切点为(0,1),切线方程为xln ay10,a.故选A.答案:A22019河北保定乐凯中学模拟设函数f(x)g(x)x2,曲线yg(x)在点(1,g(1)处的切线方程为y2x1,则曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率为()A2 B.C4 D解析:因为曲线yg(x)在点(1,g(1)处的切线方程为y2x1,所以g(1)2.又f(x)g(x)2x,故曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率为f(1)g(1)24.故选C.答案:C 考点2利用导数研究函数的单调性1若求函数的单调区间(或证明单调性),只要在其定义域内解(或证明)不等式f(x)0或f(x)0,则当x(,
5、0)时,f(x)0;当x时,f(x)0.故f(x)在(,0),单调递增,在单调递减;若a0,f(x)在(,)单调递增;若a0;当x时,f(x)0.故f(x)在,(0,)单调递增,在单调递减(2)满足题设条件的a,b存在()当a0时,由(1)知,f(x)在0,1 单调递增,所以f(x)在区间0,1的最小值为f(0)b,最大值为f(1)2ab.此时a,b满足题设条件当且仅当b1,2ab1,即a0,b1.()当a3时,由(1)知,f(x)在0,1单调递减,所以f(x)在区间0,1的最大值为f(0)b,最小值为f(1)2ab.此时a,b满足题设条件当且仅当2ab1,b1,即a4,b1.()当0a3时,
6、由(1)知,f(x)在0,1的最小值为f()b,最大值为b或2ab.若b1,b1,则a3,与0a3矛盾若b1,2ab1,则a3或a3或a0,与0a0.(1)当m2时,求f(x)的极大值;(2)试讨论f(x)在区间(0,1)上的单调性解析:(1)当m2时,f(x)ln xx,f(x)1(x0)当0x2时,f(x)0,当x0,f(x)在和(2,)上单调递减,在上单调递增,f(x)的极大值为f(2)ln 2.(2)f(x)1(x0,m0),故当0m1时,f(x)在上单调递减,在上单调递增 考点3利用导数研究函数极值、最值可导函数的极值与最值(1)若在x0附近左侧f(x)0,右侧f(x)0,则f(x0
7、)为函数f(x)的极大值;若在x0附近左侧f(x)0,则f(x0)为函数f(x)的极小值(2)设函数yf(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,则f(x)在a,b上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得例32019全国卷已知函数f(x)sin xln(1x),f(x)为f(x)的导数,证明:(1)f(x)在区间存在唯一极大值点;(2)f(x)有且仅有2个零点【解析】本题主要考查导数及其应用、函数的单调性、函数的极值与函数零点个数的证明等,考查考生的推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力等,考查化归与转化思想、分类讨论思想、数形结合思想等,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算(1)
8、设g(x)f(x),则g(x)cos x,g(x)sin x.当x时,g(x)单调递减,而g(0)0,g0;当x时,g(x)0.所以g(x)在(1,)单调递增,在单调递减,故g(x)在存在唯一极大值点,即f(x)在存在唯一极大值点(2)f(x)的定义域为(1,)()当x(1,0时,由(1)知,f(x)在(1,0)单调递增,而f(0)0,所以当x(1,0)时,f(x)0,故f(x)在 (1,0)单调递减又f(0)0,从而x0是f(x)在(1,0的唯一零点()当x时,由(1)知,f(x)在(0,)单调递增,在单调递减,而f(0)0,f0;当x时,f(x)0,所以当x时,f(x)0.从而,f(x)在
9、没有零点()当x时,f(x)0,f()1,所以f(x)0,从而f(x)在(,)没有零点综上,f(x)有且仅有2个零点.1利用导数求函数最值的方法技巧(1)对含参数的函数解析式求最值时,常常分类讨论,分类的原则是极值点在给定区间的内部还是外部,从而根据单调性求出最值(2)求极值和最值时,为了直观易懂,常常列出x的取值范围与y的符号及y的单调区间、极值的对应表格2警示(1)求函数极值时,一定要注意分析导函数的零点是不是函数的极值点(2)求函数最值时,务必将极值点与端点值比较得出最大(小)值(3)对于含参数的函数解析式或区间求极值、最值问题,务必要对参数分类讨论.对接训练42019福建福州质量检测已
10、知函数f(x)aln(1x)(aR),g(x)x2emx1e2.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若a1),所以f(x).当a0时,f(x)0,所以函数f(x)的单调递增区间为(1,),无单调递减区间当a0时,由得1x1.所以函数f(x)的单调递增区间是,单调递减区间是.综上所述,当a0时,函数f(x)的单调递增区间为(1,),无单调递减区间当a0时,函数f(x)的单调递增区间是,单调递减区间是.(2)若a0,则x1,x20,e,不等式f(x1)g(x2)恒成立,等价于“对任意x0,e,f(x)ming(x)max恒成立”当a0,不符合题意()当m0,即e时,在0,e上,g(x)0,所以g
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