高中数学垂直关系.pdf
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1、第 5 节垂直关系 最新考纲1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面 垂直的有关性质与判定定理;2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间 图形的垂直关系的简单命题. 知 识 梳 理 1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,那么称这条直线和这个平面 垂直. (2)判定定理与性质定理 文字语言图形语言符号语言 判定 定理 如果一条直线和一个平面内的 两条相交直线都垂直, 那么该直 线与此平面垂直 (线线垂直 ? 线 面垂直 ) la lb abO a b ? l 性质 定理 如果两条直线同垂直于一个平 面,那么这两条
2、直线平行 a b? ab 2.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直. (2)判定定理与性质定理 文字语言图形语言符号语言 判定 定理 如果一个平面经过另一个平面 的一条垂线,那么这两个平面垂 l l? 直 性质 定理 如果两个平面互相垂直, 那么在 一个平面内垂直于它们交线的 直线垂直于另一个平面 a la l ? l 常用结论与微点提醒 1.两个重要结论 (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面. (2)若一条直线垂直于一个平面,则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线 线垂直的一个重要方法 )
3、. 2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理,不要误解为“ 如果一条直线垂直 于平面内的无数条直线,就垂直于这个平面”. 3.线线、线面、面面垂直间的转化 诊 断 自 测 1.思考辨析 (在括号内打 “”或“”) (1)直线 l 与平面 内的无数条直线都垂直,则l .() (2)垂直于同一个平面的两平面平行.() (3)若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.() (4)若平面 内的一条直线垂直于平面 内的无数条直线,则 .() 解析(1)直线 l 与平面 内的无数条直线都垂直,则有l或 l 与 斜交或 l 或 l ,故(1)错误. (2)垂直于同一个平面的两个平面平行
4、或相交,故(2)错误. (3)若两个平面垂直,则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面,也可能与 另一平面平行,也可能与另一平面相交,也可能在另一平面内,故(3)错误. (4)若平面 内的一条直线垂直于平面 内的所有直线,则 ,故(4)错误. 答案(1) (2) (3) (4) 2.(教材习题改编 )下列命题中不正确的是 () A.如果平面 平面 ,且直线 l平面 ,则直线 l平面 B.如果平面 平面 ,那么平面 内一定存在直线平行于平面 C.如果平面 不垂直于平面 ,那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 D.如果平面 平面 ,平面 平面 , l,那么 l 解析根据面面垂直的性质, A 不正确
5、,直线l平面 或 l或直线 l 与 相 交. 答案A 3.(2018 湖南六校联考 )已知 m 和 n 是两条不同的直线, 和 是两个不重合的平 面,下面给出的条件中一定能推出m的是() A. 且 mB.mn 且 n C.mn 且 nD.mn 且 解析由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理,可知C 正确. 答案C 4.(2017 全国卷)在正方体 ABCDA1B1C1D1中,E 为棱 CD 的中点,则 () A.A1EDC1B.A1EBD C.A1EBC1D.A1EAC 解析如图,由题设知,A1B1平面BCC1B1且 BC1平面 BCC1B1,从而 A1B1BC1. 又 B1CBC1,且
6、A1B1 B1CB1,所以 BC1平面 A1B1CD,又 A1E平面 A1B1CD,所以 A1EBC1. 答案C 5.边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角,则折叠后AC 的长为 _. 解析如图所示,取 BD 的中点 O,连接 A O,CO,则A OC 是二面角 A BDC 的平面角, 即A OC90 . 又 AOCO 2 2 a, A C a 2 2 a 2 2 a,即折叠后 AC 的长(A C)为 a. 答案a 考点一线面垂直的判定与性质 【例 1】 如图,在四棱锥PABCD 中,PA底面 ABCD,ABAD,ACCD, ABC60 ,PAABBC,E 是 PC 的中
7、点 .证明: (1)CDAE; (2)PD平面 ABE. 证明(1)在四棱锥 PABCD 中, PA底面 ABCD,CD平面 ABCD,PACD, 又ACCD,且 PA ACA, CD平面 PAC.而 AE平面 PAC,CDAE. (2)由 PAABBC,ABC60 ,可得 ACPA. E 是 PC 的中点, AEPC. 由(1)知 AECD,且 PC CDC, AE平面 PCD.而 PD平面 PCD,AEPD. PA底面 ABCD,AB平面 ABCD,PAAB. 又ABAD,且 PA ADA, AB平面 PAD,而 PD平面 PAD,ABPD. 又AB AEA,PD平面 ABE. 规律方法1
8、.证明直线和平面垂直的常用方法有: (1)判定定理; (2)垂直于平面的传递性 (ab,a ? b );(3)面面平行的性质 (a , ? a );(4)面面垂直的性质 ( , a,la,l ? l ). 2.证明线面垂直的核心是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质. 因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想. 【训练 1】 如图所示,已知 AB 为圆 O 的直径,点 D 为线段 AB 上一点,且 AD 1 3DB,点 C 为圆 O 上一点,且 BC 3AC,PD平面 ABC,PDDB. 求证: PACD. 证明因为 AB 为圆 O 的直径,所以 ACCB. 在
9、Rt ABC 中,由3ACBC 得, ABC30 . 设 AD1,由 3ADDB 得,DB3,BC2 3. 由余弦定理得 CD2DB2BC22DB BCcos 30 3, 所以 CD 2DB2BC2 ,即 CDAB. 因为 PD平面 ABC,CD平面 ABC, 所以 PDCD,由 PD ABD 得,CD平面 PAB, 又 PA平面 PAB,所以 PACD. 考点二面面垂直的判定与性质 【例 2】如图,在四棱锥 PABCD 中,ABCD,ABAD,CD 2AB,平面 PAD底面 ABCD,PAAD,E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点,求证: (1)PA底面 ABCD; (2)BE平面 P
10、AD; (3)平面 BEF平面 PCD. 证明(1)平面 PAD底面 ABCD, 且 PA 垂直于这两个平面的交线AD,PA平面 PAD, PA底面 ABCD. (2)ABCD,CD2AB,E 为 CD 的中点, ABDE,且 ABDE. 四边形 ABED 为平行四边形 . BEAD. 又BE平面 PAD,AD平面 PAD, BE平面 PAD. (3)ABAD,而且 ABED 为平行四边形 . BECD,ADCD, 由(1)知 PA底面 ABCD,CD平面 ABCD, PACD,且 PA ADA,PA,AD平面 PAD, CD平面 PAD,又 PD平面 PAD, CDPD. E 和 F 分别是
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