高三数学理一轮复习典型题专项训练:导数及其应用.pdf
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1、湖北省 2019 届高三数学一轮复习典型题专项训练 导数及其应用 一、选择、填空题 1、 (2018 全国 I 卷高考题)设函数 32 1fxxaxax若 fx 为奇函数,则曲线yfx 在 点 00, 处的切线方程为() A2yxB yxC2yxD yx 2、 (2017 全国 I 卷高考题)如图,圆形纸片的圆心为O ,半径为 5 cm ,该纸片上的等边三角形ABC 的中心为 O ,D、E、F为元 O 上的点,DBC,ECA,FAB分别是一 BC , CA ,AB为底 边的等腰三角形,沿虚线剪开后,分别以BC , CA ,AB为折痕折起DBC,ECA,FAB, 使得D,E,F重合,得到三棱锥当
2、ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位: 3 cm )的最 大值为_ 3、 (湖北八校2018 届高三第一次联考(12 月) )( )f x是R上可导的奇函数,( )fx是( )f x的导函 数.已知0x时( )( ),(1)f xfxfe,不等式 2 2ln(1) 0ln(1) xx fxxe的解集为M, 则在M上( )sin6g xx的零点的个数为. 4、 (黄冈、黄石等八市2018 届高三 3 月联考)对于函数 ln ( ) x f x x ,下列说法正确的有() ( )f x在xe处取得极大值 1 e ;( )f x有两个不同的零点; (2)()(3)fff;若 1 ( )f xk
3、x 在(0,)上恒成立,则1k. A4 个 B.3个 C.2个 D.1个 5、 (黄冈中学2018 届高三 5 月二模)若函数 2 ( )ln ln x f xaxx xx 有三个不同的零点,则实数 a的取值范围是 ( ) A. 1 (1,) 1 e ee B. 1 1, 1 e ee C. 1 (, 1) 1 e ee D. 1 , 1 1 e ee 6、 (荆州市2018 届高三第一次质量检查)设函数f(x)e x+1-ma,g(x)aex-x( m,a 为实数),若存在 实数 a,使得 f(x)g(x)对任意 xR 恒成立,则实数m 的取值范围是 A 1 ) 2e ,B 1 0) 2e
4、,C 1 ) e ,D 1 0) e , 7、 (湖北省七市(州)教科研协作体2018 届高三 3 月联考)已知函数)()( 2 Raaxexf x 在点 )1()(,mmfmP处的切线为l,若直线l 在y轴上的截距恒小于 1,则实数 a的取值范围是 A. 1 (,) 2 B.1, C. 1 ,) 2 D. 1 ( 1,) 2 8、 (天门、仙桃、潜江2018 届高三上学期期末联考)已知曲线 42 1yxax在点( 1( 1)f,处切 线的斜率为8,则( 1)f A7 B 4 C 7 D4 9、 (武汉市2018 届高三毕业生二月调研)已知直线l与曲线 32 6139yxxx相交,交点依次 为
5、,A B C,且| |5ABBC,则直线l的方程为() A23yx B23yx C 35yx D 32yx 10、 (荆州市五县市区2017 届高三上学期期末)设定义在(0,)的函数( )f x的导函数是( )fx, 且 43 ( )3( ) x x fxx f xe, 3 (3) 81 e f,则0x时,( )f x A有极大值,无极小值B有极小值,无极大值 C既无极大值,又无极小值D既有极大值,又有极小值 11、 (天门、仙桃、潜江市2017 届高三上学期期末联合考试)定义在(0,) 2 上的函数( )f x,( )fx是 它的导函数,且恒有( ) tan( )0f xxfx成立,则 A2
6、()() 34 ffB3 ()2() 46 ff C()3 () 36 ffD3 ()() 36 ff 12、 (武汉市2017 届高三毕业生二月调研考)已知函数 2xx fxxeaxaR恰有两个极值点 1212 ,x xxx,则实数a的取值范围为 . 13、 (黄冈市2017 届高三上学期期末)已知函数 ln ln , 1 x fxx fx x 在 0 xx处取得最大值, 以下各式中: 00 fxx 00 fxx 00 fxx 0 1 2 fx 0 1 2 fx 正确的序号是 A. B. C. D. 参考答案: 一、选择、填空题 1、D 2、由题,连接OD ,交 BC 与点 G ,由题, O
7、DBC 3 6 OGBC ,即 OG 的长度与 BC 的长度或成正比 设 OGx ,则 2 3BCx, 5DGx 三棱锥的高 222 25102510hDGOGxxxx 21 2 3 33 3 2 ABCSxx 则 2 1 32510 3 ABC VShxx 45 =32510xx 令 45 2510fxxx , 5 (0,) 2 x , 34 10050fxxx 令 0fx ,即 43 20xx, 2x 则 280fxf ,则 38045V 体积最大值为 3 4 15cm 3、24、B 5 、【 解 析 】 由题 意 可 得 ln ,(0,) ln xx ax xxx 有3个 不 同解 ,令
8、 ln ( ), ln xx g x xxx 2222 1ln1lnln(1ln)(2ln) (0,),( ), (ln)(ln) xxxxxx xgx xxxxxx 则 当(0,)x 时,令 2lnyxx,则 1211 2,(0 , ) , 0 , 2 x yxyy xx 当递减;当 1 (,),0, 2 xyy递 增,则 min 1 1ln1ln 20,(0,) 2 yx则当时,恒有2ln0.( )0,xxg x令得1x或 ,(0,1),( )0, ( )xexg xg x且时递 减 ;(1, ),( )0, ( )xeg xg x时递 增 ;( ,)xe时 , ()0 ,()gxg x递
9、减, 则( )g x的极小值为 (1)1,( )gg x的极大值为 1 ( ), 1 e g e ee 结合函数图象 可得实数a的取值范围是 1 (1,) 1 e ee . 答案 A 6、C7、B8、B9、B 10、 C简解: 3 4 3( ) ( ) x ex f x fx x ,设 3 ( )3 ( ) x h xef x x, 则 32 ( )3( )3 ( ) x h xefx xf x x 43 3 ( )3 ( ) x efx xf x x x 33 xxx x eee xx ,所以 3 ( )(3)81 (3)0h xhef, 即( )0fx,因此( )f x在(0,)既无极大值
10、,又无极小值. 11、 D12、 (0, 1 2 )13、 A 二、解答题 1、 (2018 全国 I 卷高考题)已知函数 1 lnfxxax x 讨论fx 的单调性; 若 fx 存在两个极值点 1 x , 2 x ,证明: 12 12 2 fxfx a xx 2、 (2017 全国 I 卷高考题)已知函数 2 e2 e xx fxaax (1)讨论 fx 的单调性; (2)若 fx 有两个零点,求a的取值范围 3、 (湖北省2018 届高三 4 月调研考试)已知函数. (1) 当时,讨论函数的单调性; (2) 求函数的极值 . 4、(湖北八校2018 届高三第一次联考 ( 12 月) ) 已
11、知函数 2 ( )(2),1 x f xxeaxbx x是( )f x 的一个极值点 . (1)若1x是( )f x的唯一极值点,求实数a的取值范围; (2)讨论( )f x的单调性; (3)若存在正数 0 x,使得 0 ()f xa,求实数a的取值范围 . 5、 (华师一附中、黄冈中学等八校2018 届高三第二次联考)已知函数 2 ( )(1+)1 x f xaxe (1)当0a时,讨论函数( )f x的单调性; (2)求函数( )f x在区间0,1上零点的个数 6、 (黄冈、黄石等八市2018 届高三 3 月联考)已知函数 x exf)(, ax xg 1 )(. (1)设函数)()()(
12、xgxfxF,试讨论函数)(xF零点的个数; (2)若2a,0x,求证: 42 8 1)()( 2 x x xxgxf 7、 (黄冈市2018 届高三 9 月质量检测)已知函数f(x)=x 1 x ,g(x)=2alnx. (1)当 a 1时,求 F(x)= f(x) g(x)的单调区间 (2)设 h(x)=f(x)+ g(x),且 h(x)有两个极值 点 x1,x2,其中 x1,求 h(x1)h(x2)的最小值。 8、 (黄冈市2018 届高三上学期期末考试)已知f(x)= 1+lnx 2ax (a 0,且 a 为常数 ). (1)求 f(x) 的单调区间; (2)若 a=1 2 ,在区间
13、(1,+ )内,存在x1,x2,且 x1 x2时,使不等式 |f(x1)-f(x2)| k|lnx1-lnx2|成立,求 k 的 取值范围 . 9、 (黄冈中学2018 届高三 5 月二模)已知函数 2 ( )ln ,( )(). 2 a f xxx g xxxa aR (1)若直线(0)( )( ),xt tyf xyg xA B与曲线和分别交于两点,且曲线( )yf x在 A 处 的切线与( )yg x在 B处的切线相互平行,求a的取值范围; (2)设 ( )( )( )h xf xg x 在其定义域内有两个不同的极值点 12 ,x x 且12. 0,xx 已知 若不等 式 1 12 ex
14、x恒成立,求的取值范围 . 10、 (荆州市2018 届高三第一次质量检查)已知函数f(x)e x-m-xlnx-(m-1)x, mR,f (x)为函数f(x) 的导函数 ( 1)若 m1,求证:对任意x(0,+ ),f(x)0; ( 2)若 f(x)有两个极值点,求实数m 的取值范围 11 、( 湖 北 省 七 市 ( 州 ) 教 科 研 协 作 体2018届 高 三3月 联 考 ) 已 知 函 数 22 2(1) ,R x xaxeafx. (1) 当 4a 时, 讨论函数)(xf的单调性; (2) 当 10a 时,求证:函数fx有两个不相等的零点 21,x x,且 12 2xx. 12、
15、 (天门、仙桃、潜江2018 届高三上学期期末联考)设函数 2 ( )(1)() x f xxekxkR ()当1k时,求函数( )f x的单调区间; ()当 1 (1 2 k,时,求函数( )f x在0k,上的最大值M 13、 (武汉市 2018 届高三毕业生二月调研)已知函数 2 2 ( )ln(1) (1) axx f xx x ,其中a为常数 (1)当12a时,讨论( )f x的单调性; (2)当0x时,求 11 ( )ln(1)ln(1)g xxx xx 的最大值 14、 (武汉市 2018 届高三毕业生四月调研测试)已知函数( )(ln) x fxxeaxx,aR. (1)当ae时
16、,求( )f x的单调区间; (2)若( )f x有两个零点,求实数a的取值范围 . 15、 (武汉市部分学校2018 届高三起点调研) 已知函数( )1 x f xeax(aR) (2 . 7 1 8 2 8e 是自然对数的底数). (1)求( )f x单调区间; (2)讨论 1 ( )( )() 2 g xf xx在区间0,1内零点的个数 . 16、(钟祥一中 2018 届高三五月适应性考试(一) ) 已知函数 2 13 txxxf ,1 1 gbaexg x , 0,aRba且,函数xg的图象在点(1,1g)处的切线方程为axay 2 , (1)求xg的解析式 (2)记nm,max表示
17、nm, 中的最大值,xgxfxh,max,讨论xh的零点个数 参考答案: 二、解答题 1、(1) 1 ( )lnf xxax x , 2 2 1 ( ) xax fx x ,当22a时,0 , ( )0fx,此时( )f x在(0,)上为单调递增 . 0,即2a或2a,此时方程 2 10xax两根为 22 12 44 , 22 aaaa xx ,当2a时,此时两根均为负,( )fx在(0,)上单 调 递 减 . 当2a时 ,0 , 此 时( )f x在 2 4 (0,) 2 aa 上 单 调 递 减 ,( )f x在 22 44 (,) 22 aaaa 上单调递增,( )f x在 2 4 (,
18、) 2 aa 上单调递减 . 综上可 得 ,2a时 ,( )f x在(0,)上 单 调 递 减 ;2a时 ,( )f x在 2 4 (0,) 2 aa , 2 4 (,) 2 aa 上单调递减,( )f x在 22 44 (,) 22 aaaa 上单调递增 . (2)由(1)可得, 2 10xax两根12 ,x x得2a ,1212 ,1xxa xx ,令12 0xx, 1 2 1 x x ,121122 12 11 ()()ln(ln)f xf xxaxxax xx 2112 2()(lnln)xxaxx. 1212 1212 ()()lnln 2 f xf xxx a xxxx , 要 证
19、 12 12 ()() 2 f xf x a xx 成 立 , 即 要 证 12 12 lnln 1 xx xx 成立, 1 12 2 2 12 ln 0(1) x xx x x xx , 22 2 12 1 2ln 0 xx x xx 即要证22 2 1 2ln0xx x (21x) 令 1 ( )2ln(1)g xxx x x ,可得 ( )g x在(1,)上为增函数,( )(1)0g xg, 12 12 lnln 1 xx xx 成立,即 12 12 ()() 2 f xf x a xx 成立. 2、(1)由于 2 e2 e xx fxaax 故 2 2 e2 e1e12e1 xxxx
20、fxaaa 当0a时,e10 x a, 2e10 x 从而 0fx恒成立 fx 在R上单调递减 当0a时,令 0fx ,从而e10 x a,得lnxa x ln a,ln aln a, fx0 fx单调减极小值单调增 综上,当 0a 时, ( )f x 在R上单调递减; 当0a时, ( )f x 在 (,ln)a 上单调递减,在(ln,)a上单调递增 (2)由( 1)知, 当0a时, fx 在R上单调减,故 fx 在R上至多一个零点,不满足条件 当0a时, min 1 ln1lnffaa a 令 1 1lng aa a 令 1 1ln0g aa a a ,则 2 11 0ga aa 从而 g
21、a 在 0, 上单调增, 而 10g 故 当01a时,0g a当1a时0g a当1a时0g a 若1a,则 min 1 1ln0fag a a ,故 0fx恒成立,从而fx无零点,不满足条件 若1a,则 min 1 1ln0fa a ,故 0fx 仅有一个实根ln0xa,不满足条件 若01a,则 min 1 1ln0fa a ,注意到ln0a 2 2 110 eee aa f 故 fx 在 1ln a, 上有一个实根,而又 31 ln1lnln a aa 且 33 ln1ln1 33 ln(1)ee2ln1 aa faa aa 3333 132ln11ln10aa aaaa 故 f x 在 3
22、 lnln1a a ,上有一个实根 又 fx 在 ln a, 上单调减,在 ln a, 单调增,故 fx 在R上至多两个实根 又 fx 在 1ln a, 及 3 lnln1a a , 上均至少有一个实数根,故 fx 在R上恰有两个实根 综上,01a 3、 解:(1) 函数的定义域为, 其导数为. 当时, 设,则,显然时递增; 时,递减,故,于是, 所以时,递减;时,递增; (2) 由(1) 知, 函数在递增,在递减,所以 又当时,, 讨论: 当时,此时: 因为时,递增;时,递减; 所以,无极小值; 当时,此时: 因为时,递减;时,递增; 所以,无极大值; 当时, 又在递增,所以在上有唯一零点,
23、 且, 易证:时,所以, 所以 又在递减,所以在上有唯一零点,且,故: 当时,递减;当,递增; 当时,递减;当,递增; 所以,, . 4、 (1)( )(1)2 x fxxeaxb,1x是极值点 ( )0fx,故20ab,2ba ( )(1)(2 ) x fxxea 1x是唯一的极值点 20 x ea恒成立或20 x ea恒成立 由20 x ea恒成立得2 x ae,又0 x e0a 由20 x ea恒 成 立 得2 x ae, 而 x e不 存 在 最 小 值 ,20 x ea不 可 能 恒 成 立 . 0a 4 分 (2)由( 1)知,当0a时,1x,( )0fx;1x,()0fx. (
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