2020版高考理科数学大二轮专题复习新方略课时作业: 13空间向量与立体几何 Word版含解析.doc
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1、课时作业13空间向量与立体几何12019安徽芜湖质检如图,在直棱柱ABCDA1B1C1D1中,ADBC,BAD90,ACBD,BC1,ADAA13.(1)证明:ACB1D;(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值解析:(1)证明:因为BB1平面ABCD,AC平面ABCD,所以BB1AC.因为ACBD且BDBB1B,所以AC平面BB1D,又B1D平面BB1D,所以ACB1D.(2)易知AB,AD,AA1两两垂直,如图,以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Axyz.设ABt,则A(0,0,0),B(t,0,0),B1(t,0,3),C(t,1
2、,0),C1(t,1,3),D(0,3,0),D1(0,3,3)从而(t,3,3),(t,1,0),(t,3,0),因为ACBD,所以t2300,解得t或t(舍去)所以(0,3,3),(,1,0),(0,1,0),设n(x,y,z)是平面ACD1的法向量,则即取x1,则y,z,所以n(1,)是平面ACD1的一个法向量设直线B1C1与平面ACD1所成的角为,则sin |cosn,|,故直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.22019广东五校第一次诊断如图,在菱形ABCD中,ABC60,AC与BD交于点O,AE平面ABCD,CFAE,ABAE2.(1)求证:BD平面ACFE;(2)当直线FO
3、与平面BED所成的角为45时,求异面直线OF与BE所成角的余弦值解析:(1)证明:四边形ABCD是菱形,BDAC.AE平面ABCD,BD平面ABCD,BDAE.又ACAEA,AC,AE平面ACFE,BD平面ACFE.(2)连接OE,以O为原点,OA,OB所在直线分别为x轴,y轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,则B(0,0),O(0,0,0),E(1,0,2),F(1,0,a)(a0),则(0,0),(1,0,2),(1,0,a)设平面EBD的法向量为n(x,y,z),则有即得y0.令z1,则x2,n(2,0,1)是平面EBD的一个法向量由题意得sin45|cos,n|,得a3或a,由a0
4、,得a3,(1,0,3),(1,2),cos,所以异面直线OF与BE所成角的余弦值为.32019广东惠州一调如图,直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形,侧面是正方形,DAB60,E是棱CB的延长线上一点,经过点A,C1,E的平面交棱BB1于点F,B1F2BF.(1)求证:平面AC1E平面BCC1B1;(2)求二面角EAC1C的余弦值解析:(1)证明:设四棱柱ABCDA1B1C1D1的棱长为a,B1F2BF,B1C1FBEF,BE.由DAB60ABE,得ABC120,由余弦定理得AE,ACa.CEBEBC,AE2CE2AC2,AECE.又ABCDA1B1C1D1是直四棱柱,C1C平面AB
5、CD,又AE平面ABCD,C1CAE.CECC1C,AE平面BCC1B1.AE平面AC1E,平面AC1E平面BCC1B1.(2)解法一过C作CGAC1于G,CHC1F于H,连接GH.由平面AC1E平面BCC1B1,平面AC1E平面BCC1B1C1E,得CH平面AC1E.CHAC1,又CGAC1,CGCHC,AC1平面CGH,AC1GH,CGH是二面角EAC1C的平面角在RtACC1中,ACa,CC1a,AC12a,CGa,在RtECC1中,CEa,CC1a,EC1a,CHa,GHa,cosCGH,二面角EAC1C的余弦值为.解法二以E为坐标原点,EC,EA所在直线分别为x轴,y轴,平行于BB1
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